Устойчивость центрально-сжатых стержней

Задание: Подобрать поперечное сечение стержня из условия устойчивости (возможно несколько попыток). Определить величину критической силы и коэффициента запаса устойчивости. Принять значения: модуля продольной упругости для стали Е = 2.06 • 105 МПа; то же для чугуна Е = 1 • 105 МПа, расчётного сопротивления для стали R = 240 МПа, то же для чугуна R = 200 МПа, коэффициент условий работы гс = 1, предельной гибкости: для стали лпред. = 100, для чугуна лпред. = 80. Исходные данные к задаче определить по таблице № 4. и схемам, представленным на рис. 4.1. и 4.2.

Таблица

Первая цифра шифра.	F1 кн	Вторая цифра шифра.	h. м.	№. схемы.	Третья цифра шифра.	Тип сечения.
			4.4.

Рис. 4.1. Номера схем.

Последовательность расчёта:

• 1. Изобразить в масштабе расчётную схему с указанием размеров и нагрузки.
• 2. Записать условие устойчивости: у=? R• ц

• 3. Произвести первую попытку подбора сечения, задавшись произвольным значением коэффициента продольного изгиба ц. Определить необходимую площадь сечения: A=; назначить размеры сечения, определить гибкость стержня, коэффициент продольного изгиба ц (по таблице приложения 5). Проверить устойчивость стержня.
• 4. Если устойчивость стержня не удовлетворяет требованиям норм, произвести вторую попытку подбора сечения.

5. Выбрав необходимое сечение стержня, следует определить величину критической силы. Для этого надо сравнить гибкость стержня л с предельной гибкостью лпред. для данного материала и выбрать формулу для определения критической силы: если л > лпред., следует определять критическую силу по формуле Л. Эйлера: Fкр.=; если л < лпред., следует определять критическую силу по формуле Ф. С. Ясинского; укр.= а — в • л — с • л2 ; Fкр = укр • А.

Принять: для стали: а = 31; в = 0.114; с = 0;

для чугуна: а = 76.1; в = 1.177; с = 0.0052;

Примеры расчёта Подобрать равноустойчивое сечение из 4-х равнополочных уголков из условия устойчивости. Определить величину критической силы для этого сечения и коэффициент запаса устойчивости. F = 350 кн, h = 4.2м, R = 240 МПа, гс = 1; лпред. = 100.

• * условие устойчивости: у =? гс R• ц; A=; R = 240 МПа = 24;
• * условие устойчивости: у =? гс R• ц; A=; R = 240 МПа = 24;

* Первая попытка: принимаем ц1 = 0.7; A == 20.83 см2 ;

Выбираем 4 уголка L56Ч5; A = 5.41 • 4 = 21.64 см2 ;

Проверяем устойчивость: л =; µ = 1.0; l = 420 см; Iтабл = 16 см4; Атабл.= 5.41см2; z0 = 5.41см;

Сечение равноустойчиво, поэтому: Imin = Imax = I = 4(Iтабл. + аi 2 •Аi);

из таблицы приложения 4 находим: ц = 0.612 — 5.9 = 0.571;

* Делаем вторую попытку: ц2 = = 0.64; A == 22.8 см2;

Выбираем 4 уголка L63Ч5; A = 6.13 •4 = 24.52 см2; Проверяем устойчивость:

z0 = 6.13см; Атабл.= 6.13см2; Iтабл = 23.1см4; а = 6.3 — 1.74 = 4.56 см;

• * Вывод: выбираем L63Ч5;
• * Определяем величину критической силы: л = 84.69 < лпред.; (лпред. = 100);

Fкр. определяем по формуле Ф. С. Ясинского: укр.= а — в • л — с • л2 ;

для стали: а = 31; в = 0.114; укр.= 31 — 0.114 • 84.68 = 21.35 ;

коэффициент запаса устойчивости:

Подобрать сечение чугунной трубы из условия устойчивости. Определить величину критической силы для этого сечения и коэффициент запаса устойчивости. F = 250 кн, h = 3.2 м, Е = 1 • 105 МПа, R = 200 МПа, гс = 1; лпред. = 80.

* условие устойчивости: у =? гс R• ц; A=; R = 200 МПа = 20;

* Первая попытка: принимаем ц1 = 0.7; A== 17.86 см2; d = 0.8D;

A = = (D2 — (0.8 D)2) = 0.2824 D2 = 17.86см2; D = 7.95см; принимаем D = 8 см; d = 6.4см;

Проверяем устойчивость: л =; µ = 0.7; l = 320 см;

cечение равноустойчиво, поэтому.

I min = Imax = I = = (84 — 6.44) = 118.65см4;

у = = 21.92 > 20;

* Делаем вторую попытку:

A = (D2 — (0.8 D)2) = 0.2824 D2 = 18.38см2 = 0.2824 D2;

принимаем D = 8.2см; d = 6.6см;

18.6 см2;

I = =(8.24 — 6.64) = 128.72см4;

ц = 0.686 — 5.17 = 0.65; у = = 20.67 > 20;

% перегрузки: 100% = 3.35% < 5%, что допустимо.

Следовательно, принимаем окончательно D = 8.2см; d = 6.6см;

* Определяем величину критической силы: лпред. = 80; л = 85.17 > 80;

Fкр. определяем по формуле Л.Эйлера.

коэффициент запаса устойчивости: к уст. = = = 1.01< 1.5 поэтому размеры поперечного сечения следует пересмотреть, что не входит в данное задание.