Описание реализации базовой модели электрической цепи

• Введение
• 1. Математическое моделирование технических объектов
• 1.1 Понятие математических моделей, их классификация и свойства
• 1.2 Численные методы в математическом моделировании
• 1.3 Система MathCAD и её основные функции. Аппроксимация функции. Численное дифференцирование в MathCAD
• 2. Алгоритмический анализ задачи
• 2.1 Полная постановка задачи. Описание математической модели
• 2.2 Анализ исходных и результирующих данных
• 3. Описание реализации базовой модели
• 3.1 Описание реализации базовой модели электрической цепи
• 3.2 Описание исследований
• 3.3 Анализ полученных результатов и выводы по результатам исследований
• Заключение
• Список используемой литературы

В нынешний век высоких компьютерных технологий очень сложно представить себе инженера или конструктора, который не пользовался бы в своей деятельности электронной вычислительной машиной. Обладающие большой памятью и колоссальным быстродействием компьютеры позволяют современному человеку быстро и точно проводить сложнейшие математические расчёты, конструировать, решать экономические задачи, заниматься моделированием, переводить тексты на любые языки мира и многое другое. Мировые компьютерные сети позволяют общаться людям различных стран и континентов не выходя из дома.

Трудно перечислить все, что может электронная вычислительная машина. Она ценна ровно настолько, насколько ценен работающий на ней человек. Ценность же человека, работающего в тандеме с машиной, определяется тем, насколько профессионально этот человек сможет поставить машине задачу в форме, которая наиболее полно учитывает и использует все возможности электронной вычислительной машины.

В наше время практически ни одно даже самое мелкое предприятие не обходится без компьютерной техники. Компьютер является мощнейшим средством для реализации различных проектов и решения многих сложных задач математического и физического характера. Однако, без необходимого программного обеспечения компьютер практически ни на что не способен.

Компьютерные библиотеки обладают огромным потенциалом знаний. Появление таких прикладных программ, как Turbo Pascal, MathCad, Microsoft Word, Microsoft Excel, Microsoft Access и так далее, значительно упростило жизнь студентов. Дальнейшее развитие компьютерных технологий и пакетов прикладных программ ведёт к более быстрому и простому проведению всевозможных расчётов. Компьютер уже вошёл в жизнь каждого человека, и в дальнейшем каждый человек должен будет знать устройство компьютера и принципы работы с ним.

Основной дисциплиной непосредственно связанной с применением ЭВМ является вычислительная математика. Начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за сравнительно короткое время объём вычислений в миллионы, миллиарды и более операций, необходимых для решения многих современных задач. Численные методы разрабатывают и исследуют высококвалифицированные специалисты математики.

Что касается подавляющей части студентов не математических специальностей и инженерно-технических работников, то для них главной задачей является понимание основных идей методов решения математических задач, особенностей и областей их применения.

Все в мире программирования основано на взаимодействии человека с персональным компьютером и приемущественно осуществляется при помощи языков программирования. Однако в последнее время появились и стандартные средства, которые значительно облегчают работу разработчика. Одним из таких пакетов является MathCad. Данное программное обеспечение предоставляет значительные возможности для разработки программ для решения инженерных задач. Созданные в MathCad расчетные модели отличаются простотой и наглядностью, а также легко исправляются и дорабатываются.

Интегрированная система MathCad предназначена для решения различного рода вычислительных задач, алгоритмы которых описываются в общепринятых математических терминах и обозначениях.

В данной курсовой работе в среде MathCad было проведено исследование электрической цепи с переменной ёмкостью. Рассчитаны значения функции заряда на конденсаторе в зависимости от варьируемого параметра и функции заряда, а также построен сводный график всех функций заряда и подобрана аппроксимирующая зависимость по результатам опытов.

Приобретённые при выполнении навыки будут очень важны для дипломного проектирования и для дольнейшей инженерной деятельности.

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математических моделей, их классификация и свойства

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель — это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом (например, электронная модель гидравлической или механической системы). Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.

Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, проводились испытания, в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. Если вариант технической разработки оказывался неудачным, все повторялось сначала, т. е. осуществлялось повторное проектирование, изготовление опытного образца, испытания и т. д.

Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Математическая модель — это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т. п. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследований на модели в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом. Такое деление удобно для проектировщиков и функционально вполне обосновано, поэтому в дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.

Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.

Алгоритм — это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда дают их вербальное (словесное) описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.

Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по различным признакам. Если исходить из соотношений, которые выражают зависимости между состояниями и параметрами, то различают следующие модели:

детерминированные, когда при совместном рассмотрении этих соотношений состояние системы в заданный момент времени однозначно определяется через ее параметры, входную информацию и начальные условия;

стохастические, когда с помощью упомянутых соотношений можно определить распределения вероятностей для состояний системы, если заданы распределения вероятностей для начальных условий, ее параметров и входной информации.

По характеру изменения внутренних процессов выделяют непрерывные модели, в которых состояние изменяется в каждый момент времени моделирования;

дискретные модели, когда переходит из одного состояния в другое в фиксированные моменты времени, а на (непустых) интервалах между ними состояние не изменяется.

Если при классификации исходить из способа представления внутренних процессов для изучения, то модели разделяются на аналитические и имитационные.

Для аналитических моделей характерно, что процессы функционирования элементов записываются в виде некоторых математических схем (алгебраических, дифференциальных, конечно-разностных, предикатных и т. д.). Аналитическая модель может исследоваться одним из следующих способов: аналитическим, когда стремятся получить в общем, виде явные зависимости для искомых величин; численным, когда, не имея общего решения, удается найти частное решения или некоторые свойства общего решения, например, оценить устойчивость, периодичность, и т. п.

В имитационных моделях моделирующий алгоритм приближенно воспроизводит функционирование элементов во времени, причем элементарные явления, составляющие динамический процесс, имитируются с сохранением логической структуры и последовательности протекания во времени. Сущность этого метода моделирования обеспечивается реализацией на ЭВМ следующих видов алгоритмов: отображения динамики функционирования элементов, обеспечения взаимодействия элементов и объединения их в единый процесс; генерация случайных факторов с требующимися вероятностными характеристиками; статистической обработки и графической презентации результатов реализации имитационного эксперимента. Моделирующий алгоритм позволяет по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии процесса и его параметрах, получать информацию о состоянии в произвольный момент времени.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диа грамм и т. п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Математические модели и их свойства

На каждом уровне иерархии различают математические модели элементов и систем. Математические модели классифицируются:

по форме представления: инвариантные (представляют собой систему уравнений вне связи с методом решения), алгоритмические (модели связаны с выбранным численным методом решения и его реализацией в виде алгоритма), аналитические (отображаются явными зависимостями переменных), графические (схемные);

по характеру отображаемых свойств: функциональные (описывают процессы функционирования объектов), структурные (отображают только структуру и используются при решении задач структурного синтеза);

по степени абстрагирования: модели микроуровня с распределенными параметрами, модели макроуровня с сосредоточенными параметрами, модели метауровня;

по способу получения: теоретические, экспериментальные;

по учету физических свойств: динамические, статические, непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные;

по способности прогнозировать результаты: детерминированные, вероятностные.

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями.

При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования.

В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы — в механических системах; расходы и давления — в гидравлических и пневматических системах; температуры и тепловые потоки — в тепловых системах; токи и напряжения — в электрических системах.

Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.

Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.

Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости иcкомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на метауровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический «черный ящик». Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным. (Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем. — Мн.: 1997).

1.2 Численные методы в математическом моделировании

С помощью математического моделирования решение научно — технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные.

Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f (x) =0 строится график функции y=f (x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями.

При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и т. д., то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи.

Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

Дифференциальные уравнения, которые можно интегрировать известными методами, встречаются редко. Поэтому особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы бывают аналитическими, когда решения получают в виде аналитического выражения, и числовыми, если решения получают в виде таблицы численные методы.

