Механика материалов конструкции

Исходные данные Параметры нагружения:

Линейные размеры:

Угловые размеры:

Жёсткости:

Характеристики материала:

Постановка задачи:

Стержневая система, моделирующая конструкцию робота-манипулятора, нагружена сосредоточенными силами и, приложенными к захвату (точка М) и распределённой нагрузкой, действующей на стержень 1.

Предполагается, что усилие в стержне 3 вызывает его растяжение (сжатие), остальные элементы конструкции находятся в условиях поперечного изгиба.

Упругие свойства приводов моделируются пружинами с линейной жёсткостью — в точке C, и угловой жёсткостью — в точке O.

Определить:

— Размеры поперечных сечений стержней из расчёта на прочность.

— Деформации элементов конструкции, а также линейные и угловое перемещения захвата.

— Построить матрицу податливости системы, характеризующую влияние нагружения захвата на его линейные перемещения с помощью интеграла Мора и сравнить полученный результат с результатом вычислений графами. Решение:

1. Уравнения равновесия для определения реакций связей.

Разбиваем систему на отдельные тела и составим для них уравнения статики в базовой системе координат oyz.

Для первого тела:

где

сечение стержень деформация захват Для второго тела:

Для третьего тела:

Для ползуна:

2. Распределение изгибающих моментов для стержней 1, 2

Перепроектируем силы на локальные оси координат, связанные со стержнями 1 и 2. При этом определяем составляющие в точках О, А, М, направленные вдоль осей и (растяжением/сжатием данных стержней пренебрегаем):

Проекция сил, приложенных к точке O, на ось (см. рис. 2):

Проекция сил, приложенных к точке A, на ось (см. рис. 2):

Проекция сил, приложенных к точке A, на ось (см. рис. 3):

Проекция сил, приложенных к точке M, на ось (см. рис. 3):

Определим распределение изгибающих моментов для стержня 1 по рис. 6, рассматривая равновесие левой от сечения 1 части стержня.

Определим распределение изгибающих моментов для стержня 3 по рис. 7, рассматривая равновесие левой от сечений 2, 3 частей стержня.

Здесь функция Хевисайда ,

Далее построим эпюры изгибающих моментов для стержней 1, 2 и определим наибольшие по модулю значения моментов для каждого из этих стержней (см. по программе).

3. Расчёт на прочность стержней 1, 2, 3

Условие при расчёте на прочность при поперечном изгибе имеет вид:

где

— момент сопротивления сечения, — допускаемое напряжение.

Примем, что изгибающиеся стержни 1 и 2 имеют прямоугольное сечение с размерами и (ширинавысота). При чём геометрические размеры этих сечений определяются из следующих соотношений:

.

где

— момент инерции сечения.

Условие при расчёте на прочность при растяжении/сжатии имеет вид:

где Учитывая, что для второго стержня, имеем:

Примем, что стержень 3 имеет сечение в форме кольца с диаметром и толщиной стенки. Задаваясь толщиной стенки, определим диаметр из соотношения

.

Вычислив, получим:

4. Определение деформаций упругих тел

Для определения упругих перемещений точек стержня 1 воспользуемся моделью изгиба стержня с заделкой в точке O.

Дифференциальное уравнение изгиба первого стержня в общем виде:

Дважды проинтегрировав, получим:

Постоянные интегрирования и определим из граничных условий для данной модели изгиба:

Получим .

Очевидно, перемещение точки А, связанное с изгибом стержня 1 равно Для второго стержня в качестве расчётной модели примем изгиб двухопорной балки с шарнирными закреплениями в точках B и A.

Дифференциальное уравнение изгиба третьего стержня в общем виде:

Дважды проинтегрировав, получим:

Постоянные интегрирования и определим из граничных условий для данной модели изгиба:

Получим

.

Очевидно, перемещение точки M, связанное с изгибом стержня 2 равно Растяжение/сжатие третьего стержня рассчитывается как .

Необходимо учесть также соотношения для упругой силы линейной пружины:

где

— линейное перемещение точки С по оси y.

и для упругого момента угловой пружины:

где — угловое перемещение локальной системы координат oy₁z₁.

5. Определение линейных и угловых перемещений элементов системы

В соответствии с графом, кинематические соотношения для линейных перемещений точек и угловых перемещений тел имеют вид: (по рис. 1, 8):

Здесь

и — вектора линейных перемещений точки M захвата и точки О соответственно,

— вектор линейного перемещения точки М, связанный с деформацией стержня 2,

— вектор линейного перемещения точки А, связанный с деформацией стержня 1,

 — угловые перемещения локальных систем координат oy₁z₁ и oy₂z₂.

