Методы анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях на нее

Министерство Образования Российской Федерации Хабаровский Государственный Технический Университет

Курсовая работа

по Электротехнике Хабаровск, 2004

Часть 1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

Требуется:

Составить уравнения состояния цепи для t 0.

Найти точные решения уравнений состояния.

Найти решения уравнений состояния, используя по выбору студента один из численных методов. Вид решаемых уравнений:

Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния.

Решение:

Составление уравнений состояния. Составим уравнения по законам токов (ЗТК) и напряжений (ЗНК) Кирхгоффа

Решаем эту систему относительно переменных состояния (и).

Для этого выразим из уравнения а) ток и подставим его во все остальные уравнения Те переменные, которые нас не интересуют и уже подставлены в другие уравнения могут быть удалены из системы. Таким образом у нас система будет уменьшаться на 1 с каждым шагом и в конце мы получим два дифференциальных уравнения функций состояния.

Выразим из уравнения b) ток и подставим в остальные уравнения:

Далее выразим второй ток и подставим в остальные уравнения:

Далее выразим и поставим в оставшиеся уравнения:

Выражая и подставляя ток получаем:

Теперь мы избавились от ненужных нам переменных и можем выразить функции состояния только через переменные состояния:

Подставив численные значения и поделив эти два уравнения на L и C, соответственно, получаем нормализованные уравнения в форме Коши:

В матричной форме:

где ,

(Заметим, что число элементов данной матрицы равно числу реактивных элементов в исследуемой электрической цепи),, матрица соединений, которая содержит элементы, связывающие iL, UC,

(из условия)

1.1 Найти точные решение уравнений состояния

Решение этой системы дифференциальных уравнений можно выразить через матрично-экспоненциальную функцию вида, Но так как F (t) при константа то решение приобретает вид Таким образом решение сводится к нахождению матрично-экспоненциальной функции и начальных условий.

Для нахождения вида матрично-экспоненциальной функции сперва найдем собственные значения матрицы A. Для этого решим уравнение вида:

Разложим матрично-экспоненциальную функцию в ряд Тейлора, взяв число разложений равным числу переменных состояния:

Для нахождения коэффициентов разложения воспользуемся собственными значениями матрицы A и решим систему уравнений Решая систему, получаем:

Начальные условия находим из законов коммутации Составим уравнения Кирхгофа для этой цепи:

Выразим из I) уравнения i2,

из уравнения II) выразим ток i4

а из уравнения III) выражаем ток нагрузки и из уравнения a) выражаем ток i6 подставляем полученные токи в уравнение b)

Таким образом, матрица начальных условий принимает вид:

Подставляя все данные в конечную формулу, получаем:

1.2 Численное решение уравнений состояния. Для решения этих дифференциальных уравнений воспользуемся методом Эйлера

где .

Результатом решения является таблица:

где столбец 0 это время, 1 —, 2 — .

1.3 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния

Рис 3. Зависимость тока на катушке от времени

Рис 4. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени

Часть 2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

Анализу подлежит цепь, схема которой приведена на рис. 5

Рис. 6

Источник тока отсутствует; входное напряжение имеет зависимость показанную на рис. 6.

Требуется:

Определить функцию передачи:

Символом p обозначена переменная Лапласа.

Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.

Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения или тока.

Определить изображение по Лапласу входного импульса.

Найти напряжение или ток на выходе цепи, используя HU (p).

Построить на графике переходную и импульсную характеристики цепи, входной и выходной сигналы.

2.1 Определение функции передачи

Составим уравнения по законам токов (ЗТК) и напряжений (ЗНК) Кирхгофа

Проведем над этой системой прямое преобразование Лапласа. Получим:

Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины ко входной. В зависимости от того какие величины входят в определение передаточной функции различают: передаточные функции по напряжению, по току, передаточные сопротивления и проводимости. Функция передачи по току может быть представлена в виде: HU (p) = Un (p)/Uвх (p), где Un (p) и Uвх (p) операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно.

