Кинематика жидкости. 
Механика жидкости и газа

Методы изучения движения жидкости. Элементы кинематики

Кинематика — раздел гидромеханики, изучающий движение жидкости без учёта действующих сил. Текучесть жидкости и газа создаёт дополнительные степени свободы и их движение становится более сложным, чем твёрдых тел. Поэтому изучение движения жидкости и газа намного сложнее изучения движения твёрдых тел.

Основные предпосылки и определения Движущуюся жидкость можно рассматривать как совокупное движение материальных точек. Для каждого момента времени графически можно представить положение частицы и её скорость в виде вектора, определённой длины и направления. Совокупность всех векторов скорости материальных точек представит собой поле скоростей или векторное поле.

Соединив линией все последующие по времени положения материальной точки, получим линию, которую называют линией тока. Линия тока удовлетворяет требованию, согласно которому в каждой точке вектор скорости совпадает с касательной к линии тока.

Если и не равны нулю, то движение называют пространственным, если или, или равно нулю, то получаем плоское движение, если два компонента равны нулю, то получаем одномерное движение .

Проведём через каждую точку бесконечно малого контура линии тока. В результате получим поверхность, которую называют элементарной трубкой тока. Поверхность трубки тока непроницаема для жидкости. Это вытекает из определения для линии тока. Ограниченную трубкой тока жидкость называют элементарной струйкой. Поверхность нормальную в каждой точке к линиям тока называют живым сечением струйки. Из непроницаемости трубки тока следует, что количество жидкости, протекающее через живое сечение в единицу времени есть величина постоянная, т. е.

. (7.2).

Величину q называют потоком вектора скорости. Секундное значение потока вектора скорости называют расходом. Уравнение (7.2) называют уравнением неразрывности потока или просто уравнением неразрывности.

Если живое сечение конечно, то в общем случае распределение скорости по живому сечению неравномерно, поэтому расход определяется как интеграл,.

. (7.3).

Течение с конечным живым сечением называют потоком. Уравнение (7.2) часто называют уравнением расходов.

РАЗДЕЛ 4. Динамика жидкости Для установившегося потока :

П + Р/с +V² /2=Ht (8.1).

П (x, y, z) — функция потенциала массовых сил.

Выражение (8.1) называют интегралом Бернулли. Постоянная Н_t представляет собой полный напор для стационарного безвихревого потока идеальной жидкости.

Или, разделив на g, получим :

(8.2).

Z — координата центра тяжести «живого» сечения потока;

сg = г — удельный вес жидкости.

Уравнение (8.2) называют уравнением Бернулли. Оно справедливо для установившегося плавноизменяющегося потока идеальной жидкости, когда массовые силы обладают потенциалом.

Уравнения движения реальной жидкости.

Ранее рассмотренные уравнения движения жидкости пригодны только для идеальной жидкости. При движении реальной (вязкой жидкости) вихревые и деформационные движения приводят к возникновению касательных и других дополнительных нормальных напряжений в жидкости. Поэтому кроме массовых сил и гидростатического давления проявляются дополнительные поверхностные силы.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости.

Это уравнение есть уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости Каждый член уравнения Бернулли представляет собой удельную энергию — напор. Напором в гидромеханике называют удельную энергию жидкости, отнесённую к ёе единице веса, причём z называют геометрическим, — пьезометрическим, — скоростным напором.

Из (8.2) видно, что для струйки идеальной жидкости сумма удельных энергий есть величина постоянная, т. е. уравнение Бернулли отражает частный случай закона сохранения механической энергии.

То, что каждый член уравнения представления удельную энергию, легко увидеть, если каждый член помножить на единицу веса 1Н:

Z · 1Н = 1м· 1Н = Н· м = Дж;

· 1Н =1Н = Н· м = Дж;

Н· м = Дж.

На примере наклонной трубы для выделенных поперечных сечений можно записать следующие уравнения Бернулли:

(8.3).

Каждый член уравнений (8.1), (8.2) имеет размерность протяжённости, поэтому напор можно представить также как столб жидкости определённой высоты. Отсюда вытекает геометрическая интерпретация уравнения Бернулли, — для струйки жидкости в наклонной трубе сумма геометрической, пьезометрической и скоростной высот есть величина постоянная.

Найденное уравнение Бернулли (8.2) справедливо для струйки идеальной жидкости. Реальная жидкость (вязкая) при своём движении испытывает сопротивление. На преодоление гидравлического сопротивления расходуется часть энергии жидкости. эта энергия в конечном итоге превращается в теплоту. Поэтому в сечениях струйки І-І и 2−2 напоры будут разные. Чтобы сохранить равенство к напору в сечении 2−2 добавляют напор, израсходованный на преодоление гидравлического сопротивления, а уравнение записывают в виде:

z₁ +P₁/ +V₁/2g = z₂ +P₂/ + V₂/2g + h_r, (8.4).

где h_r — потеря напора на участке 1 — 2.

Уравнение (8.4) называют уравнением Бернулли для струйки реальной жидкости.

Примеры, поясняющие уравнение Бернулли.

а) Измерение полного и скоростного напоров.

В вертикальной трубке, пьезометре 1, жидкость поднимается на высоту, соответствующую пьезометрическому напору. Если вход пьезометра — 2 выполнить так, чтобы входное отверстие находилось в плоскости живого сечения потока, то в результате торможения жидкости (в плоскости отверстия) скоростной напор перейдёт в пьезометрический напор, а жидкость поднимается на высоту, соответствующую полному напору.

Тогда для сечений 1 — 1 и 2 — 2 пренебрегая гидравлическим сопротивлением можно написать уравнение Бернулли в следующем виде:

z₁ + P₁/ + V₁²/2g = z₂ + P₂/ + V₂²/2g.

В нашем случае z₁=z₂, а внутри загнутой трубки V₂=0, поэтому.

V₁²/2g = P₂ — P₁/.

P₂/ - P₁/ = h= ДP/сg, откуда.

(8.5).

таким образом, измеряя h, или ДP мы легко получаем величину скорости.

Гидромеханик Прандтль предложил совместить пьезометр и трубку Пито в одном приборе 3. Такие приборы получили название трубок Пито — Прандтля.