Расчёт характеристик сигналов и каналов связи

Министерство путей сообщения Российской Федерации Омский государственный университет путей сообщения

Расчетно-пояснительная записка

к курсовому проекту

По дисциплине Теория передачи сигналов Расчёт характеристик сигналов и каналов связи Омск 2002

Реферат

Пояснительная записка содержит 32 страницы машинописного текста., 22 рисунка., 4 библиографических источника полезный сигнал, спектр сигнала, дискретизация, кодирование, разрядность кода, модуляция, несущая частота, боковая частота, белый шум В курсовом проекте «Расчет характеристик сигналов и каналов связи» рассматриваются методы расчета характеристик сигналов и каналов связи. Курсовой проект содержит основные сведения о характеристиках и параметрах сигналов и каналов связи, их расчет; графики характеристик сигналов, содержатся сведения о характеристиках модулированных и немодулированных сигналов, применяемых в современных системах связи. Рассмотрены принципы преобразования сигналов в цифровую форму и требования к аналогово-цифровому преобразователю (АЦП). Даны математические варианты для расчетов спектров, корреляционных характеристик.

В данной курсовом проекте предлагается решить следующие задачи:

1) рассчитать спектральные и энергетические характеристики сигналов;

2) вычислить практическую ширину спектров сигналов;

3) произвести оцифровку сигнала, занимающего наименьшую полосу частот и определить технические требования к АЦП;

4) вычислить параметры случайного цифрового сигнала;

5) определить информационные параметры цифрового сигнала;

6) рассчитать пропускную способность канала и требуемую для этого мощность сигнала на входе приемника;

7) вычислить спектр сигнала на входе модулятора, спектр модулированного сигнала и его энергию при заданном виде модуляции;

8) рассчитать вероятность ошибки приема сигнала при оптимальной схеме приемника Содержание Реферат Введение

1. Расчет характеристик сигнала и разрядности кода

1.1 Обработка исходных данных

1.2 Расчёт спектральных характеристик сигналов

2. Расчёт практической ширины спектра сигнала

3.Расчёт интервала дискретизации сигнала и разрядности кода

4. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

4.1 Расчёт характеристик АЦП

4.2 Расчет характеристик АКФ

5. Характеристики модулированных сигналов

6. Согласование источника информации с каналом связи

7. Расчет вероятности ошибки в канале аддитивным белым шумом Заключение Библиографический список

На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов вагонов и повышению производительности труда. Эти задачи решаются по двум основным направлениям: техническим перевооружением транспортных средств и совершенствованием системы управления перевозочным процессом.

Значительную роль в деле совершенствования системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью передачи данных.

Управление территориально разобщенными объектами на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации, то есть систем связи, работающих по проводным и радиоканалам. А также по волоконно-оптическим линиям связи.

Совершенствование управления в условиях интенсификации производственных процессов ведет к росту общего объема информации, передаваемой по каналам связи между управляющими органами и управляемыми объектами.

Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью движения. К системам связи предъявляют также требования высокой эффективности при относительной простоте технической реализации и эксплуатации.

Проблема эффективности системы передачи информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономически выгодным образом (с точки зрения затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.

Рисунок 1. Канал для передачи непрерывных сообщений Разберем назначение блоков приведенного канала связи.

П^-1, П¹ — преобразователи сообщения в сигнал и наоборот — сигнала в сообщение.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название — квантования.

Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышения помехоустойчивости канала.

Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передаче.

Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.

Линия связи — это материальная среда для передачи сигналов (кабель, радио эфир). Именно здесь (в основном) к полезному сигналу добавляется непрогнозируемые помехи. Строя модулятор, демодулятор (модем), необходимо принять меры для борьбы с помехами.

Цифровой преобразователь (ЦАП) служит для восстановления сообщения.

Интерполятор позволяет по сигналу с ЦАП сформировать непрерывный сигнал.

