Многократные измерения физических величин

• 1. Решение задач
• Задача № 1
• Задача № 2
• Задача № 3
• Задача № 4
• Задача № 5
• Задача № 6
• Задача № 7
• Задача № 8
• Задача № 9
• Задача № 10
• Список использованных источников

Задача № 1

При многократных измерениях физической величины получены данные, приведённые в таблице 1:

Таблица 1

Произвести обработку ряда измерений, предполагая их нормальное распределение и считая, что систематическая погрешность пренебрежимо мала или отсутствует. Определить доверительный интервал для среднего арифметического значения физической величины, соответствующий доверительной вероятности Р_д. Результат измерения, имеющий наибольшую по модулю остаточную погрешность, проверить на возможность его исключения как промах. Значение Р_д = 0,999; значение коэффициента Стьюдента t_s =4,49; значение t_Г = 2,969.

Решение:

1) Определяем среднее арифметическое значение результатов измерения, мм, по формуле:

;

2) Определяем среднее квадратичное отклонение результатов измерения у:

3) ;

.

4) Определим доверительный интервал при заданной доверительной вероятности Р_д = 0,999, где коэффициент t_Г = 2,969:

;

мм.

4) Выявим наличие грубой погрешности (промаха) с помощью правила 3у.

Так как число измерений невелико, то в этом случае промахом считается тот результат, если .

Ставим под сомнение 4-й результат измерения х₄ = 208 мм.

;

3у = 3· 2,3094 = 6,9282;

1,6667<6,9282.

Данные результаты измерений не содержат грубых погрешностей.

Оценка: мм.

• Задача № 2

В паспорте импортного вторичного прибора, предназначенного для измерения температуры, указан диапазон измерения, равный [32…552] F и допускаемые пределы измерения атмосферного давления: [84… 108] кПа. Определить диапазон измерения данного прибора в °С допускаемое атмосферное давление в мм рт. ст.

Решение:

1) Шкала температур по Фаренгейту связана со шкалой температур по Цельсию соотношением:

;

Учитывая соотношение, определим диапазон измерения температуры в °С:

°С;

°С .

°С;

2) Диапазон измерения давления в мм рт.ст. связан с диапазоном измерения давления в Па соотношением:

1 мм рт. ст. = 133,33 Па.

Учитывая соотношение, определим диапазон измерения прибора в мм рт.ст.:

мм рт.ст.; мм рт.ст.;

мм рт.ст.

• Задача № 3

Определить посредством косвенных измерений удельное сопротивление с неизвестного сплава, если результаты прямых измерений сопротивления R одного метра, изготовленного из указанного сплава провода и его диаметра d, оказались соответственно равными 0,55 Ом и 0,8 мм. Результат полученного косвенного измерения округлить до четырех знаков после запятой. Оценить погрешность результата, если известны абсолютные погрешности измерения длины, сопротивления и диаметра провода: м, Ом, мм.

Решение:

Косвенные измерения позволяют определить значение искомой величины путём прямых измерений некоторых других величин, связанных с искомой определённой математической зависимостью:

Q = f (X, Y, Z,…).

1) Удельное сопротивление с, Ом· мм²/м, определяется по формуле:

где S — площадь поперечного сечения провода, мм², определяется по формуле:

;

Ом· мм²/м.

2) Для данного случая определим абсолютную погрешность косвенного измерения по формуле:

;

3) Ом· мм²/м.

• Задача № 4

Определить вместимость цилиндрического бака и погрешность ее определения по следующим средним результатам измерения внешнего периметра Р = (543 ± ± 2) см и толщины стенки бака д = (0,4 ± 0,14) см. При измерении внутренней высоты бака равномерно по периметру были получены следующие результаты: 198,5; 199,3; 199,6; 199,9; 200,4; 200,8; 200,7; 200,5; 200,2; 199,7; 199,4; 199,0 и 198,6 см. Значение Р_д = 0,99; значение коэффициента Стьюдента t_s = 3,06.

Решение:

1. Проведём обработку результатов измерения h:

1) Определим среднее арифметическое значение результатов измерений:

;

см.

2) Определим среднее квадратичное отклонение результата измерения у:

;

.

3) Определим доверительный интервал при заданной доверительной

вероятности Р_д = 0,99, где коэффициент t_Г = 2,689:

;

;

;

см.

Внутренняя высота бака составляет 199,7±0,6426 см.

2. Определим объём бака:

1) ;

см³.

2) Абсолютная погрешность косвенного измерения:

;

см³.

3) Таким образом V = 53 967,7300 ± 18 890,5496 см³.

• Задача № 5

Ток в цепи определяется путём измерения напряжения на составном резисторе (Рисунок 1). Резисторы R₁ и R₂ — прецизионные, сопротивлением (6 ± 0,2) и (12,00 ± 0,4) Ом, соответственно. Сопротивление резистора R₃, было измерено шесть раз и получены следующие результаты: 8,82; 8,78; 8,76; 8,74; 8,73; 8,69. После сборки схемы получены следующие показания вольтметра PVI по результатам шести измерений: 90,361; 90,357; 90,352; 90,346; 90,344; 90,341. Определить значение тока и абсолютную погрешность его измерения, считая внутреннее сопротивление вольтметра бесконечно большим. Р_д = 0,999.