Пусть требуется найти численное решение дифференциального уравнения:

(1)

удовлетворяющее начальному условию y (x₀) =y₀.

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y₁, y₂, … y_n решения уравнения y (x) в точках x₁, x₂, … x_n. Точки x₁, x₂, … x_{n -} узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h=x_n+1-x_n — шаг сетки (h>0).

Рассмотрим решение дифференциальных уравнений одним из известных методов, а именно методом Рунге-Кутта.

Методом Рунге-Кутта в литературе обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов типа Рунге-Кутта. Предположим, что в точке x известно y (x).

Обозначим

где y (x+h) надо вычислить. Представим разность в виде сумм «поправок» k_j с коэффициентом P_j:

где

(2)

Коэффициенты P_j, получаются при сравнении разложения y и K_i по степеням h.

В случае

K₁=hf (x, y); K₂=hf (x+h/2, y+K₁/2); (3)

K₃=hf (x+h/2, y+K₂/2);

K₄=hf (x+h, y+K₃);

(4)

При x=x₀ c помощью формул (2) — (4) находим

Аналогично получаем следующие приближения:

(i=1,2…) (5)

где y_i=1/6 (K₁ ⁽ⁱ⁾ +2K₂ ⁽ⁱ⁾ +2K₃ ⁽ⁱ⁾ +K₄ ⁽ⁱ⁾⁾ (6)

K₁ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i, y_i);

K₂ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i+h/2,y_i+K₁ ⁽ⁱ⁾ /2); (7)

K₃ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i+h/2,y_i+K₂ ⁽ⁱ⁾ /2);

K₄ ⁽ⁱ⁾ =hf (x_i+h, y_i+K₃ ⁽ⁱ⁾⁾;

Для уравнения f (x, y) верна следующая оценка погрешности метода Рунге-Кутта:

|y₁-y (x₁) |< (8)

где M и N-постоянные, такие, что в области |x-x₀|₀|

|f (x, y) |^k-1 (i+K<=3) (9)

|x-x₀|N<1, aM<=b, h<=a

Аналогично метод Рунге-Кутта можно использовать при решении систем дифференциальных уравнений первого порядка.

Пусть дана система двух уравнений:

y^|=f (x, y, z); z^|=q (x, y, z); (10)

с начальными условиями:

y (x₀) =y₀, z (x₀) =z₀

Определяем параллельно числа по формулам:

=1/6 (K₁+2K₂+2K₃+K₄) (11)

=1/6 (l₁+2l₂+2l₃+l₄)

где

K₁=hf (x_n, y_n, z_n);

K₂=hf (x_n+h/2,y_n+K₁/2,z_n+l₁/2);

K₃=hf (x_n+h/2,y_n+K₂/2,z_n+l₂/2); (12)

K₄=hf (x_n+h, y_n+K₃, z_n+l₃);

l₁=hq (x_n, y_n, z_n);

l₂=hq (x_n+h/2,y_n+K₁/2,z_n+l₁/2);

l₃=hq (x_n+h/2,y_n+K₂/2,z_n+l₂/2); (13)

l₄=hq (x_n+h, y_n+K₃, z_n+l₃);

находят

y_n+1=y_n+, z_n+1=z_n+ (14)

Метод Рунге-Кутта применяется также при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем высших порядков. (Краскевич В.Е., Зеленский К. Х. Численные методы в инженерных исследованиях. — Киев: 1986).

1.3 Система MathCAD и её основные функции. Аппроксимация функции. Численное дифференцирование в MathCAD

MathCAD является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов.

Система MathCAD содержит текстовый редактор, вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор — служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментарии и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта системы — использование общепринятой в математике символики (деление, умножение, квадратный корень).

Вычислитель — обеспечивает вычисление по сложным математических формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, определенный интеграл, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, проводить минимизацию функции, выполнять векторные и матричные операции и т. д. Легко можно менять разрядность чисел и погрешность интеграционных методов.