где

Из составленной выше системы найдем ток, используя аналогичные расчеты из 1-ой части:

Тогда напряжение на нагрузке будет равно:

По определению, функция передачи равна

В данной задаче

а

2.2 Нули и полюсы функции передачи

Нули функции передачи это результат решения уравнения

Решение этого уравнения

(ноль функции) Полюсы функции передачи (значения, при которых она стремится к бесконечности) есть результат решения уравнения Решение этого уравнения

(полюсы функции) Нетрудно заметить, что полюсы передаточной функции p1,2 совпадают с собственными значениями, 2 матрицы A. Это может быть дополнительным способом проверки правильности нахождения передаточной функции цепи. Наиболее наглядным способом охарактеризовать пере-даточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей. Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные со-ставляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не свя-зано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсут-ствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжение. При отсутст-вии резистивных элементов все корни числителя передаточной функции (так же как и знамена-теля) находятся на мнимой оси. Передаточные функции, полюса которых не лежат в правой по-луплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми.

Знание передаточной функции цепи HU (p) позволяет определить переходную h1(t) и им-пульсную h (t)характеристики цепи.

2.3 Переходная и импульсная характеристика

Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функции (функции Хэвисайда 1(t), функции включения) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от HU (p)/p:

Переходная характеристика введена в основном по двум причинам:

1. Если определена данная характеристика, то возможно определить реакцию системы при любой форме внешнего воздействия (посредством интеграла Дюамеля).

2. Единичное ступенчатое воздействие скачкообразное, и поэтому является «тяжелым» для любой системы. Следовательно знать реакцию системы именно при таком воздействии. Иные, более плавные, воздействия будут для системы «легче».

В операторной форме эта функция имеет вид Проводя обратное преобразование Лапласа получим вид функции во временной области. Обратное преобразование проводим по теореме разложения.

По теореме разложения

где G (p) и H (p) числитель и знаменатель изображения соответственно, а — корни знаменателя.

Корни знаменателя:

Экспоненты разложим по формуле Эйлера Подставляя все в формулу разложения и упрощая, получим

Импульсная характеристика цепи h (t)представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции t) и может быть найдена как обратное преобразование Лап-ласа от передаточной функции:

Дельта функция (или функция Дирака) определяется как и представляет собой предельный случай импульса очень большого значения и очень малой продолжительности, когда его длительность стремится к нулю, но площадь остается равной единице:

.

В операторной форме эта функция имеет вид Проводя обратное преобразование Лапласа получим вид функции во временной области. Обратное преобразование проводим по теореме разложения.

По теореме разложения

где G (p) и H (p) числитель и знаменатель изображения соответственно, а — корни знаменателя.

Корни знаменателя:

Экспоненты разложим по формуле Эйлера Подставляя все в формулу разложения и упрощая, получим

2.4 Изображение по Лапласу входного импульса

Входной импульс представляет собой фрагмент синуса длительностью и частотой

Для аналитической записи воспользуемся единичной функцией. Тогда

Найдем изображение этой функции воспользовавшись прямым преобразованием Лапласа.

Разобьем этот интеграл на два Первый интеграл является табличным (в силу того, что 1-я функция при t>0 равна 1)

Второй интеграл вычисляем разбив его на два и заменяя переменную интегрирования Учтем, что, , а, преобразуем этот интеграл к виду

Таким образом, получаем что изображение входного сигнала равно

2.5 Найти напряжение на выходе цепи, используя

Для нахождения выходного импульса воспользуемся определением функции передачи.

По определению, следовательно

Таким образом, изображение выходного сигнала равно Для нахождения оригинала воспользуемся следующим приемом. Разобьем изображение на две части (одна без экспоненты другая с ней):

По свойству линейности То есть, для нахождения оригинала нам необходимо вычислить два изображения и

По теореме разложения найдем

где — полюсы изображения Тогда для нашего случая поучаем Тогда, расписывая решение по формуле разложения, получаем

Рассмотрим второй оригинал Тогда, по теореме запаздывания, и учитывая, что оригинал в отрицательный момент времени равен нулю, получим Делая подстановки, получаем:

2.6 Построить на графике переходную и импульсную характеристики цепи, входной и выходной сигналы

Рис. 8 Переходная характеристика цепи.

