Разработка цифрового фильтра

Разработка цифрового фильтра Содержание

1. Расчет аналогового фильтра прототипа. Функция передачи цифрового фильтра

2. АЧХ и ИХ фильтра. Каноническая схема фильтра

3. Проверка фильтра на устойчивость

4. Расчет спектра входного воздействия и комплексной передаточной характеристики фильтра с помощью быстрого преобразования Фурье

5. Расчет свертки во временной и частотной областях входного воздействия и заданной передаточной характеристики. Расчет выходного воздействия с помощью ОБПФ

6. Расчет мощности собственных шумов синтезируемого фильтра Заключение Список используемой литературы

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) как направление науки появилась в 1950;х годах, представляя собой довольно экзотическую отрасль радиоэлектроники, практическая ценность которой была не совсем очевидна. Но за прошедшие пятьдесят лет благодаря развитию микроэлектроники ЦОС внедрилась в практику и вошла в нашу жизнь в виде мобильных телефонов, цифровых проигрывателей, и много другого. Более того, в прикладных областях цифровая обработка сигналов стала вытеснять аналоговую обработку.

Обработка дискретных сигналов осуществляется, как правило, в цифровой форме. Каждому отсчету ставится в соответствие двоичное кодовое слово, которое затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Таким образом, дискретная цепь становится цифровой цепью, то есть цифровым фильтром.

В курсовой работе необходимо привести расчеты фильтра во временной и частотной областях при помощи быстрого преобразования Фурье (БПФ) и обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), произвести расчет выходного сигнала. Также необходим расчет собственных шумов фильтра, возникающих при квантовании и округлении результатов арифметических операций.

1. Расчет аналогового фильтра прототипа. Функция передачи цифрового фильтра

Между аналоговыми и цифровыми частотами существует зависимость, связанная с:

Учитывая это находим частоты ПП и ПНаналогового фильтра прототипа:

Используя полученные данные с помощью программы Micro-Cap, определили передаточную функцию аналогового фильтра прототипа:

где:

Функция передачи аналоговой цепи с сосредоточенными параметрами представляет собой дробно-рациональную функцию переменной S. Чтобы получить функцию передачи дискретного фильтра, необходимо перейти из S-области в Z-область, причем дробно-рациональный характер функции должен сохраниться. Поэтому замена для переменной S должна представлять собой также дробно-рациональную функцию переменной Z. Переход из области Sв область Zдолжен осуществляться с соблюдением масштаба по вертикали. В этом случае преобразование аналоговой передаточной функции в цифровую будет производиться с соблюдением соответствия по частоте и амплитуде.

Простейшей функцией преобразования удовлетворяющим этим условиям, является билинейное z-преобразование:

После всех преобразований передаточная функцияцифрового фильтра равна:

или

2. АЧХ и ИХ фильтра. Каноническая схема фильтра

По передаточной функции построим модуль Н (f), который имеет вид:

Передаточная функция характеризует цепь в частотной области. Во временной области цепь характеризуется импульсной характеристикой h (nT).

Импульсная характеристика дискретной цепи представляет собой реакцию цепи на дискретную у — функцию.

Импульсная характеристика и передаточная функция связаны между собой формулами Z-преобразования. Импульсную характеристику можно определить по известной передаточной функции, применяя теорему запаздывания к результатам деления полинома числителя на полином знаменателя.

Для того чтобы найти импульсную характеристику, для начала преобразуем передаточную функцию, получаем:

Разделим числитель передаточной функции на знаменатель:

H (z) = (16 + 127,2 222 649 z^-1 + 497.536 042 z^-2 + 1324.746 723 z^-3 +

2778.279 149 z^-4 +

+ 4979.904 763 z^-5 + 8004.24 748 z^-6 + 11 880.41043 z^-7) = 0.9 467 +

0.7528z^-1 +

+ 0.2944z^-2 + 0.7839z^-3 + 0.1644z^-4 + 0.2947z^-5 + 0.4736z^-6 +

0.00703z^-7

Получили импульсную характеристику данного фильтра:

Расчеты деления приведены ниже:

Каноническая схема фильтра:

Канонической называют структурную схему фильтра, содержащую минимальное число элементов задержки.

Преобразуем передаточную функцию, получаем:

3. Проверка фильтра на устойчивость

При отсутствии входного сигнала в фильтре могут существовать свободные колебания. Их вид зависит от начальных условий, т. е. от значений, хранящихся в элементах памяти фильтра в момент отключения входного сигнала. Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях свободные колебания являются затухающими.

Если фильтр оказывается неустойчивым, то вместо желаемого фильтра получают генератор.

Для того чтобы фильтр был устойчивым, полюсы его передаточной функции должны находиться на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса.

Для определения устойчивости фильтра, необходимо найти полюсы передаточной функции, то есть корни знаменателя.

