Основные законы радиоактивных превращений

Радиоактивный распад происходит так, что количество ядер радиоактивного элемента dN, распавшихся за бесконечно малый промежуток времени dt, пропорционально числу ядер N, не распавшихся к моменту времени t:

— dN = лNdt (1).

где л — коэффициент пропорциональности, характеризующий вероятность распада ядра в единицу времени и называемый постоянной распада. Интегрируя уравнение (1) и полагая, что при t = 0, N = No (No — число атомов радиоактивного вещества в начальный момент времени), получим.

N = N0exp (-лt) (2).

Из уравнения (2) следует, что радиоактивный распад подчиняется экспоненциальному закону.

Из уравнения (1) видно также, что произведение лN характеризует скорость радиоактивного распада, называемую активностью:

лN= -dN / dt. (3).

То есть можно сказать, что величина л есть отношение числа распадающихся в единицу времени ядер к имеющемуся к этому времени нераспавшихся ядер. Размерность л (t-1) — обратная времени.

Зная величину л, легко вычислить среднюю продолжительность жизни tЯ радиоактивного ядра. Так как согласно (1) суммарная продолжительность жизни атомов, распадающихся в промежуток времени между t и t + dt, равна tлNdt, то:

(4).

В практике продолжительность жизни радиоактивных элементов часто характеризуют не величиной tЯ, а периодом полураспада Т — временем, на протяжении которого распадается половина всех атомов данного радиоактивного элемента. Полагая в (2) N = N / 2 при t = Т, получим.

T = ln2 / л? 0.69/ л? 0.693 tЯ (5).

Для каждого радиоактивного элемента постоянная распада л и период полураспада Т являются характерными величинами и имеют строго определенные значения. Для различных же элементов эти параметры резко изменяются.

В тех случаях, когда рассматривается распад не отдельно взятого радиоактивного элемента, а образующего при этом радиоактивного продукта его распада (дочернего элемента), закон изменения содержания последнего во времени может быть найден следующим образом.

Предположим, что в начальный момент времени t = 0 имелось N01 атомов исходного элемента, а к моменту времени t имеется N1 атомов исходного и N2 атомов дочернего элементов. Очевидно, что скорость накопления дочернего элемента dN2/dt будет определяться разностью скоростей распада исходного и дочернего элементов:

dN2/dt = л1N1 — л2N2 (6).

где л1 и л2 — постоянные распада соответственно исходного и дочернего элементов.

Подставив в выражение (6) величину N1 = N01exp (-л1t) получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

dN2/dt + л2N2 = л1 N01exp (-л1t) (7).

Общее решение уравнения (7) имеет вид.

(8).

В случае, когда исходный элемент распадается медленнее продукта его распада (л1 T2), выражение (8) через промежуток времени, достаточно большой по сравнению с продолжительностью жизни атомов дочернего вещества (t > 10T2), принимает вид.

или с учетом формулы (2).

(9).

Выражение (9) определяет состояние, при котором отношение количеств исходного вещества и продуктов его распада стремится к некоторому постоянному значению. Такое состояние называют подвижным равновесием.

Если исходное вещество распадается несоизмеримо медленнее продукта его распада (л1 <> T2), формула (8) при условии t >> 10T1 имеет вид N2/N1 = л1/л2 = T2/T1 или.

(10).

Последнее выражение характеризует такое состояние, когда число распадающихся атомов исходного радиоактивного вещества равно числу распадающихся атомов продукта его распада. Убыль дочернего вещества вследствие распада полностью компенсируется его образованием из исходного. Это состояние называется устойчивым равновесием.

Классическим примером устойчивого радиоактивного равновесия является равновесие между ураном (Т = 4,49*109 лет) и радием (Т = 1540 лет), которое наступает по истечении длительного промежутка времени (t? 16 000 лет) и наблюдается только в древних хорошо сохранившихся горных породах и минералах. Наличие устойчивого радиоактивного равновесия в радиоактивных семействах имеет важное значение, так как позволяет судить о содержании в породах радиоактивных элементов по результатам измерений других элементов рассматриваемого семейства.

Процессы радиоактивного распада носят статистический характер, т. е. число атомов радиоактивного элемента, распадающихся в единицу времени, не строго постоянно, а колеблется около некоторого среднего значения. Высокая статистическая точность измерений радиоактивности обеспечивается лишь в случае, когда количество распадов в единицу времени достаточно велико или когда измерения проводятся на протяжении достаточно большого промежутка времени.

Использование закона радиоактивных превращений для определения абсолютного возраста горных пород.

Количество атомов радиоактивного элемента, содержащегося в породе, изменяется со временем по закону.

N = N0exp (-лt) (1).

где: N — число ядер радиоактивного элемента, не распавшихся к моменту времени t; N0 — первоначальное число ядер радиоактивного элемента (t = 0);

л — постоянная распада.

Для задач геохронологии более удобна следующая запись этого уравнения:

t = (1/л)*ln (N0/N) (2).

В процессе радиоактивного распада материнский изотоп N1 превращается в стабильный дочерний изотоп N2 — такая ситуация характерна для радиоактивных элементов, не входящих в ряды. Накопленное за время t количество атомов дочернего изотопа определяется:

N2 = N01 — N1 (3).

где N01 — первоначальное (при t=0) количество материнских изотопов. С учетом уравнения (1) выражение (3) можно переписать так:

N2 = N1(eлt — 1) (4).

откуда получаем решение для возраста исследуемого образца:

t = (1/ л) ln (1+N2/N1) (5).

При выводе формулы (5) предполагалось, что в момент образования объекта (породы, минерала), т. е. при t =0, в его составе не было атомов изотопа N2. Если исследуемый объект в момент своего образования уже содержал N02 атомов (например, известняк в момент образования уже содержит Ca40, который со временем дополнительно образуется из K40), тогда N2 = N02 +N01 — N1 и формула (5) усложняется:

t = (1/ л) ln[1+(N2-N02)/N1] (6).

Таким образом, в изучаемом образце необходимо измерять содержания материнского (радиоактивного) и дочернего (стабильного) изотопов. Для этого, как правило, используются методы масс-спектроскопии, позволяющие с достаточной точностью определять мизерные содержания элементов и изотопов. Точность определения времени, которое принимается за абсолютный геологический возраст, зависит от точности определения содержания изотопов N1 и N2 и от точности определения постоянной распада л.

В общей сложности разработано более десяти ядерно-геохронологических методов. При определении возраста молодых образований используют изотопы со сравнительно небольшими периодами полураспада, чаще всего С14 с Т = 5768 лет, т.к. распространенность этого изотопа значительна. Максимальное время, которое можно определить радиоуглеродным методом ограничивается десятью периодами полураспада, т. е. 60 000 лет — после 10 Т С14 практически не остается. С другой стороны, если у радиоактивного элемента период полураспада составляет миллиарды лет, то погрешности определения в интервале времен, меньших 0.01T, очень большие. Поэтому геологический возраст пород в интервале 105 лет ч 3*106 лет определяется с большими погрешностями.

Важной предпосылкой использования методов геохронологии является замкнутость исследуемого образца относительно радиоактивного и дочернего изотопов. Это означает, что за весь период жизни минерала или породы ни материнский, ни дочерний изотопы не выносились или не добавлялись извне. Например, при высокой температуре, характерной для метаморфических процессов, становится вероятной диффузия атомов, что означает удаление (привнос) элементов в минералы. Надежным подтверждением замкнутости системы, и способом повышения точности определения возраста, служит совпадение возраста одного и того же объекта исследований, полученных разными методами с использованием различных материнских изотопов.