1. Расчет основных характеристик сигнала

1.1 Обработка исходных данных

Аналитическая запись исходного сигнала, изображенного на Рисунке 1 имеет

Вид:

где h=0,03 В,

Форма исходного сигнала № 2, изображенного на Рисунке 2, имеет вид:

где h= 3 В,

Форма исходного сигнала № 3, изображенного на Рисунке 3, имеет вид:

где h=0.02 B,

Рисунок 2. График сигнала № 1

Рисунок 3. График сигнала № 2

Рисунок 4. График сигнала № 3

1.2 Расчёт спектральных характеристик сигналов

Спектр сигнала, его частотный состав, является важнейшей характеристикой сигнала. Он определяет требования к узлам аппаратуры связи, помехозащищенность, возможности уплотнения.

Спектральная плотность это характеристика сигнала в частотной области и вводится она прямым преобразованием Фурье:

(1)

где временная функция сигнала,

круговая частота, .

комплексная величина и может быть представлена в алгебраической или показательной форме:

. (2)

Функции и вычисляются следующим образом:

(3)

(4)

для показательной формы

(5)

(6)

На основании формул (3) — (6) с помощью MATHCAD построим графики спектральной плотности заданных сигналов.

Рисунок 5. График спектральной плотности сигнала № 1

Рисунок 6. График спектральной плотности сигнала № 2

Рисунок 7. График спектральной плотности сигнала № 3

При четной функции S (t) мнимая часть b ()= 0, при нечетной a () = 0

Это следует непосредственно из интегральных форм (3) и (4).

Следовательно фазовая характеристика сигнала № 1 равна нулю.

Рисунок 8. Фазовая характеристика сигнала № 2

Рисунок 9. Фазовая характеристика сигнала № 3

2. Расчёт практической ширины спектра сигнала При передаче сигналов главное внимание уделяется передаче информации, а не Энергии. Тем не менее, энергия и мощность являются важнейшими характеристиками сигналов. В правильно спроектированной системе вид и параметры сигнала должны быть выбраны так, чтобы информация передавалась с заданным качеством при минимальных затратах энергии.

Энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле

. (7)

Для конкретной функции пределы должны быть уточнены.

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства (8).

(8)

где W^/— энергия сигнала с ограниченным по верху спектром,

— процент от полной энергии сигнала при ограничении спектра.

В данном случае 0.98

Для заданных сигналов определим энергию по формуле:

(9)

Значение W^/ определяется на основе известной спектральной плотности

(10)

где _с — искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение _с определяется путем подбора при расчетах (9) и (10) до выполнения неравенства (8).

Используем MATHCAD для определения _с и расчета энергии W и W`.

^,

где W₁-полная энергия сигнала

W`₁-энергия, ограниченная частотой

подбирается таким образом, чтобы выполнялось условие

Аналогично для второго и третьего сигналов:

График энергии первого сигнала приведён на рис. 10, второго — на рис. 11, третьего — на рис. 12.

Рисунок 10. Зависимость энергии сигнала № 1 от частоты Рисунок 11. Зависимость энергии сигнала № 2 от частоты Рисунок 12. Зависимость энергии сигнала № 3 от частоты Выберем сигнал с наименьшей _с. Сигнал № 1 имеет наименьшее значение _с. Все последующие преобразования проведем для него.

3. Расчёт интервала дискретизации сигнала и разрядности кода Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству (11):

(11)

где — интервал дискретизации, с,

— верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 2

После расчета значения интервала дискретизации необходимо построить график дискретизированного во времени сигнала. Длительность импульсных отсчетов принять равной половине интервала.

Следующими этапами преобразования сигнала является квантования импульсных отсчётов по уровню и кодирование. Разрядность кода определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчета.

Нижняя граница диапазона определяется по (12)

(12)

где U_MIN — нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX — верхняя граница динамического диапазона, В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

(13)

где P_Ш.КВ — мощность шумов квантования при размерной шкале квантования, Вт.

Известно, что:

(14)

где — шаг шкалы квантования.

В свою очередь:

(15)

где — шаг шкалы квантования;

n_КВ — число уровней квантования;

U_MAX — верхняя граница динамического диапазона, В.

С учетом этого:

(16)

где n_КВ — число уровней квантования;

U_MIN — нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX — верхняя граница динамического диапазона, В.

