Плоские волны в однородных средах

Параметры плоской волны определяются свойствами среды, в которой она распространяется, и зависят от ее электрических и магнитных параметров. Рассмотрим плоские волны в различных средах.

Плоская волна в вакууме.

Параметры вакуума = м₀ = 4р10^-7; е_а = = 10?^-9 /36р; _э = _м =0. Потери в вакууме отсутствуют и постоянная затухания = 0. Постоянная распространения совпадает с волновым числом:

(3.34).

где с = - скорость света, совпадающая с фазовой скоростью плоской волны, = щ / в = с. Волновое сопротивление вакуума оказывается равным.

? 377 Ом, (3.35).

а длина волны.

(3.36).

Плоская волна в диэлектрической среде без потерь.

Параметры среды без потерь = е; = м, _э = _м = 0. Потери отсутствуют и постоянная затухания б = 0. Постоянная распространения совпадает с волновым числом:

(3.37).

где — показатель преломления среды. В среде без потерь изменяются все параметры, которые зависят от е и м.

v_ц=c/n; z_c=nz_с0/е; л=л₀/n. (3.38).

Плоская волна в диэлектрической среде с малыми потерями.

Параметры среды с малыми потерями == е; ==мп; _м = 0, _э/_а<<1. В связи с тем, что появилась электрическая проводимость, возникнут потери и постоянная распространения станет комплексной.

(3.39).

где tg = _э /щ. Угол д называют углом диэлектрических потерь. tg обычно приводится в справочниках как один из параметров диэлектрика. Мнимая часть постоянной распространения мала по сравнению с действительной, поэтому при извлечении корня мы воспользовались формулой приближенного вычисления. Для постоянной затухания и волнового числа имеем:

Фазовая скорость и длина волны в диэлектрике с малыми потерями определяются так же, как и в диэлектрике без потерь:

(3.41).

У волнового сопротивления появляется мнимая часть, и оно становится комплексным.

. (3.42).

Чем больше потери, тем больше мнимая часть волнового сопротивления.

Плоская волна в неферромагнитном металле.

Электромагнитные параметры металла = =; =; м = 0; _э/_а>>1. Основная особенность металла его высокая электропроводность. Это приводит к тому, что в СВЧ диапазоне диэлектрическую проницаемость можно считать чисто мнимой. Оценим действительную и мнимую часть диэлектрической проницаемости, например, для меди на частоте 1ГГц. Выражение для комплексной диэлектрической проницаемости выглядит так.

. (3.43).

Относительная диэлектрическая проницаемость меди равна 1, =10^-9/36р Ф/м, проводимость _э =5*10⁷ См/м. Подставим эти значения в (3.43) и сравним мнимую часть выражения в скобках с единицей.

Таким образом, действительной частью в выражении (3.43) можно пренебречь и считать диэлектрическую проницаемость у реального металла чисто мнимой. Постоянная распространения.

.

Тогда для постоянной затухания, волнового числа и длины волны получим.

. (3.44).

Постоянная затухания и волновое число одинаковы. Поле в металле сильно затухает. Та глубина, на которой поле волны уменьшается в е раз, называется глубиной проникновения электромагнитного поля в металл или глубиной скин слоя. Рассчитаем эту величину. Для плоской волны Е =А exp (-z) cos (tz).

Амплитуда поля уменьшится в е раз при z = 1. Обозначим глубину скин слоя буквой d. Тогда.

. (3.45).

Глубина скин слоя порядка длинны волны в металле. Из-за того, что поле существует лишь в узкой области, ток в металле течет по поверхности. Действительно, предположим, что все электромагнитное поле расположено в области толщиной скин слоя d (рис.З.3). Рассчитаем полный ток, пронизывающий сечение, ограниченное окружностью ?₁). Внутри этой окружности электромагнитного поля нет и.

По закону полного тока этот интеграл равен полному току, протекающему по сечению, ограниченному окружностью ?₁, и этот ток равен нулю. Внутри проводника ток отсутствует. Он весь вытеснен на поверхность и находится в узком приповерхностном слое толщиной d. Поэтому реальное распределение токов в проводнике можно заменить поверхностным током н_э. Величину поверхностного тока можно рассчитать, пользуясь законом Гаусса. Из-за цилиндрической симметрии задачи магнитное поле и плотность электрического тока не зависят от угла, поэтому для тока в проводнике можно записать:

Для поверхностного тока получим следующие соотношения:

Поверхностный ток в металле по модулю равен тангенциальной составляющей магнитного поля на этой поверхности.

И поверхностный ток, и тангенциальная составляющая магнитного поля расположены на поверхности проводника перпендикулярно друг другу и перпендикулярно нормали к поверхности. Все эти рассуждения можно объединить в единое векторное соотношение:

. (3.46).