Графический процессор — служит для создания графиков. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями графических средств. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение размеров графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение их в любое место документа. MathCAD автоматически поддерживает работу с математическим процессором. Последний заметно повышает скорость расчетов и вывода графиков, что существенно в связи с тем, что MathCAD всегда работает в графическом режиме. Это связано с тем, что только в этом режиме можно формировать на экране специальные математические символы и одновременно применять их вместе с графиками и текстом. MathCAD поддерживает работу со многими типами принтеров, а так же с плоттерами.

MathCAD — система универсальная, т. е. она может использоваться в любой области науки и техники, везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе MathCAD на языке, очень близком к стандартному языку математических расчетов, упрощает постановку и решение задач.

Сегодня различные версии MathCAD являются математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений, как численных, так и аналитических, они позволяют с блеском решать сложные оформительские задачи, которые с трудом даются популярным текстовым редакторам или электронным таблицам.

С помощью MathCAD можно, например, готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты не только с качественными текстами, но и с легко осуществляемым набором самых сложных математических формул, изысканным графическим представлением результатов вычислений и многочисленными «живыми» примерами. А применение библиотек и пакетов расширения обеспечивает профессиональную ориентацию MathCAD на любую область науки, техники и образования.

Аппроксимация.

Аппроксимацией функции f (x) называется нахождение такой функции g (x), которая была бы близка к заданной в соответствии с выбранным критерием. Задачей аппроксимации является нахождение функции g (x), проходящей через заданные узлы в соответствии с заданным критерием.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по функции f (x) можно рассмотреть другую функцию g (x) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешности такой замены.

g (х) — аппроксимирующая функция.

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x0 f (x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию g (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией

При интерполяции, заданная функция f (x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

(x) =p_n (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an, an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Pn (xi) =yi i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln (x).

ij

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией.

Функции аппроксимации.

Для осуществления сплайновой аппроксимации MathCAD предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:

Cspine (VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;

pspline (VX, VY) — возвращает вектор /S вторых производных при приближении к опорным точкам к параболической кривой;

Ispline (VX, VY) — возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.

Linterp (vs, vx, vy, х) — возвращает значение у (х) для заданных векторов VS, VХ, VУ и заданного значения х.

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью одной из функций cspline, pspline или ispline отыскивается вектор вторых производных функции у (х), заданной векторами VХ и VУ ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у (х) с помощью функции interp. [5]

Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD используются следующий ряд функций:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) — возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n — число шагов, k — максимальное число промежуточных точек решения, и s — минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

В данной курсовой работе для решения дифференциального уравнения применена функция rkfixed (см. приложение) которая использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения дифференциального уравнения первого порядка получается матрица, имеющая два столбца:

первый столбец содержит значение точек, в которых ищется решение дифференциального уравнения;

второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Функция rkfixed (y, x1, x2,npoints, D) имеет следующие аргументы:

у — вектор начальных условий размерности n, где n — порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе дифференциальных уравнений, для уравнения первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку;

х1, х2 — граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений;

npoints — число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение;

D (x, y) — функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

(Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. — М.: «СК Пресс», 1997. — 336 с. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MathCAD 8 PRO в" Нолидж", 2000. — 512 с.).

Численное дифференцирование в MathCAD.

Решение дифференциальных уравнений.

Для решения дифференциальных уравнений в MathCAD введен ряд функций. Остановимся на функциях, дающих решения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в обычной форме Коши:

rkadapt (y, x1, x2, acc, n, F, k, s) — возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе у (правые части системы записаны в векторе F, n — число шагов, k — максимальное число промежуточных точек решения, и s — минимально допустимый интервал между точками);

Rkadapt (y, x1, x2, n, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n;

rkfixed (y, x1, x2, n, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальным условием в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов n.