Из (16) получаем:

(17)

где n_КВ — число уровней квантования;

U_MIN — нижняя граница динамического диапазона, В;

U_MAX — верхняя граница динамического диапазона, В.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

(18)

где m — разрядность кодовых комбинаций.

Отсюда:

. (19)

Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из интервала дискретизации и разрядности кода по выражению

с. (20)

Из уравнения (12) найдём верхнее значение границы динамического диапазона, при h=0,03 В, ?=4000 с^-1,

Определим верхнее значение частоты спектра сигнала:

Гц.

По (11) находим, Для расчета нижней границы диапазона подставим в (12) К=38, U_MAX = 0,03 В и найдём В.

Подставив в (17) значения =20, U_MAX = 0,03 В, U_MIN = 0.7 895 В, таким образом, получим:

.

Затем по (15) найдем шаг шкалы квантовании:

.

Найдём мощности шумов квантования по (14):

Вт.

Найдём по (19) разрядность кодовых комбинаций:

.

Найдем длительность элементарного кодового импульса по (20):

с.

График дискретизированного по времени сигнала приведён на рисунке 13

Рисунок 13. График дискретизированного по времени сигнала Числовые константы сигнала определяются по формулам:

(21)

(22)

где m_u — математическое ожидание сигнала;

D_U — дисперсия сигнала;

U_i — напряжения логических «1» и «0»;

P (U_i) — вероятности «1» и «0» в кодовой комбинации.

В кодовой комбинации «1» встречается 9 раз (из 24), «0» — 15 (из 24). Тогда Р₀ = 0.625 Р₁ = 0.375.

m_u = 5*0.375+0*0.625=1.875 В;

D_U = (5−1.875)² * 0.375+(0−1.875)² * 0.625 = 5.859 В².

4. Расчёт характеристик импульсно-кодовой модуляции

4.1 Расчёт характеристик АЦП Мгновенные значения исходного сигнала на выходе регистра представляют собой последовательность кодовых слов. Каждое слово — случайная последовательность, состоящая из нулей и единиц. Таким образом, полный сигнал после оцифровки — случайная последовательность. Закодируем Дискретизированный сигнал (импульсную последовательность), представив номер уровня квантования двоичным кодом.

Далее по формуле (23) найдём номера уровней, которым соответствуют величины импульсных отсчетов.

(23)

Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

?-середины импульсных отсчетов, С,

U (??-Величина импульсного отсчета, В.

Теперь по разрядности кодовых комбинаций определяем тип логики.

спектральный информационный цифровой сигнал Таблица 2

В дальнейших расчетах будем считать Уровень «1», В — U1=5 B,

Уровень «0», В — U0−0 B.

4.2 Расчет характеристик АКФ Создадим в MATHCAD два вектора Vx и Vy из последовательности нулей и единиц. Далее определим корреляцию, которая в первом случае будет равна 1, так как вектора одинаковы.

Далее необходимо изменить Vy, записав его вновь сдвинув числа на один шаг и вновь определить корреляцию. Значения корреляции представлены в таблице 3.

На основании рассчитанной АКФ необходимо подобрать математическое выражение наиболее полно отражающее реальную зависимость.

Воспользуемся для этого сплайновой аппроксимацией. В MATHCAD функция cspline (Vx, Vy) возвращает значения вторых производных кубического полинома. Далее для каждой искомой точки вычисляется значение с помощью функции interp. Покажем это на нашем примере.

Таблица 3

Представим столбцы таблицы 3 как два вектора Vt и Vk.

С помощью функции cspline (Vt, Vk)

Вычислим вектор вторых производных при приближении к кубическому полиному Далее построим зависимости АКФ Аппроксимированные кубическим полиномом и отрезками прямых На рис 14 приведены обе зависимости, сравнивая ход кривых, можно сделать вывод о степени приближения кубического полинома и расчетных значений.

Рисунок 14. Автокорреляционная функция Сглаженная АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале. Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной имеет вид:

(24)

Здесь korr (?? — функция корреляции,

?u — последнее рассчитанное значение ?.