Рис. 9 Импульсная характеристика цепи.

Рис. 10. Входной и выходной сигналы

Часть 3. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

Требуется:

Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи HU (jw).

Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H (j?)|макс.

Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|F (j?)|макс.

Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи. Сверить эти качественные оценки с сигналом на выходе, полученным в п. 2.2.5.

Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала.

Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближённый метод Гиллемина.

3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функции передачи )

Для анализа цепи используем ранее полученную функцию передачи

Для исследования частотных характеристик воспользуемся тем фактом, что необходимое нам преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа, когда действительная часть оператора Лапласа, т. е.. Таким образом, необходимо произвести подстановку в функцию передачи :

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является одной из самых важных характеристик любой цепи и позволяет исследовать искажения вносимые цепью в спектр входного сигнала. Наличие частотно-зависимых элементов (L и C) в исследуемой цепи приводит к неравномерному изменению составляющих спектра входного сигнала. Наиболее простой способ получения АЧХ цепи — это замена в выражении для HU (p) операторной переменной p на мнимую частоту jw и нахождение модуля полученной комплексной функции частоты: ||.

Рис. 11. АЧХ схемы

ФЧХ схемы определяется как аргумент передаточной функции при щ=0.

Рис. 12. ФЧХ схемы Амплитуднофазочастотная характеристика цепи (годограф) связывает воедино изменение коэффициента передачи (в нашем случае, по напряжению — |HU (jw)| и фазового сдвига между выходным и входным напряжением во всем диапазоне частот. Годограф включает сведения которые содержатся как в АЧХ, так и в ФЧХ.

Годограф является параметрической кривой, параметром которой является частота w. Длина вектора, проведенного из начала координат к какойлибо точке годографа соответствует абсолютному значению передаточной функции на этой частоте |HU (jw)|, а угол между ним и положительным направлением вещественной оси — аргументу передаточной функции arg (HU (jw)). На рис. 13 представлен годограф для рассматриваемой цепи. Нулевой частоте соответствует точка с координатой 0,444 на вещественной оси, очень большой (в пределе бесконечной) частоте соответствует точка с координатой 0 на вещественной оси. На этих граничных частотах влияние реактивных элементов на фазовый сдвиг отсутствует.

Рис. 13. АФХ цепи

3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0,707 |H (j?)|макс

По построенной характеристике может быть определена полоса пропускания. Полосой пропускания цепи называют диапазон частот для которых коэффициент передачи не более чем в ?2 отличается от его максимального значения. Это же соответствует снижению уровня сигнала на 3 дБ. Для рассматриваемой цепи максимальное значение передаточной функции составляет |HU (jщ)|max = 0,444. Границе полосы пропускания соответствует значение передаточной функции. Это значение достигается на частоте c-1. Таким образом полоса пропускания равна. Если основные гармоники сигнала лежат в этой полосе частот, то не происходит искажения формы сигнала.

3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала. Определить ширину спектра входного сигнала по уровню 0,1|U(j?)|макс.

АЧХ входного сигнала находится как модуль от спектральной характеристики U (j?), которую получаем на основе ранее найденного изображения сигнала.

Для исследования частотных характеристик воспользуемся тем фактом, что необходимое нам преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа, когда действительная часть оператора Лапласа, т. е. .

Построим амплитудно-частотную характеристику входного сигнала .

Рис 14. АЧХ входного сигнала.

