Методы оценки параметров распределения

1. Вычислить критерий хи-квадрат и сделать вывод о нормальности данного распределения.

2. Построить график эмпирического распределения.

Критерий Пирсона

1. Наблюдаемый критерий Пирсона вычисляется по следующей формуле:

критерий пирсон колмогоров распределение частота

где — наблюдаемая частота; - теоретическая частота.

Массив данных о значениях случайной величины X, как элементов выборки представим в таблице 1.1 в ячейках В2:К5.

Таблица

2. Разобьем исходные данные по интервалам. Количество интервалов вычислим по формуле, где n — объем выборки.

Объем выборки определим с помощью функции СЧЕТ. Для этого установим курсор в ячейку В7, щелкнем мышкой над кнопкой, которая находится на панели инструментов. Появится окно «Мастер функций — шаг 1 из 2», в котором в категории «Статистические» выбираем функцию СЧЕТ. Затем мышкой выполним команду ОК. В появившемся окне «Аргументы функции» поставим курсор в строку ввода «Значение 1» и мышкой выделим массив В2:К5, щелкнем мышкой ОК. В ячейке В7 появится значение объема данных, число 40.

Введем в ячейку Е7 формулу: =1+3,32*Log(В7), в ячейке Е7 появится число 6,31 884.

Далее вычислим шаг интервалов, используя формулу, где — максимальное значение варианты из массива данных; - минимальное значение варианты; k — количество интервалов.

Выделим пустую ячейку В8 и вызовем окно «Мастер функций — шаг 1 из 2», в котором инициируем функцию «МАКС», введем в строку ввода блок ячеек В2:К5. В ячейке В8 появится максимальное значение данных, число 10. Выделим пустую ячейку В9 и вызовем окно «Мастер функций — шаг 1 из 2», в котором инициируем функцию «МИН», введем в строку ввода блок ячеек В2:К5. В ячейке В9 появится максимальное значение данных, число 1.

Теперь введем в ячейку Е8 формулу: =(В8-В9)/Е7. Получим значение шага h=1,42 431. Округлим его, получаем h=1,5.

Таким образом, имеем шаг h=1,5, количество интервалов округлим до 7, k=7. Вычислим теоретические частоты по интервалам. Для этого построим новую расчетную таблицу 1.2. Значения частот определяем с использованием функции ЧАСТОТА ().

Введем в ячейку В11 заголовок для левого конца интервала, в ячейку С11 — заголовок правого конца интервала. Далее вводим значения в столбцы В12:В18 и С12:С18.

Таблица

3. 1) Выделим мышкой пустой столбец D12:D18. Щелкнем мышкой над кнопкой функцию ЧАСТОТА. Появится окно «Аргументы и функции». Вводим в строку массив данных блок В2:К5. Затем переводим курсор в строку массив интервалов. Т. е. выделяем столбец В12:В18 и нажимаем последовательно на клавиатуре три кнопки Ctrl+Shift+Enter.

2) Столбец Е12:Е18 заполним средними значениями каждого интервала. В столбце F12:F18 вычислим средние значения для всего массива данных. Для этого в ячейку F12 вводим формулу =D12*E12 и протягиваем мышкой значение этой ячейки до конца таблицы. В ячейке F19 вычисляем сумму, а в ячейке F20 — среднее значение по формуле =F19/D19. =6,2125

3) Вычисляем среднее квадратическое отклонение по формуле

.

Вводим с клавиатуры в ячейку G12 формулу =(E12-59,875)^2*D12 и протягиваем ячейку до ячейки G18. Далее вычисляем в G19 сумму, в ячейке G20 — среднее значение, разделив сумму на 40 и в ячейке G21 извлекаем корень квадратный по формуле =корень (G20). 2,60 861.

4. Вычислим безразмерные аргументы для левых концов интервала и для правых концов интервала по формуле .

В ячейку H12 вводим формулу =(В12-6,2125)/ 2,60 861 и протягиваем ее до конца столбца, т. е. заполняем нижние значения соответствующими вычислениями. Аналогично вычисляем величины формулой: =(C12-6,2125)/ 2,60 861.

Далее вычисляем значения функций Лапласа F( и F( по таблице и результаты помещаем в новую расчетную таблицу 1.3 в ячейки В24:В30 и С24:С30.

Таблица 1.3

Вычисляем теоретические частоты по формуле F (F (. Вводим в ячейку E24 формулу =(С24-В24)*60 и протягиваем формулу до конца столбца.

Вычисляем критерий Пирсона Хи-квадрат. В ячейку F24 вводим формулу: =(D12-E24)^2/E24.

В итоге, как видно из таблицы 1.3 получено 3,20 423.

Сравним найденное значение с табличным по уровню значимости б=0,05 и степени свободы s=k-2=7−2=5. =11,1

Т.о., наблюдаемый критерий меньше табличного, следовательно, исходные данные соответствуют нормальному закону распределения.

Критерий согласия Колмогорова — Смирнова

Вычислим критерий D по формуле, где — экспериментальные и теоретические накопленные частоты соответственно. Накопленные частоты получаются путем последовательного сложения частот по всем интервалам, начиная с первого. Для удобства вычислений составим расчетную таблицу 2.1.

Таблица 2.1

Максимальное значение абсолютной разности накопленных частот равно 2,256. По формуле делим его на n=40 и получим D=0,0564. Найдем табличное значение критерия с уровнем значимости б=0,05 и степенью свободы n=40. .

Следовательно, исходные данные соответствуют нормальному распределению, т.к. .

Т.о., второй метод подтверждает наличие нормального распределения выборки.

Построение графика распределения частот

Для построения графика распределения частот используем данные таблицы 1.3. В качестве абсциссы берем координаты массив D24:D30. В качестве ординат — блок E24:E30.

1. Выполним команду ВСТАВКА из верхнего меню. Выберем пиктограмму Точечная и в появившемся окне вид плавной кривой с точками.

2. В верхней ленте выбрать команду Выбрать данные. Появится окно Выбор исходных данных. После чего выделяем столбец D24:D30 нажимаем клавишу Ctrl на клавиатуре и, опуская ее, выделяем столбец E24:E30. Щелкнем по команде ОК. Появится изображение графика.