График зависимости спектральной плотности от частоты приведён на рисунке 15

Рисунок 15. График зависимости спектральной плотности от частоты

5. Характеристики модулированных сигналов Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости системы. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик — импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят от полезного сигнала и от вида сигнала — переносчика.

Распространенным видом аналоговой модуляции является фазовая модуляция (ФМ). Под действием полезного сигнала изменяется фаза гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала ФМ следующая:

(25)

где A₀ — амплитуда несущей, В;

?₀ — начальная фаза ,

?? -приращение фазы.

При этом фаза сигнала меняется по закону:

.

Под U (t) понимается полезный сигнал, изображенный на рисунке 16, в нашем случае — регулярная импульсная последовательность.

Рисунок 16. График немодулированного сигнала Далее формулой (25) зададим уравнение модулированного сигнала, график которого приведен на рисунке 17(18)

Рисунок 17. График модулированного сигнала Рисунок 18. График модулированного сигнала (увеличенный) Спектр модулированного сигнала будет представлять из себя несущую частоту с боковыми полосами и описываться выражениями (26)

(26)

При расчётах боковых полос ограничимся пятью гармониками с каждой стороны.

Амплитуды боковых гармоник рассчитаем по формуле (27)

(27)

Графическое представление спектра модулированного сигнала приведено на рисунке 19

Рисунок 19. Спектр модулированного сигнала

6. Согласование источника информации с каналом связи Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал мы представили отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов. Для ограниченного по времени, например треугольного, оно определяется длительностью сигнала; для бесконечного, например экспоненциального, их число должно быть назначено 510. Если задать вопрос, какая выборка сейчас создается, то последует очевидный ответ: эта вероятность равна 1/N, где N — число выборок.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле (28), где — энтропия алфавита источника, — среднее время генерации одного знака алфавита.

(28)

Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывный.

Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Эта величина () была определена нами в разделе 5.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).

Теорема Шеннона. Дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Р_ош может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи — нормальные законы с соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.

Пропускная способность гауссова канала равна:

(29)

где F — частота дискретизации, определенная в разделе 3. Рп — мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала .

. (30)

По этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона, надлежит определить Рс, обеспечивающую передачу по каналу. Отсюда:

Pc=Pn (n-1) (31)

По формулам (28)-(31) получаем:

Мощность помехи:

Рп=

Мощность сигнала:

7. Расчет вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае

(32)

Гдe

— функция Лапласа.

?Е — энергия разностного сигнала;

(33)

N₀ — односторонняя плотность мощности белого шума При вычислении (32) получаем, что Р₀ =0

Заключение

В курсовом проекте рассмотрены основные характеристики заданных сигналов, рассчитаны спектральные и фазовые характеристики, рассчитана практическая ширина спектра сигналов.

Для всех трех сигналов произведено ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты _с, по заданному энергетическому критерию.

Получившиеся частоты среза:

Рассчитан интервал дискретизации сигнала, границы динамического диапазона кодированного сигнала, число уровней квантования и разрядность кодовых комбинаций. Рассчитаны характеристики АЦП, в соответствии с ними и разрядностью кодовых комбинаций выбрана микросхема К1107ПВ1.

Рассчитаны характеристики автокорреляционной функции.

Спектральные характеристики кодированного сигнала найдены на основании интегрального преобразования Винера — Хинчина.

Рассчитаны характеристики частотно модулированной регулярной импульсной последовательности.

В результате проделанной работы приобретаются навыки расчета характеристик сигналов, улучшается представление о способах передачи информации, о процессах, происходящих при обработке сигналов; приобретаются знания как познавательного характера, так и позволяющие смело оперировать с системами связи.

Библиографический список

1. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — Москва, 1986, 512 с.

2. Баженов Н. Н., Картавцев А. С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи. — Омск, 1990, 24 с.

3. Каллер М. Я., Фомин А. Ф. Теоретические основы транспортной связи. — М. Транспорт, 1989,384 с.

4. Зюко А. Г., Кловский Д. Д. и др., Теория передачи сигналов: Учебник для ВУЗов. — М., «Радио и связь», 1986,304 с.