Определяя по уровню 0,1|U (j?)|макс. ширину спектра, получим

Ограничивая спектр сигнала определенной по уровню 0,1|U (j?)|макс. шириной спектра? w, мы учитываем?? W?w/Wt) · 100% ?? 96?? от полной энергии Wt сигнала. Это следует из использования теоремы Рейли для расчета данного отношения анализ цепь метод воздействие Эта информация может быть полезной, например, для выбора полосы пропускания фильтра.

ФЧХ входного сигнала определяется как аргумент от спектральной характеристики:

Рис 15. ФЧХ входного сигнала

3.4 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры выходного сигнала

Используя известную функцию передачи можем найти АЧХ и ФЧХ выходного сигнала.

АЧХ входного сигнала находится как модуль от спектральной характеристики U (j?), умноженный на модуль функции передачи

Рис 16. АЧХ выходного сигнала ФЧХ входного сигнала находится как сумма аргументов спектральной характеристикиU (j?), и функции передачи .

Рис 17. ФЧХ выходного сигнала.

3.5 Определить выходной сигнал по вещественной или мнимой частотной характеристике, используя приближённый метод Гиллемина

Метод Гиллемина является одним из методов позволяющих восстановить функцию времени (какой — либо сигнал) по известной вещественной (или мнимой) частотной характеристике. Метод основан на такой аппроксимации, когда аппроксимирующая частотную характеристику функция либо ее производные состоят из последовательности бесконечно коротких импульсов. Последовательность бесконечно коротких импульсов представляет собой заданную функцию в так называемой квантованной форме. Погрешность метода преимущественно связана со ступенчатым характером аппроксимирующей функции. Уменьшение этой погрешности требует увеличения общего числа членов в аппроксимации. Исходная частотная характеристика аппроксимируется кусочнолинейным образом, после чего два последовательных дифференцирования позволяют свести аппроксимирующую функцию к последовательности бесконечно коротких импульсов. Окончательное выражение для искомой функции времени f (t) полученной по вещественной частотной характеристике имеет вид:

Здесь ak — величины бесконечно коротких импульсов, щk — координаты импульсов на частотной оси.

Вещественная частотная характеристика Gн (щ) может быть определена как Рис 18. Вещественная частотная характеристика выходного сигнала.

Интерполируем полученную зависимость, взяв количество разбиений равным 20.

Диапазон частот ограничим величиной примерно равной ширине спектра — .

Тогда интервал разбиений равен

Рис 19. Интерполированная зависимость.

Найдем производные первого порядка в точках разбиения и построим полученную зависимость на графике.

Найдем производные первого порядка в точках разбиения и построим полученную зависимость на графике.

Для определения выходной зависимости напряжения от времени, на основе полученных данных, воспользуемся формулой

Здесь G''k — величины бесконечно коротких импульсов, wk — координаты импульсов на частотной оси.

Тогда для нашего случая:

Восстановленная временная зависимость имеет вид:

Рис. 22. Восстановленная по методу Гиллемина временная зависимость выходного напряжения и временная зависимость выходного напряжения определенная во 2-ой части работы

4. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

Требуется:

Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры.

Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п. 3.3.

Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.

Построить напряжение или ток на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье. Графики по пп. 4.2 и 4.4 построить на одном масштабе времени и разместить их на одном листе один под другим.

Данные задачи: Um = 8 В, tи = 10−4 c, T = 4010−5 c.

4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить её амплитудный и фазовый спектры

Ряд Фурье периодической функции можно представить в виде:

где — амплитуда i-ой гармоники, — начальная фаза.

— основная (главная) частота рассчитывается по формуле:

T — период сигнала;

рад/с Далее, в задании необходимо аппроксимировать входную и выходную зависимость, количество гармоник, необходимых для аппроксимации выбираем исходя из того, чтобы частоты этих гармоник помещались в ширину спектра, определенную в 3-ей части.

(с учетом округления в большую сторону) Для нахождения амплитудных составляющих воспользуемся спектральной плотностью сигнала, найденной в 3-ей части курсовой работы.

Для нахождения фазы также воспользуемся ею:

Рассчитаем амплитуды всех нужных нам гармоник.