Определим фазовую и групповую скорость электромагнитной волны в металле.

. (3.47).

(3.48).

В металле фазовая скорость зависит от частоты, значит металл — дисперсионная среда для электромагнитных волн. Групповая скорость в нем в два раза больше фазовой. Обе скорости обратно пропорциональны проводимости и должны быть намного меньше чем в вакууме. Например, фазовая скорость в меди на частоте 1 ГГц примерно равна 1.410⁴м/с.

Волновое сопротивление металла рассчитаем, учитывая вид диэлектрической проницаемости.

(3.49).

где d — глубина скин слоя (см. 3.45). Волновое сопротивление — величина комплексная. Активная и реактивная часть сопротивления одинаковы по модулю. Реактивная часть имеет положительный знак, следовательно, реактивность имеет индуктивный характер.

Плоская волна в ионизированном газе Электромагнитные волны используются для передачи информации в пределах Земли и за ее пределами. При этом они проникают в ионосферу, где условия распространения имеют свои особенности. Электроны и ионы, содержащиеся в ионосфере, сильно изменяют ее электромагнитные свойства. Рассчитаем диэлектрическую восприимчивость среды, содержащей электроны, положительные ионы и нейтральные атомы.

В переменном электромагнитном поле положительно и отрицательно заряженные частицы совершают колебательное движение в противофазе, смещаясь на некоторое расстояние от положения равновесия. Величина смещения обратно пропорциональна массе частицы, а масса электронов более чем на три порядка меньше массы любого иона. Следовательно, во столько же раз меньше будет воздействие ионов на параметры электромагнитного поля. При расчете взаимодействия электромагнитного поля с ионизированным газом достаточно учитывать его воздействие только на электронную составляющую. Ионы можно считать неподвижными. Энергия ионам и нейтральным атомам передается через столкновения. Рассчитаем диэлектрическую проницаемость ионизированного газа, учитывая прямое воздействие поля только на электроны.

Ha смещенный от положения равновесия электрон действует со стороны неподвижного иона возвращающая сила, величину которой принято описывать вектором поляризации Если в единице объема N электронов, и каждый из них будет иметь вектор поляризации, то суммарная поляризация в объеме.

. (3.50).

Мы считаем, что все электроны сместятся на одно и то же расстояние и их вектора поляризации параллельны друг другу. С другой стороны вектор суммарной поляризации пропорционален электрическому полю:

. (3.51).

Объединим (3.50) и (3.51) и получим выражение для диэлектрической восприимчивости ионизированного газа.

. (3.52).

Зная диэлектрическую восприимчивость, можно найти диэлектрическую проницаемость, воспользовавшись (1.3.6).

Итак, для решения задачи нужно рассчитать смещение электрона от положения равновесия. На электрон действует сила Кулона со стороны положительных ионов. Кроме того, при движении электрон сталкивается с другими частицами и, как правило, это нейтральные частицы, которых в ионосфере значительно больше, чем заряженных.

При столкновении электроны передают энергию, полученную от электромагнитного поля нейтральным атомам. Эта энергия переходит в энергию теплового движения тяжелых частиц и происходит поглощение энергии распространяющегося электромагнитного поля.

Пусть при каждом столкновении электрон передает тяжелой частице весь свой импульс mv. Если число таких столкновений в единицу времени равно о, то изменение импульса электронно в единицу времени равно — оmн. Учтем это в уравнении движения электрона.

Перейдем от векторного равенства к скалярному. Для этого выберем ось х прямоугольной системы координат вдоль направления вектора. Тогда все вектора будут направлены по оси х. Спроектируем уравнение на ось х.

(3.53).

Воспользовавшись методом комплексных амплитуд, преобразуем дифференциальное уравнение для истинных полей (3.53) в алгебраическое для комплексных амплитуд и решим его.

где = щ — Яо — комплексная угловая частота.

Подставим полученное выражение в (3.52) и рассчитаем диэлектрическую восприимчивость.

(3.54).

где введена плазменная или ленгмюровская частота коллективного движения электронов.

(3.55).

Теперь посчитаем диэлектрическую проницаемость.

. (3.56).

Диэлектрическая проницаемость оказалась комплексной. Воспользуемся общим выражением для комплексной диэлектрической проницаемости (см. 2.1.5).

и запишем выражение для диэлектрической восприимчивости и электрической проводимости _э ионизированного газа.

(3.57).

Итак, наличие заряженных частиц (электронов и ионов) в ионизированном газе приводит к изменению диэлектрической проницаемости и проводимости газа. Обе эти величины обладают дисперсией. На высоких частотах (щ² + о² > щ₀²) диэлектрическая проницаемость положительна. Ее значение проходит через 0 при щ² + о² = щ₀². Дальнейшее понижение частоты приводит к изменению знака диэлектрической проницаемости. Она становится отрицательной. Проводимость, а следовательно и потери в ионизированном газе, падают с ростом частоты. На высоких частотах они меньше.