Рисунок 1 — Схема измерения тока Решение:

1) Определим среднее арифметическое значение результатов измерений резистора R₃ и вольтметра PVI соответственно:

;

Ом;

;

В.

2) Определим среднее квадратичное отклонение результата измерения у:

;

;

;

.

3) Определим арифметическую погрешность при заданной доверительной вероятности Р_д = 0,999, где значение коэффициента Стьюдента при шести измерениях равен t_s = 6,86.

;

;

;

Ом.

;

;

;

В.

В итоге имеем: R₃ = 8,7533±0,1201 Ом; U = 90,3500±0,0206 В.

4) Определим значение силы тока при полученных данных измерений.

;

А.

5) Определим абсолютную погрешность косвенного измерения по формуле:

;

А.

В итоге имеем: I = 15,3413±0,7532А.

• Задача № 6

Определить значения температурных коэффициентов сопротивления б и в некоторого сплава, из которого изготовлен проволочный резистор с номинальным сопротивлением (при 20 ⁰С), равным R₂₀ = 1000 Ом. В результате измерений, проведенных при температурах и₁ = 10 ⁰С и и₂ = 40 ⁰С, сопротивления резистора оказались равными R₁ = 999,08 Ом и R₂ = 1000,42 Ом, соответственно.

Решение:

Зависимость между сопротивлением металлического проводника и его температурой имеет вид:

.

По результатам двух измерений составляем систему уравнений:

Следовательно, зависимость между сопротивлением металлического проводника и его температурой будет иметь вид:

.

В данной задаче я пользовался методом совместных измерений

• Задача № 7

Какой класс точности должен иметь измерительный прибор с пределами измерения 0 … X_К, чтобы в точке шкалы 0,7X_К погрешность измерения не превышала ± 2,5% ?

Решение:

1) Поправка измерений д определяется по формуле:

где? — абсолютная погрешность, X — измеряемая величина.

Значит, абсолютная погрешность:

.

2) Приведенная погрешность определяется по формуле:

;

.

3) Класс точности прибора оценивается по приведённой погрешности. Данный прибор должен иметь класс точности г = 1,75.

• Задача № 8

Два пружинных манометра с пределами измерения 0…500 и 0…100 имеют пределы основной погрешности (класс точности) ± 0,5 и ± 1,5%, соответственно. Сравнить погрешности измерения этими манометрами давления Р = 39,7 кПа. Выбрать из них прибор, обеспечивающий более точное измерение данного давления, и записать для этого случая доверительный интервал, в котором находится измеряемая величина.

Решение:

1) Определим предел абсолютной погрешности каждого из манометров.

;

кПа;

;

кПа.

2) Относительная погрешность давления Р = 39,7 кПа составляет:

;

;

;

.

Выбираем второй прибор, обеспечивающий более точное измерение заданного давления.

3) Определим доверительный интервал для заданного давления.

• Задача № 9

Комбинированный цифровой прибор (мультиметр) предназначенный для измерения напряжения, тока и сопротивления, имеет диапазоны измерения указанных физических величин и класс точности для каждого диапазона, приведённых в таблице 9.1. При измерениях на цифровом табло прибора получены значения, укатанные в таблице 9.2. Определить относительные и абсолютные погрешности измерений. Записать окончательные результаты последних, используя правила округления.

Таблица 9.1

Таблица 9.2

Решение:

Предел допускаемой основной относительной погрешности определяется по формуле:

где X — измеренное значение физической величины;

X_K — верхнее значение диапазона измерений данного прибора;

c/d — класс точности.

Абсолютная погрешность измерения определяется по формуле:

.

Результаты вычислений сводим в таблицу 10.3.

Таблица 10.3

• Задача № 10

Определить основную погрешность (класс точности), цену деления и чувствительность амперметра магнитоэлектрической системы (его шкала имеет 100 делений) с пределом измерения I_MAX = I₅, калибруемого с помощью эталонного ручного потенциометра (например, прибора типа УПИП-60М). Точкам шкалы I_i (где i = 1, 2, … 5) калибруемого амперметра РА1 (рисунок 10) соответствует значения напряжения U_0i, измеренные потенциометром на прецизионном (образцовом) резисторе R₀. Средние значения результатов измерений, полученные на прямом и обратном ходах, а также исходные данные для расчета сведены в таблицу 10.

Рисунок 10 — Схема калибровки амперметра Таблица 10 — Исходные данные для расчёта

Решение:

1) Определим значения точек шкалы I, калибруемого амперметра:

;

А;

А;

А;

А;

А.

2) Определим абсолютную погрешность измерений:

;

;

;

;

;

.

3) Определим приведённую погрешность амперметра:

магнитоэлектрический физический измерение погрешность промах

.

Так как в условии задачи сказано, что I_MAX = I₅, то X_K = 1 А:

.

По приведённой погрешности определяем класс точности — 0,28.

4) Определим цену деления прибора:

;

А.

5) Определим чувствительность:

;

.

Список использованных источников

1. Попов В. К. Метрологическое обеспечение средств измерения [Текст]: методические указания к выполнению курсовой работы / В. К. Попов. — Архангельск: Изд-во АГТУ, 2004. — 27 с.