А так же нам потребуются все сдвиги фаз:

4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и её аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п. 3.3.

Рис 23. Амплитудный спектр входного сигнала Рис 24. Фазовый спектр входного сигнала

4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье

Для определения амплитуд и фаз необходимых для аппроксимации выходного сигнала отрезком ряда Фурье, используем функцию передачи, определенную во 2-ой части курсовой работы.

Рис 25. Амплитудный спектр выходного сигнала Рис 26. Фазовый спектр выходного сигнала Рис 27. Входной сигнал и его аппроксимация рядом Фурье

Таким образом по найденным коэффициентам и значениям начальных фаз, строим функцию зависимости сигнала от времени Рис 28. Выходной сигнал и его аппроксимация рядом Фурье

Заключение

Целью курсовой работы являлось овладение основными современными методами ана-лиза линейной электрической цепи при различных воздействиях на нее. В курсовой работе использован следующий материал курса теоретических основ элек-тротехники: методы расчёта сложных цепей, анализ цепей во временной области, операторный метод анализа цепей, частотный метод анализа цепей. В первой части работы предлагалось провести анализ цепи во временной области методом переменных состояния. Прежде всего стоит отметить его преимущество при исследовании переходных процессов в электрических цепях с большим количеством реактивных элементов: в классическом методе расчета сложность и объем расчетов напрямую зависит от их количества, объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования. Также стоит отметить, что для вычислительной техники неудобен, в плане обработки и вычислений, интегро-дифференциальный вид решаемых уравнений. Метод переменных состояния представляет собой более упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный способ решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши, последовательность действий при решении более алгоритмизована и более подходит для программной реализации.

Существует множество численных способов решения уравнений в такой форме, в частности метод Эйлера, используемый в этой работе при выполнении задания. Это также является преимуществом при автоматизации данного метода. Вторая часть работы заключается в использовании операторного метода при анализе цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Данный метод имеет явные преимущества перед классическим (который, как стоит отметить, можно теоретически применять в решении задач любой степени сложности). Частотный метод заключается в переходе из временной области в область операторных изображений, при помощи прямого преобразования Лапласа.

Это помогает избежать операций интегрирования и дифференцирования, заменив эти операции делением и умножением соответственно. В операторном методе используется функция передачи. При помощи этой функции мы можем определить нули и полюса и посмотрев на их изображение получить информацию о свойствах исследуемой цепи, например посмотрев на расположение нулей можно сказать содержит ли цепь резистивные элементы (нули находятся только на мнимой оси) или посмотрев на изображение полюсов можно сказать будут ли в цепи затухания (полюса лежат в левой полуплоскости) и т. д. Так же при помощи передаточной функции можно определить переходную и импульсную характеристики. В третьей части курсовой работы предлагалось провести анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии. В этом методе так же использовали найденную ранее передаточную функцию — находили фазо-частотную, амплитудно-фазовую и амплитудно-частотную характеристики.

Таким образом АЧХ и ФЧХ характеризуют зависимости от частоты соответственно амплитуды и начальной фазы отклика цепи на внешнее воздействие. АФХ (он же годограф) — позволяет судить об АЧХ и ФЧХ одновременно. В этой части использовался метод Гиллемина — это приближенный метод получения функции времени по мнимой или действительной частотной характеристике. И в четвертой части использовался частотным методом при периодическом воздействии. Здесь мы использовали функцию разложения в ряд Фурье. Преимущество использования комплексной формы ряда Фурье состоит в том, что она позволяет непосредственно найти амплитуды и начальные фазы гармоник. Точность представления сигнала гармоническим рядом зависит от количества гармоник, удерживаемых в разложении сигнала. суммирование мгновенных значений отдельных гармоник сигнала на сопротивлении нагрузки Rн позволяет получить результирующий выходной сигнал iн (t). Оправданность такого подхода связана с применимостью принципа суперпозиции (метода наложения) к линейным электрическим цепям.