Расчеты токораспределения с помощью метода узловых напряжений

Число уравнений при определении токораспределения можно уменьшить, выразив искомые токи через падения напряжения в ветвях рассчитываемой схемы. Падения напряжений находятся как разность напряжений в узлах, что и определило, как известно, название метода расчета. Число узлов в любой схеме всегда меньше числа ветвей в ней, поэтому вычисление напряжений в узлах является всегда более простой задачей, нежели непосредственное определение токов прямым методом, предусматривающим выполнение операций с матрицами, имеющими порядок, равный числу ветвей в схеме.

Связь токов в ветвях с напряжениями в узлах определяется в матричной форме выражением.

Эта формула требует для определения искомых токов предварительного вычисления матриц и .

Структура обращенной матрицы сопротивлений ветвей на примере кольцевой сети с тремя ветвями в расчетной схеме:

.

Элементами обобщенной матрицы сопротивлений ветвей являются проводимости этих ветвей, являющиеся обратными величинами элементов обращаемой матрицы. Это справедливо для любой диагональной матрицы.

Вычисление матрицы требует решения узлового уравнения, что связано с необходимостью обращения матрицы узловых проводимостей. В сложных сетях с большим количеством узлов в расчетных схемах выполнение этой операции может быть сопряжено с большими трудностями. Известен ряд предложений по преодолению возникающих затруднений. Некоторые из них предусматривают предварительные преобразования матрицы узловых проводимостей, облегчающие ее обращение. Другие основаны на предварительных упрощениях расчетной схемы, при которых удается уменьшить число узлов в ней. Наибольшее же распространение получил способ решения узлового уравнения методом итерации (последовательных приближений) при записи этого уравнения с использованием матрицы узловых проводимостей.

Матрица узловых проводимостей определяется как произведение трех матриц (выражение 5−15). Выполним эту операцию применительно к сети, схема замещения которой показана на рис. а, а ее направленный граф на рис. б.

Принимая за балансирующий узел а, будем иметь.

При совмещении базисного и балансирующего узлов.

Каждая строка полученной матрицы отвечает одному узлу, так же как и каждый ее столбец. Следовательно,.

На главной диагонали матрицы расположены элементы, представляющие сумму проводимостей ветвей, связанных с одним из узлов схемы. Другими элементами этой матрицы являются проводимости ветвей с обратным знаком между узлами, которым отвечают соответствующие столбцы и строки матрицы.

При несовпадении базисного и балансирующего узлов строки матрицы отвечают также всем узлам, кроме балансирующего, тогда как столбцы этой матрицы соответствуют всем узлам, включая балансирующий, но без базисного узла. Если в рассматриваемом примере за балансирующий по-прежнему считать узел а, а за базисный — узел b, то в результате перемножения матриц можно получить.

внизу не b, а c стоит.

В этом случае на главной диагонали при совпадении индексов строк и столбцов опять расположены элементы, являющиеся суммой проводимостей ветвей, связанных с одним из узлов схемы. Все остальные элементы матрицы представляют собой взятые с обратным знаком проводимости ветвей между узлами, которые отвечают пересекающимся в данном элементе строкам и столбцам матрицы.

Непосредственным умножением матриц можно убедиться, что результатом его является столбцовая матрица. Каждая строка этой матрицы представляет собой сумму произведений вида, где — э.д.с. в ветви, связанной с узлом, которому отвечает строка матрицы, — проводимость этой ветви. Операция суммирования производится для всех ветвей, сходящихся в данном узле. При этом э.д.с. принимается положительной, если она направлена от узла, и отрицательной, если она направлена к узлу.

Правила составления матрицы узловых проводимостей и матрицы непосредственно по схеме замещения сети без предварительных операций с матрицами соединений позволяют упростить подготовку к непосредственному расчету режима сети.