В проекциях на базовые оси координат получим:

Аналогичное соотношение для графа имеет вид:

Здесь

— вектор линейного перемещения точки С,

— вектор линейного перемещения точки B, связанный с деформацией стержня 3,

— угловое перемещение стержня 3.

Проектируя векторные соотношения, получим:

Выражения для получаем при перепроектировании соответствующих относительных (локальных) перемещений из локальных систем координат в базовую.

Угловое перемещения захвата М определим так:

Получили систему уравнений 1 — 20 замкнутую относительно следующих неизвестных (20 параметров):

Решим полученную систему уравнений, выразив неизвестные через параметры .

Теперь, положив вычислим деформации элементов конструкции при заданных исходных нагрузках.

Получим:

Также требуется вычислить деформации при .

6. Расчёт матрицы податливости

Рассчитаем матрицу податливости через интеграл Мора, для чего убираем все внешние нагрузки и прикладываем единичную силу вдоль оси y (первое нагружение, т. е. решаем систему уравнений статики для значений).

Величины, рассчитанные для первого нагружения будем обозначать индексом 1, например .

Снова убираем все внешние нагрузки и прикладываем единичную силу вдоль оси z (второе нагружение, т. е. решаем систему уравнений статики для значений).

Величины, рассчитанные для второго нагружения будем обозначать индексом 2, например .

Элементы матрицы податливости рассчитываются следующим образом:

Из формул нетрудно видеть, что матрица податливости должна быть симметричной и иметь на главной диагонали только положительные элементы.

Вычислив, получим:

Аналогичный результат можно получить, исследуя решение системы уравнений 1 — 20. Если в выражениях для линейных перемещений точки М (см. программу) положить, то матрица коэффициентов перед, и будет матрицей податливости системы.

Приложение Расчёт в математическом пакете Maple 9.0

> restart;

> Heaviside (0):=0:

> # Уравнения равновесия для определения реакций связей:

> sys_stat:=

> Y[A]+Y[O]+a*r[1]^2/2*cos (theta[1]-pi/2),

> Z[A]+Z[O]+a*r[1]^2/2*sin (theta[1]-pi/2),

> M[upr]+r[1]*R[Oy[1]]+a*r[1]^3/3,

> P[y]-Y[A]+R[B]*cos (theta[3]),

> P[z]-Z[A]+R[B]*sin (theta[3]),

> -2*r[2]*P[z]*cos (pi-theta[2])-2*r[2]*P[y]*sin (pi-theta[2])+

r[2]*R[B]*cos (theta[2]-pi/2-theta[3]),

> R[B]=R[C],

> N[C]-R[C]*sin (theta[3]),

> F[upr]-R[B]*cos (theta[3]);

> # Распределение изгибающих моментов для стержней 1,2:

> # Перепроектируем силы на локальные оси координат:

> R[Oy[1]]: =Y[O]*cos (theta[1]-pi/2)+Z[O]*sin (theta[1]-pi/2);

> R[Ay[1]]: =Y[A]*cos (theta[1]-pi/2)+Z[A]*sin (theta[1]-pi/2);

> R[Ay[2]]: =-Y[A]*cos (theta[2]-pi/2)-Z[A]*sin (theta[2]-pi/2);

> P[y[2]]: =P[y]*cos (theta[2]-pi/2)+P[z]*sin (theta[2]-pi/2);

> # Уравнения изгибающих моментов при рассмотрении равновесия левой части для каждого из изгибающихся стержней:

> M[x[1]]: =M[upr]+z[1]*R[Oy[1]]+a*z[1]^3/6;

> M[x[3]]: =R[B]*z[2]*cos (theta[2]-pi/2-theta[3])+(z[2]-r[2])*R[Ay[2]]*Heaviside (z[2]-r[2]);

> # Исходные данные:

> pi:=Pi:

k:=1.36*10**5;

c:=2.743 392*10**4;

E:=2.*10**11;

sigma[max]: =2.*10**8;

r[1]:=0.82;

r[2]:=0.45;

r[3]:=0.98;

theta[1]:=1.6;

theta[2]:=2.9;

theta[3]:=0.4;

> # Решение уравнений статики:

> solve ({sys_stat},{Y[A], Z[A], Y[O], Z[O], N[C], M[upr], F[upr], R[B], R[C]});