В данной курсовой работе для решения дифференциального уравнения применена функция rkfixed (см. приложение) которая использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка. В результате решения дифференциального уравнения первого порядка получается матрица, имеющая два столбца:

первый столбец содержит значение точек, в которых ищется решение дифференциального уравнения;

второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Функция rkfixed (y,x1,x2,npoints,D) имеет следующие аргументы:

у — вектор начальных условий размерности n, где n — порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе дифференциальных уравнений, для уравнения первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку;

х1, х2 — граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений;

npoints — число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение;

D (x, y) — функция, возвращающая значение в виде вектора из п элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Основные отличия решения уравнений второго порядка в MathCAD от решения уравнения первого порядка состоят в следующем:

вектор начальных условий состоит из двух элементов: значений функции и ее первой производной в начальной точке интервала;

функция D (x, y) является вектором с двумя элементами:

матрица, полученная в результате решения, содержит три столбца: первый столбец содержит значения х, второй — у (х), третий — у' (х).

Решение дифференциального уравнения n-го порядка

Методика решения дифференциальных уравнений более высокого порядка является развитием методики, примененной для решения уравнения второго порядка. Основные различия состоят в следующем:

вектор начальных условий состоит из п элементов: значений функции и ее производных:

функция D является вектором, содержащим п элементов:

матрица, полученная в результате решения, содержит п столбцов: первый столбец содержит значения х, оставшиеся столбцы содержат значения. (Токочаков В. И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. — Гомель: ГГТУ, 2000).

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Полная постановка задачи. Описание математической модели

В данной курсовой работе необходимо выполнить:

1. С использованием системы MathCAD рассчитать значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции емкости конденсатора и функции заряда.

2. Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на конденсаторе.

3. Построить сводный график всех полученных функций заряда на одном поле.

4. Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

Описание математической модели

Электрическая цепь, приведенная на рисунке 2, состоит из линейных неизменных во времени L и R и изменяющейся во времени емкости

и описывается дифференциальным уравнением вида:

2.2 Анализ исходных и результирующих данных

Исходные данные для исследований:

C0=0,001 — параметр функции емкости, (Фа);

R=14 — исходное сопротивление, (Ом);

T=0.3 — время исследования, (мкс);

q0 =10^-6 — начальное значение заряда на конденсаторе, (Кл);

C (t) — исходная функция емкости конденсатора;

щ=314 — частота изменения емкости, (Гц);

L=0.5-значение индуктивности, (Гн);

Значение варьируемого параметра L:

0.55,0.6,0.65,0.7,0.75,0.8,0.85.

Описание ожидаемых результатов

В результате исследований необходимо получить:

1. Функцию емкости конденсатора C (t) и ее график.

2. Функцию заряда q (t) для заданных значений и ее график.

3. Восемь значений варьируемого параметра L.

4. Восемь функций заряда q (t) для варьируемого параметра L.

5. Восемь минимальных значений функции заряда q (t) для варьируемого параметра L.

6. Один сводный график всех функций заряда q (t) для варьируемого параметра L.

7. Один график зависимости минимального значения функции заряда q (t) от варьируемого параметра L.

3. Описание реализации базовой модели

3.1 Описание реализации базовой модели электрической цепи

Базовая модель выполнения расчётов состоит из:

задания параметра функции емкости ();

задания исходного сопротивления (R=16);

задания частоты изменения индуктивности (w=314);

задания начального значение заряда на конденсаторе (q0=);

задания начального значения индуктивности (L0=0.4);

задания время исследования (T=0.5);

расчёта исходной функции индуктивности ();

решения дифференциального уравнения ();

Для решения дифференциального уравнения с начальными условиями использовали функцию:

rkfixed — функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге-Кутта

rkfixed (q, x1, x2,n, D)

Аргументы функции:

q — вектор начальных условий из k элементов (k — количество уравнений в системе);

x1 и x2 — левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

n — число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D — вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы уравнений.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы — сами решения.

В результате получается матрица z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором — значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец — как функция.