Теперь, зная диэлектрическую проницаемость ионизированного газа, можно определить параметры плоской волны в нем. Магнитную проницаемость считаем равной единице. Для упрощения столкновения учитывать не будем (о = 0). Запишем электромагнитные параметры ионизированного газа в этом случае.

Рассчитаем постоянную распространения,.

(3.58).

Если нет столкновений, как в нашем случае, то проводимость отсутствует и нет потерь. Постоянная распространения — действительная величина, следовательно затухания нет, б = 0, а волновое число.

(3.59).

В зависимости от того, больше или меньше единицы второе слагаемое под корнем, волновое число либо действительное, либо мнимое. Это приведет к различным условиям распространения плоских волн. Действительно, комплексная амплитуда электрического поля в плоской волне Пусть щ >щ₀. Тогда подкоренное выражение в (3.59) положительно и волновое число в — действительная величина.

.

Вдоль оси z без затухания распространяется плоская волна.

Теперь пусть щ < щ₀. Подкоренное выражение в (3.59) отрицательно и волновое число в — мнимая величина. Введем в' = i в. Эта величина будет действительной и Выражение описывает затухающий непериодический вдоль оси z процесс. Плоская волна не будет распространяться. Граница между этими двумя режимами щ = щ₀.

Если учитывать столкновения, то в (3.59) нужно учесть комплексный характер диэлектрической проницаемости.

(3.60).

Пусть щ >щ₀. Тогда выражение (3.60) можно записать в виде.

(3.61).

где выражение перед мнимой экспонентой — величина действите льная. Как и в предыдущем случае, вдоль оси z распространяется волна, но теперь она затухает. Чем больше проводимость плазмы, тем сильнее noлe затухает, Пусть щ <�щ₀. Тогда выражение (3.60) можно записать в виде.

. (3.62).

Мнимая и действительная части поменяются местами. Вдоль оси z существует колебательный процесс, но величина затухания очень велика.

Таким образом, в ионизированном газе распространяются плоские волны с частотой выше плазменной. Если не учитывать потери, то волны с меньшей частотой отражаются. Учет потерь приводит к эффекту не полного отражения волны. Частично она проходит в ионизированный газ, но очень быстро затухает.

Плоская волна в сверхпроводнике.

Явление сверхпроводимости состоит в том, что при очень низкой температуре у некоторых материалов полностью пропадает электрическое сопротивление. Постоянный ток, возбужденный в сверхпроводящем кольце циркулировал по нему в течение нескольких месяцев, если температура образца поддерживалась достаточно низкой. Если же температура становилась выше некоторого значения — критической температуры, то явление сверхпроводимости скачком пропадало. Сверхпроводящие свойства присущи многим неферромагнитным металлам. В 1986 году был открыт класс редкоземельных керамических материалов, у которых критическая температура достигает 92К. Эти материалы находятся в сверхпроводящем состоянии при температуре жидкого азота.

Явление сверхпроводимости можно объяснить так. В сверхпроводнике существует два типа носителей заряда: нормальные, которые подчиняются закону Ома, и сверхпроводящие, перемещающиеся по сверхпроводнику без какого-либо сопротивления. Электрический ток имеет две составляющие, и его плотность можно записать в виде:

(3.63).

где _н и _с — плотность тока для нормальных и сверхпроводящих носителей соответственно.

Нормальная составляющая состоит из тока проводимости и тока смещения.

(3.64).

где N_н и v_н — концентрация и скорость нормальных носителей заряда.

Ток проводимости сверхпроводящих носителей.

. (3.65).

Получим связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля для сверхпроводящих носителей. Эта связь заменит для них закон Ома. Сверхпроводящие носители при столкновениях не теряют энергию, и их скорость связана с напряженностью электрического поля не через подвижность, а с помощью второго закона Ньютона.

Теперь продифференцируем (3.65) и подставим в него полученное значение для производной от скорости.

. (3.66).

Для сверхпроводящих носителей не выполняется закон Ома. Вместо него действует соотношение (3.66).

Электрический ток в сверхпроводнике создают методом электромагнитной индукции, воздействуя на него переменным во времени магнитным полем. Выразим электрическое поле в (3.66) через изменяющееся магнитное поле, его вызывающее. В соответствии с законом электромагнитной индукции в отсутствие внешних зарядов и токов в среде с магнитной проницаемостью равной единице.

. (3.67).

Чтобы подставить Е из (3.67) в (3.66) нужно в (3.66) взять ротор от обеих частей.

