Основы общей теории поля напряжений и деформаций в сплошной среде

геомеханика точка среда сплошной Если перейти от рассмотрения напряжённо — деформированного состояния отдельной точки к рассмотрению состоянию какого-либо тела, то прежде всего необходимо ввести новое понятие «перемещение». Под «перемещением» будем понимать изменение положения какой-либо фиксированной точки в пространстве только за счёт деформирования тела. Поскольку перемещение есть вектор, его проекции на оси координат X, Y и Z соответственно будут u, v и w.

Связь между компонентами напряжённо — деформированного состояния в отдельных точках (точнее, между компонентами тензора деформаций) и компонентами перемещений в сплошной среде устанавливается с помощью уравнений, в основе которых лежат выражения для компонентов перемещений двух бесконечно близких точек (рис. 1.2.). Они называются геометрическими или уравнениями Коши.

Рис. 1.2 Схема к выводу геометрических уравнений

Применительно к процессам деформирования горных пород задачи о напряженно-деформированном состоянии рассматривают преимущественно в статической постановке. При этом, если около некоторой точки М мысленно вырезать бесконечно малый параллелепипед, и начало координат поместить в его центре, то для него должны удовлетворяться шесть условий равновесия:

Сумма проекций сил на оси координат: Х = 0; Y = 0; Z = 0.

Сумма моментов сил относительно осей координат: Mx = 0; My = 0; Mz = 0.

Однако для того чтобы основное условие — сплошность среды-выполнялось и после деформирования, соотношение компонент деформаций должно удовлетворять условиям неразрывности деформаций. Эти условия, называемые уравнениями Сен-Венана, непосредственно следуют из геометрических уравнений.

Таким образом, в соответствии с моделью сплошной среды для определения напряженно-деформированного состояния какого-либо тела имеется основная система из девяти независимых уравнений, в которых содержится 15 неизвестных: x, y, z, xy, xz, zy, x, y, z, xy, yz, zx, U, V, W.

Данные уравнения являются общими для любых моделей сплошной среды.

Однако в зависимости от конкретного вида применяемой модели сплошной среды, например упругой, пластической, вязкой и т. д., для отражения особенностей деформирования вводится специальная группа уравнений, описывающая эти физические законы связи напряжений и деформаций.

Дополнением указанной группы уравнений к общей системе уравнений сплошной среды удается избавиться от статической неопределенности и число независимых уравнений становится равным числу неизвестных, которые таким образом могут быть найдены в ходе решения поставленных задач.

С точки зрения практических вопросов геомеханики большой интерес представляют частные случаи напряженно-деформированного состояния среды-плоское напряженное состояние и плоская деформация.

Плоское напряженное состояние возникает, когда все действующие напряжения параллельны какой-либо одной. плоскости. В этом случае z = 0; zx = zy = 0 и тензор напряжений Тн имеет вид:

В то же время, несмотря на равенство нулю z;, тензор деформации содержит компоненту линейной деформации z, она определяется уравнением.

z = - ——- (x + y) (1.2).

E.

Таким образом, тензор деформации TД при плоском напряженном состоянии имеет вид:

Плоское напряженное состояние характерно для объектов, у которых один из размеров существенно меньше двух других, например для тонких пластин, нагруженных по контуру силами, параллельными их плоскости. В частности, если в гравитационном поле сил в массиве пород вокруг вертикального ствола мысленно выделить тонкий слой, перпендикулярный к его оси, то напряженное состояние пород в выделенном слое можно практически полагать плоским.

Условия плоской деформации возникают в случае, если перемещения точек деформируемого объема происходят только в одной плоскости при этом z = 0; xz = 0; yz = xz = 0 и тензор деформации TД может быть записан в виде:

Вместе с тем, хотя z = 0, тензор напряжений TH для условия плоской деформации содержит компоненту z и имеет вид:

При этом.

z = v (x + y) (1.3).

В состоянии плоской деформации находятся средние точки тела, размеры которого в одном каком-либо направлении очень велики, при условии, что не изменяющиеся по значению нагрузки действуют перпендикулярно к этой длинной оси. Например, в гравитационном поле сил в условиях плоской деформации фактически находятся породы вокруг сечения горизонтальной горной выработки.