графика функции заряда q (t) (см. приложение А);

3.2 Описание исследований

В приложении, А задача состоит в том, чтобы рассчитать базовую модель. Для этого требуется решить дифференциальное уравнение вида

на интервале [0, T] с помощью функции rkfixed. Предварительно нужно задать все исходные данные с указанием единиц измерения и комментариями, а также функцию С (t).

Нужно решить это уравнение для различных значений варьируемого параметра L не менее восьми раз. Кроме этого необходимо при каждом решении уравнения определять минимальное значение заряда (с помощью функции min). Также необходимо построить графики всех полученных в результате решения дифференциального уравнения функций заряда в одной графической области (см. Приложение А).

После проведения опытов необходимо провести аппроксимацию результатов опытов и построить график исходной и аппроксимирующей зависимостей (см. Приложение Б).

3.3 Анализ полученных результатов и выводы по результатам исследований

В данной курсовой работе была исследована математическая модель электрической цепи с переменной емкостью. При решении дифференциального уравнения для восьми различных значений варьируемого параметра L было получено восемь различных функций заряда. Из полученных функций заряда был построен сводный график. Из этого графика видно, что при заданных значениях L значения функции заряда уменьшается через время Т.

Результат аппроксимации нелинейной регрессией представлен в виде сводного графика минимального значения функции от варьируемого параметра и нелинейной регрессии зависимости. График аппроксимирующей функции пересекается с графиком исходной функции.

Заключение

При выполнении данной курсовой работы были приобретены навыки в области вычислительной техники, математики и электротехники. Это связано с тем, что для создания программы необходимо было исследовать электрическую цепь с переменной ёмкостью и все расчеты произвести с помощью среды MathCAD, которая является одной из самых мощных и эффективных математических систем. Она позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления. Система имеет очень удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства графики, предоставляет значительные возможности для решения инженерных и инженерно-вычислительных задач, а также повышает точность расчётов. Полученные в среде MathCAD документы отличаются наглядностью и простотой в восприятии, их легко доработать или исправить.

При выполнении курсовой работы был получен программный продукт, который может быть использован для исследования физических процессов, происходящих в электрической цепи.

В первой главе курсовой работы идет речь о математическом моделировании технических объектов, дается понятие математической модели, описываются свойства и классификация. Описываются численные методы в математическом моделировании. Рассматривается система MathCAD и ее основные функции, аппроксимация функции и численное дифференцирование в MathCAD.

Вторая глава посвящена алгоритмическому анализу задачи. В ней приводятся полная постановка задачи, анализируются исходные данные и описываются ожидаемые результаты, на основании этого разрабатывается графическая схема алгоритма решения задачи.

В третьей главе работаем в среде MathCAD, в которой была построена модель работы электрической цепи и проведены исследования. Построенная модель может быть использована для исследования процессов протекающих в электрической цепи.

Задача, поставленная в курсовой работе, полностью выполнена. Работа в среде MathCAD значительно упрощает поиск решений и повышает точность в расчётах, облегчает процесс решения дифференциальных уравнений с начальными условиями, позволяет обрабатывать различные виды графической информации, даёт возможность создания готовых итоговых документов, которые будут понятны любому пользователю документов.

Список используемой литературы

1. Токочаков В. И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. — Гомель: ГГТУ, 2000.

2. Краскевич В. Е., Зеленский К. Х. Численные методы в инженерных исследованиях. — Киев: 1986.

3. Останина А. М. Применение математических методов и ВМ. Мн.: 1985.

4. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем. — Мн.: 1997.

5. Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи — М.: Высш. шк., 1983.

6. Маркова Л. В., Мастяница В. С. «Расчеты в среде МathCAD»

7. Корн Г., Корн T. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — M.: Наука, 1978.

8. Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. — M.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996.

9. Дьяконов В. П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. — М.: «СК Пресс», 1997. — 336 с.: ил.

10. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MathCAD 8 PRO в" Нолидж", 2000. — 512 с.: ил.