(3.68).

Величину л_L называют лондоновской длиной. Название произошло от фамилии немецких ученых, впервые получивших ее. Лондоновская длина выполняет роль скин слоя в сверхпроводнике. Покажем это, получив волновое уравнение для магнитной индукции в сверхпроводнике. Для этого запишем закон полного тока в сверхпроводнике, воспользовавшись (1.3.4).

возьмем ротор от обеих его частей.

и используем выражения (3.67), (3.68) для того, чтобы исключить все зависимые переменные, кроме магнитной индукции.

Распишем левую часть в виде лапласиана и градиента от дивергенции вектора, воспользовавшись известным равенством векторного анализа.

(3.69).

поскольку divB = 0.

Волновое уравнение для сверхпроводника отличается от волнового уравнения для вакуума последними двумя слагаемыми в левой части. Первое из них описывает затухание волн, возникающее из-за конечной проводимости нормальных носителей заряда и будет присутствовать в уравнении для любого проводящего вещества, а второе учитывает сверхпроводящие носители. Рассмотрим стационарный процесс, когда магнитное поле перестанет изменяться и его производная по времени равна нулю.

Выберем прямоугольную систему координат с осью х, направленной по магнитному полю. Тогда векторное уравнение переходит в скалярное.

которое легко решается.

Второе слагаемое описывает экспоненциально нарастающее поле и не имеет физического смысла, поэтому В₁(0) = 0, и для магнитного поля в сверхпроводнике получим:

В (х) = В (0) ехр (-л/л_L). (3.70).

Магнитное поле с ростом х уменьшается по экспоненциальному закону. Постоянная затухания равна _L. Оценим эту величину. Считаем, что сверхпроводящие носители заряда — электроны. Типичная концентрация свободных электронов в металле N=10²⁹ м^-3, заряд электрона е =1.610^-19Kл, масса электрона m = 9.110^-31кг, а магнитная проницаемость вакуума = 4р10^-7Гн/м. Подставив все эти значения в выражение (3.68) получим _L?1610^-9м.

Итак, лондоновская длина — это глубина проникновения постоянного магнитного поля в сверхпроводник. Поверхностный эффект в сверхпроводнике и явление вытеснения высокочастотного поля на поверхность проводника во многом схожи и являются следствием закона электромагнитной индукции. В проводящей среде возникает наведенное поле, которое препятствует проникновению электромагнитного поля в проводящую среду. Глубина проникновения электромагнитного поля в металл задается соотношением (3.45).

.

Используем это выражения для анализа проникновения постоянного поля в сверхпроводник. У сверхпроводника проводимость _э>, а круговая частота щ>0. Возникает неопределенность, которая раскрывается предыдущими рассуждениями и глубина проникновения поля в сверхпроводникбудет рассчитываться по выражению:

. (3.71).

Высокочастотные свойства сверхпроводника можно проанализировать, если известна диэлектрическая и магнитная проницаемости. Магнитную проницаемость сверхпроводника можно считать равной единице, а диэлектрическая имеет особенности, связанные с его свойствами. Комплексная диэлектрическая проницаемость в соответствии с (2.1.5).

Действительная часть ?. Обычно она много меньше мнимой части и не влияет на поведение сверхпроводника в электромагнитном поле. Мнимая часть определяется проводимостью нормальных у₁ и свeрхпроводящих у₂ носителей.

Нормальная проводимость определяется законом Ома.

.

Для сверхпроводящих носителей связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля определяется дифференциальным уравнением (3.66).

Будем считать процесс монохроматическим с круговой частотой щ и воспользуемся методом комплексных амплитуд, чтобы перейти от дифференциального уравнения для временных функций к алгебраическому уравнению для комплексных амплитуд.

. (3.72).

Для диэлектрической проницаемости можно записать.

(3.73).

Оценим отдельные слагаемые в (3.73) на частоте 10 ГГц для типичного металла. е₀=10^-9/4р; 10⁷Cм/м; _с?510⁹ См/м, _с/?¼р, ₁/?10^-3/2р. Таким образом, все слагаемые намного меньше второго и для диэлектрической восприимчивости с большой точностью можно записать.

(3.74).

Теперь можно посчитать постоянную распространения электромагнитного поля в сверхпроводнике,.

(3.75).

Электромагнитное поле в полупроводнике не распространяется (в = 0). Это равенство приближенное, так как мы пренебрегли малой действительной частью. Ее учет приведет к волне с очень малым волновым числом. Однако и этот волновой процесс затухает на расстоянии лондоновской длины волны от поверхности сверхпроводника.

Рассчитаем волновое сопротивление.

(3.76).

Волновое сопротивление сверхпроводника носит чисто индуктивный характер.