Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Министерство Образования Украины Кафедра электротехники

Курсовая работа

по курсу «Теория электрических и электронных цепей»

на тему «Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами»

Вариант № 12

Содержание курсовой работы

1. В электрической цепи, (схема которой представлена на рис. 1, а параметры цепи приведены в таблице 1, причём R₄=R₃), происходит переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Е_m.

2. Классическим методом расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определить по следующим формулам:

t_nn= или t_nn=

где ?_min — наименьший из двух вещественных корней;

? — вещественна часть комплексного корня.

3. Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.

4. На входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по синусоидальному закону

e (t)=E_msin (?t +?).

Определить выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.

Построить график переходного процесса тока катушки индуктивности.

5.На входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по закону (заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графики измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных даны абсолютные значения напряжений U_0, U_1, U_2, U_3. Принимая значение времени: t₁=?, t₂=1,5?, t₃=2?, t₄= 2,5? .

Здесь? — постоянная времени рассматриваемой цепи.

Таблица 1:

Рисунок 1:

Рисунок 2:

График 1:

1 этап курсовой работы

Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом

1 этап Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

i_2(-0)=i_1(-0)=== 1.52 (A)

U_{c (-0)}= i₂^.R₂=U_{c (+0)}

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i_c=0 (1)

i₁^.R₁+ i₂^. R₂+L=U (2)

i₁^.R₁+ U_c=U (3)

Из (2) уравнения выразим i₁

i₁= (2.1)

i₁ из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим i_c

i_c= (1.1)

i₁ подставим в (3) и выразим U_c

U= (3)

U_c=U-Ui₂^. R₂— (3)

U_c=i₂^.R₂+ (3.1)

U_c= (3.2)

Подставим в место U_c и i_c в уревнение (3.2), получим:

(3.3)

Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:

(3.4)

В дифференциальном уравнении (3.4) приведём подобные слогаемые:

2 этап Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i₂, для этого мы представим i₂ как сумму двух составляющих i_2св — свободная составляющая и i_2вын — вынужденная составляющая

i₂=i_2св+i_2вын

i_2вын найдём по схеме

i_2вын=

i_2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через, а через ² получим:

L²+R₂++=0 (3.5)

Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни ₁ и ₂

0.1²+10++

15 384,6+153,85+40 000+10+0,1²=0

Д=b²-4ac=(163,85)²-4^.0,1^.55 384,6=26 846,82−22 153,84=4692,98

_1,2=;; ₁₂ — вещественные

₁=

₂=

i_2св=А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.6)

i₂=1.94+ А₁е^-477t+А₂е^-1162t (3.7)

3 этап Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

Найдём ток i₂ для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

i₂₍₊₀₎=i_{2вын (+0)}+ А₁+А₂

— 477 А₁-1162 А₂

Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0

(3.8)

Из уравнения (3) выразим i₁ для момента времени t+0 при U_c=i₂R₂

i₁= (3.9)

Найдём подставив значение i₁ из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)

(4.0)

Подставим значение, i₂₍₊₀₎, i_2вын в систему и найдём коэффициенты А₁ и А₂

1,52=1,94+ А₁ + А₂ (4.1)

2=-477 А₁-1162 А₂ (4.2)

Из уравнения (4.1) выразим A₁ и подставим в (4.2)

А₁=-0,42-А₂

2=-477(-0,42-А₂)-1162А₂ (4.3)

Из уравнения (4.3) найдём А₂

2=200,34+477А₂-1162А₂

2=200,34−685А₂

А₂=

А₁=-0,42−0,29=-0,71

Подставим найденные коэффициенты А₁ и А₂ в уравнение (3.7)

i₂=1,94−0,71е^-477t+0,29е^-1162t (А)

4 этап Определяем остальные переменные цепи U_L, U_c, i_c, i₁

U_L= (В)

U_c= +i₂R₂=

= (В)

i_c= (А)

i₁=i_c+i₂=(0,044е^-477t+0,014е^-1162t)+(1,94−0,71е^-477t+0,29е^-1162t) =

=1,94−0,666е^-477t+0,304е^-1162t (А) Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса t_nn.

Это время определим по формуле:

t_nn=

Найдём t_пп время переходного процесса

t_пп= © Таблица переменных

Рисунок 3 — График токов где

i₁ i₂ i_c

Рисунок 4 — График напряжений где

U_L U_C

2 этап курсовой работы

2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:

e (t)=E_msin (t+)

R₁

где E_m=100 (B)

=2f =2 3,14 50=314 (Гц)

=30⁰

R₁=R₂=10 (Ом) L=100 (мГн)

R₃=9 (Ом) С=100 (мкФ)

=314 (Гц)

X_L=L=314^. 0,1=31,4 (Ом)

X_C= (Ом) Найдём начальные условие:

U (t)=U_msin (t+)=100sin (314+30);

U_m=100e^j30=86,603+j50 (В)

U_{C (-0)}=0 (B)

Найдём полное сопротивление цепи

Z_п=R₁+R₃+jX_L=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом) Зная сопротивление и напряжение найдём I_3m

I_3m=I_1m=(А) Найдём мгновенное значение тока

i₃(t)=I_3msin (t+)=2.725sin (314t-28.82) (A)

Для времени t=0 ток будет равен

i_3(-0)=2.725sin (-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

Таким образом

U_{C (-0)}=U_{C (+0)}=0 (B)

i_3(-0)= i₃₍₊₀₎=-1.314 (A)

1 этап Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i₃=0 (1)

i₁^.R₁+ i₃^.R₃+L=U (t) (2^/)

i₁^.R₁+i₂^.R₂+U_c=U (t) (3^/)

Из (2^/) уравнения выразим i₁

i₁= (2^/.1)

i₁ из уравнения (2^/.1) подставим в (1^/) и выразим i₂

i₂= (1^/.1)

U (t)=U (t)-i₃^.R₃-L+R₂

— (3.1)

Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(3.2)

2 этап Вид решения для i_3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i_3св не зависит от входного напряжения.

Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:

i_3св=А₁е^-406t+А₂е^-234t

Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i_3вын

i_3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e (t);

Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I₁, а для этого найдём Z_п вын сопротивление цепи:

Z_{п вын}= (Ом)

I_1m= (A)

Найдём U_ab вын

U_{ab m}= I_1m (В)

I_{3 m}= (A)

Найдём i_{3 вын}

I_{3 вын}= I_{3 m}sin (t+)=2.607sin (314t-43.60) (A)

Таким образом

i₃=2.607sin (314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

3^/ этап Найдём А₁ и А₂ исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1^/ этапе.

i₃=2.607sin (314t-43.60)+А₁е^-406t+А₂е^-234t

i₃₍₊₀₎=i_3(-0)=-1.314 (A)

i₃₍₊₀₎=2.607sin (-43.60)+A₁+A₂=-1.798+A₁+A₂

R₁i₁=U (t)-R₂i₂-U_C

=

=

Подставим значение, i₃₍₊₀₎, и найдём коэффициенты А₁ и А₂ для времени t+0

— 1.314=-1.798+A₁+A₂

433.96=592/806−406A₁-234A₂

A₁=-1.314+1.798-A₂=0.484- A₂

433.96=592.806−406(-0.484- A₂)-234 A₂

433.96−592.806+406 ^.0.484= A₂(406−234)

37.658=172A₂ A₂=0.219

A₁=0.265

Ток i₃ будет равняться

I₃=2.607sin (314t-43.60⁰)+0.265е^-406t+0.219е^-234t (A)

Таблица переменных

3 этап курсовой работы

Найдём выражение для тока катушки операторным методом:

R₁ R₂

Запишем начальные условия в момент времени t_(-0)

I_3(-0)=== 5.263 (A)

U_{c (-0)}=0 (В) Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.

В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.

Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.

I_1(p)-I_2(p)-I_{C (p)}=0 (1.3)

(2.3)

(3.3)

Из уравнения (2.3) выразим ток I₁(p) и подставим в уравнение (3.3):

Из уравнения (3.3)

(2.3.1)

(2.3.2)

Подставим численные значения элементов По полученному изображению найдём оригинал тока .

Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.

Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.

p₁=0

0,65p²+0,1065p+36=0

Д=(0б1065)²-4^.0,65^.36=0,0019

I₂(p)=

Найдём A₁ A₂ A₃

Коэффициент A_n будем искать в виде, где N (p) — числитель, а M (p) — знаменатель

A₁=

A₂=

A₃=

Таким образом, i₂(t) будет равняться

i₂(t)=A₁^.exp (p₁t)+ A₂^.exp (p₂t)+ A₃^.exp (p₃t)=1,944−0,71e^-477t+0,3e^-1162t

Искомый ток катушки i₂ равняется :

i₂=1,944−0,71e^-477t+0,3e^-1162t (A)

Токи сходятся.

4 этап курсовой работы

Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её

Определим переходную характеристику h¹(t) цепи по напряжению U_R2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия U_{C (-0)}=U_{C (+0)}=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i₁-i₂-i_c=0

i₁^.R₁+ i₂^.R₂=U i_с=

i_с^.R₃-i₂^.R₁+U_c=0 i₁=i₂+i_с

i₁=i₂+i_с

i₂(R₁+R₂)+i_сR₁=U i₂=

i_с^.R₃-i₂^.R₁+U_c=0

i_с^.R₃+U_c-+

ic+

0,43+1=0 = -2322,58 ()

U_C св=Ae^-2322,58t

U_C вын= (B)

U_C=U_C св+U_C вын=0,278+Ae^-2322,58t A=-0,278

U_C=0,278−0,278e^-2322,58t (B)

i_с==25^.10^-6.0,278^.2322,58e^-2322,58t=0,016e^-2322,58t (A)

U_ab=i_cR₃+U_C=0,278−0,12e^-2322,58t (B)

Таким образом переходная характеристика h¹(t) будет равна

h¹(t)=U_R2(t)=0,28−0,12^.e^-2322,58t (В)

= (c)

5 этап курсовой работы

Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.

Переходную характеристику h¹(t) возьмем из предыдущего этапа

h¹(t)=0,28−0,12^.e^-2322,58t (В)

t_пп=(c)

Найдём, t₁, t₂, U₁^/(), U₂^/():

= (с)

t₁==0.43 © t₂=1,5=0.65 © t₃=2=0.86 (c)

U₀=20 (В); U₁=-5 (B); U₂=-10 (B);

U₁^/()=0 () U₂^/()= ()

U₃^/()= ()

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+ (B)

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

;

(B)

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

+=

— )+

+ (B)

Запишем уравнение U_R2(t) для интервала :

U_R2=U₀^.h¹(t)+

;

+ (B)

Строим графики U (t) и U_R2(t) по данным таблиц.