> assign (%);

> # Построим эпюры изгибающих моментов:

> P[y]: =118;

P[z]:=236;

a:=472;

> plot (M[x[1]], z[1]=0.r[1], color=blue, thickness=3,title="Эпюра изгибающих моментов n для первого стержня");

> plot (M[x[3]], z[2]=0.3*r[2], color=blue, thickness=3,title="Эпюра изгибающих моментов n для второго стержня");

> # Расчёт на прочность стержней 1,2,3:

> # Определим наибольшие параметры нагружения:

> maxM[1]: =maximize (abs (M[x[1]]), z[1]=0.r[1]); # [Н*м]

> maxM[3]: =maximize (abs (convert (M[x[3]], piecewise)), z[2]=0.3*r[2]); # [Н*м]

> maxP[3]: =abs (R[B]); # [Н]

> # Определим параметры сечений:

> sys_sech:=

> h[1]/b[1]=2.18,

> h[2]/b[2]=2.18,

> b[1]*h[1]^2/6=maxM[1]/sigma[max],

> b[2]*h[2]^2/6=maxM[3]/sigma[max],

> F[3]=maxP[3]/sigma[max];

> fsolve ({sys_sech},{h[1], b[1], h[2], b[2], F[3]});

> assign (%);

> # Выберем в качестве третьего стержня трубу с толщиной стенки 0.05 мм диаметром d[3]:

> d[3]=solve (F[3]=0.05*10**(-3)*Pi*d[3], d[3]); # [м]

> # Моменты инерции сечений:

> Ix[1]: =b[1]*h[1]^3/12; # [м⁴]

> Ix[2]: =b[2]*h[2]^3/12; # [м⁴]

> # Определение деформаций упругих тел:

> # Выберем в качестве модели изгиба для 1-го стержня задеку в точке O, а для 2-го стержня — двухопорную балку с шарнирами в точках A и B.

> unassign ('a','P[y]','P[z]');

> V[1]: =convert (1/E/Ix[1]*int (int (M[x[1]], z[1]), z[1])+_C[1]*z[1]+_C[2], piecewise):

> V[2]: =convert (1/E/Ix[2]*int (int (M[x[3]], z[2]), z[2])+_C[3]*z[2]+_C[4], piecewise):

> # Начальные условия для 1-го и 2-го стержней соответственно:

> cond[1]: =eval (V[1], z[1]=0)=0,eval (diff (V[1], z[1]), z[1]=0)=0:

> cond[2]: =eval (V[2], z[2]=0)=0,eval (V[2], z[2]=r[2])=0:

> solve ({cond[1]},{_C[1],_C[2]});

> assign (%);

> solve ({cond[2]},{_C[3],_C[4]});

> assign (%);

> # Построим графики моделей изгибов для первого и третьего стержней соотвественно:

> plot (subs (a=472, P[y]=118, P[z]=236, V[1]), z[1]=0.r[1], color=blue, thickness=3, title="Форма изгиба первого стержня");

> plot (subs (a=472, P[y]=118, P[z]=236, V[2]), z[2]=0.3*r[2], color=blue, thickness=3, title="Форма изгиба второго стержня");

> # Уравнения перемещений точек для неизвестных:

> params:=[

> D_M[y], D_M[z], D_C[y],

> D_theta[1], D_theta[2], D_theta[3], Theta[M],

> dBy (3), dBz (3),

> dAy (1), dAz (1),

> dMy (2), dMz (2)];

> # Выразим решение через a, P[y] и P[z].

> sys_graph:=

> F[upr]=-k*D_C[y],

> M[upr]=-c*D_theta[1],

> D_M[y]=dAy (1)+dMy (2)-D_theta[1]*r[1]*sin (theta[1])-2*D_theta[2]*r[2]*sin (theta[2]),

> D_M[z]=dAz (1)+dMz (2)+D_theta[1]*r[1]*cos (theta[1])+2*D_theta[2]*r[2]*cos (theta[2]),

> D_M[y]=D_C[y]+dBy (3)+dMy (2)-D_theta[3]*r[3]*sin (theta[3]+pi)-3*D_theta[2]*r[2]*sin (theta[2]),

> D_M[z]=dBz (3)+dMz (2)+D_theta[3]*r[3]*cos (theta[3]+pi)+3*D_theta[2]*r[2]*cos (theta[2]),

>

> # Перепроектируем локальные перемещения:

> dBy (3)=-R[B]*r[3]/E/F[3]*cos (theta[3]),

> dBz (3)=-R[B]*r[3]/E/F[3]*sin (theta[3]),

> dAy (1)=eval (V[1], z[1]=r[1])*cos (theta[1]-pi/2),

> dAz (1)=eval (V[1], z[1]=r[1])*sin (theta[1]-pi/2),

> dMy (2)=eval (V[2], z[2]=3*r[2])*cos (theta[2]-pi/2),

> dMz (2)=eval (V[2], z[2]=3*r[2])*sin (theta[2]-pi/2),

> Theta[M]=D_theta[2]-eval (diff (V[2], z[2]), z[2]=3*r[2]):

> SLV:=solve ({sys_graph},

> convert (params, set));

> # Вычислим деформации элементов конструкции при исходных нагрузках (a=472, P[y]=118, P[z]=236):

> subs (a=472, P[y]=118, P[z]=236,SLV);

> # Вычислим деформации элементов конструкции при нагрузках (a=0, P[y]=118, P[z]=236):

> subs (a=0, P[y]=118, P[z]=236,SLV);

> assign (SLV);

> # Расчёт матрицы податливости:

> # Вычислим матрицу податливости через интеграл Мора:

> # Первое нагружение (a=0, P[y]=1, P[z]=0):

> M[x[1], 1]: =subs (a=0, P[y]=1, P[z]=0, M[x[1]]);

> M[x[3], 1]: =subs (a=0, P[y]=1, P[z]=0, M[x[3]]);

> M[upr, 1]: =subs (a=0, P[y]=1, P[z]=0, M[upr]);

> F[upr, 1]: =subs (a=0, P[y]=1, P[z]=0, F[upr]);

> R[B, 1]: =subs (a=0, P[y]=1, P[z]=0, R[B]);

> # Второе нагружение (a=0, P[y]=0, P[z]=1):

> M[x[1], 2]: =subs (a=0, P[y]=0, P[z]=1, M[x[1]]);

> M[x[3], 2]: =subs (a=0, P[y]=0, P[z]=1, M[x[3]]);

> M[upr, 2]: =subs (a=0, P[y]=0, P[z]=1, M[upr]);

> F[upr, 2]: =subs (a=0, P[y]=0, P[z]=1, F[upr]);

> R[B, 2]: =subs (a=0, P[y]=0, P[z]=1, R[B]);

> # Вычислим коэффициенты матрицы податливости:

> G:=matrix (2,2,[delta[11], delta[12], delta[21], delta[22]]);

> delta[11]: ='1/E/Ix[1]*int (M[x[1], 1]^2,z[1]=0.r[1])+1/E/Ix[2]*int (M[x[3], 1]^2,z[2]=0.3*r[2])+R[B, 1]^2*r[3]/E/F[3]+M[upr, 1]^2/c+F[upr, 1]^2/k';

> delta[12]: ='1/E/Ix[1]*int (M[x[1], 1]*M[x[1], 2], z[1]=0.r[1])+1/E/Ix[2]*int (M[x[3], 1]*M[x[3], 2], z[2]=0.3*r[2])+R[B, 1]*R[B, 2]*r[3]/E/F[3]+M[upr, 1]*M[upr, 2]/c+F[upr, 1]*F[upr, 2]/k';

> delta[22]: ='1/E/Ix[1]*int (M[x[1], 2]^2,z[1]=0.r[1])+1/E/Ix[2]*int (M[x[3], 2]^2,z[2]=0.3*r[2])+R[B, 2]^2*r[3]/E/F[3]+M[upr, 2]^2/c+F[upr, 2]^2/k';

> delta[21]: ='delta[12]';

> delta[11]: =simplify (evalf (delta[11]));

> delta[12]: =simplify (evalf (delta[12]));

> delta[21]: =simplify (evalf (delta[21]));

> delta[22]: =simplify (evalf (delta[22]));

> 'G'=convert (G, Matrix);

> # Выражения для линыейных перемещений точки М:

> 'D_M[y]'=D_M[y];

> 'D_M[z]'=D_M[z];

> # Положив в них a=0, получим:

> 'D_M[y]'=subs (a=0,D_M[y]);

> 'D_M[z]'=subs (a=0,D_M[z]);

> # Матрица коэффициентов перед P[y] и P[z]:

> G:=lhs (simplex[display]([D_M[y]=const, D_M[z]=const],[P[y], P[z]]));