Полюсы передаточной функции находятся на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса, следовательно цепь устойчивая.

4. Расчет спектра входного воздействия и комплексную передаточную характеристику фильтра с помощью быстрого преобразования Фурье

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) устанавливает связь между отсчетами во временной и частотной областях. Формула ДПФ для входного сигнала:

где: N — количество отсчетов во временной и частотной областях;

— весовая функция.

Рассмотрим БПФ с прореживанием по времени:

Этап 1

Этап 2

Рис. 1 Алгоритм БПФ Так как количество отсчетов N=8, БПФ производится в два этапа. Определяем для каждого из этапов значения весовых функций.

Этап 1. Количество взаимодействующих элементов — 4,

; ;

Этап 2. Количество взаимодействующих элементов — 8,

; ;

;

Исходные отсчеты подаются на вход не в естественном порядке.

На рис. 1. изображена так называемая бабочка. Это графический алгоритм быстрого преобразования Фурье.

Состоит из простых элементов: сумматоров, вычитателей и есть так же элементы домножения на весовые функции. Числа на вход подаются в определенной последовательности, на выходе получаем комплексные числа .

При расчете исходной последовательностью является импульсная характеристика, которая определяется по передаточной характеристике .

Заданная последовательность:

Произведем расчет спектра входного сигнала:

Путем простейших расчетов получили следующие значения входного сигнала:

Теперь рассчитаем :

Значения:

Рис. 3. Алгоритм с результатами вычислений.

5. Расчет свертки во временной и частотной областях входного воздействия и заданной передаточной характеристики. Расчет выходного воздействия с помощью ОБПФ

Произведем расчет свертки заданных последовательностей во временной области:

Будем использовать круговую свертку. Формула круговой свертки:

В результате выполнения круговой свертки имеем следующие значения выходной последовательности Y (nT):

Y (nT)={0,4 813; 0,3 138; 0,4 928; 0,0051;0,2 781; -0,343; ;

0,75; 0,24}

Произведем расчет свертки в частотной области:

Расчет выходного воздействия с помощью ОБПФ:

При ОБПФ значения весовых функций меняются, и каждое значение на выходе необходимо разделить на 8 (в данном случае) Весовые функции при ОБПФ:

Этап 1. Количество взаимодействующих элементов — 4,; ;

Этап 2. Количество взаимодействующих элементов — 8,; ;

;

После проведенных расчетов получили:

Полученные значения совпадают с ранее рассчитанными методом круговой свертки.

Y (nT)={0,4 813; 0,3 138; 0,4 928; 0,0051;0,2 781; -0,343; ;

0,75; 0,24}

6. Расчет мощности собственных шумов синтезируемого фильтра

При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Из-за этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений, а значит, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню, а возникающие при этом ошибки округления — ошибками (или шумами) округления.

Число уровней квантования определяется разрядностью кодовых слов. Чем больше разрядность кодовых слов, тем больше число уровней квантования и тем точнее будет представлен отсчет. Расстояние между соседними уровнями квантования равно шагу квантования. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением:

где b — разрядность кодовых слов.

Значение младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.

Цифровые умножители наравне с АЦП являются источниками шума квантования; на выходе умножителей длину кодовых слов приходится ограничивать, т.к. разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна сумме разрядности множимого и множителя.

Изобразим схему фильтра с учетом шумов квантования:

Где — шум от АЦП, — шум от умножителя.

Мощность шума на выходе цепи определяется, как:

где — импульсная характеристика цепи.

— мощность шума умножителя.

— мощность шума АЦП.

— импульсная характеристика участка цепи от i-ого источника шума довыходной цепи.

Шум от АЦП «проходит» через каждый умножитель, следовательно на выходе будет мощность шума:

Рассчитаем мощность шума одного умножителя:

где — разрядность умножителя.

Рассчитаем мощность шума АЦП:

где — разрядность АЦП.

Мощность шума на выходе будет равна:

3,179*10^-7*(0.9 467²+0.7 528²+0.2 944²+

0.7 839²+0.1 644²+0.2 947²+0.4 736²+0.703²)+8* 4.967*10^-9 *

1= 3.976*10^-8

фильтр выходной сигнал шум

Заключение

В результате выполнения курсовой работы был рассчитан цифровой рекурсивный фильтр четвертого порядка.

В ходе курсовой работы были рассчитаны характеристики фильтра во временной и частотной областях (импульсная характеристика фильтра h (nT) и H (jk)) при помощи быстрого преобразования Фурье (БПФ), выходной сигнал во временной области, выходной сигнал в частотной области с помощью обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ), а также мощность собственных шумов фильтра.

Список используемой литературы:

1. Цифровая обработка сигналов /А.Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с.: ил.

2. А. Т. Бизин. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие / СибГУТИ. — Новосибирск, 2005. — 86 с.

3. Конспект лекций по курсу ЦОС.