Определение длины волны. 
Относительная неопределенность скорости электрона. 
Функции частицы

1. Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующую их наиболее вероятной скорости при .

Дано:

Решение:.

Длина волны де Бройля определяется по формуле:.

— постоянная Планка..

- импульс частицы, ..

Средняя квадратичная скорость молекул газа определяется выражением (Проверьте формулу).

.

где.

— универсальная газовая постоянная, — молярная масса водорода.

Массу одной молекулы найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро (моль^-1):

Тогда импульс частицы можно выразить формулой:

.

а длину волны де Бройля — соотношением.

.

Произведя вычисления по этой формуле, получим:

. Ответ:.

2. Электрон с кинетической энергией локализован в области размером. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.

Дано:

Решение.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса имеет вид:

.

где — неопределенность координаты,.

— неопределенность импульса,.

— постоянная Планка,.

Поскольку неопределенность координаты не больше линейного размера структуры, а неопределенность импульса можно выразить через неопределенность скорости, получаем:

Откуда .

Для определения относительной неопределенности скорости необходимо значение скорости; выразим ее из кинетической энергии для классического случая, поскольку выполняется условие Е_к << Е₀ (энергия покоя электрона Е₀ составляет 0,511 МэВ):

Находим относительную неопределенность скорости.

Подставляя значения величин, находим:

Ответ:.

3. Частица находится в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. — функция имеет вид, показанный на рисунке. Найти вероятность пребывания частицы в области .

Дано.

Вероятность пребывания микрочастицы в окрестностях точки х (в одномерном случае):

.

Волновая функция частицы, находящейся в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике:

.

Определим состояние частицы из графических соображений. Как видно из рисунка,.

.

поэтому можем записать равенства.

.

Очевидно, что выполняются при любых значениях .

Для того чтобы волновая функция обращалась в нуль во всех требуемых точках, аргументы функции синуса должны удовлетворять также условиям.

.

где — целое число. Таким образом, должны быть целочисленными, откуда следует, что .

Находим вероятность пребывания электрона во второй четверти ящика:

.

Воспользовавшись тригонометрическим тождеством.

.

приходим к выражению:

Подставляя значения величин, находим.

.

Заметим, что графический метод определения вероятности дает такой же результат (площадь фигуры, ограниченной графиком функции в указанных пределах, составляет четверть от площади фигуры, ограниченной графиком на всей длине ящика). Ответ:.

4. Электрон в атоме находится в — состоянии. Найти орбитальный момент импульса электрона и максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

Дано:

— состояние

Решение.

Значение орбитального момента импульса электрона:

.

где.

— орбитальное квантовое число. — постоянная Планка..

— состоянию электрона соответствует значение орбитального квантового числа .

Проекция вектора орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля так же квантуется, то есть может принимать лишь целочисленные значения, кратные :

.

где.

— магнитное квантовое число, может принимать значения .

Нетрудно видеть, что максимальное значение магнитного квантового числа равно орбитальному квантовому числу, поэтому максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля определяется выражением:

.

Подставляем численные значения и вычисляем:

.

.

Ответ: ;

5. Пси-функция основного состояния водородного атома имеет вид.

.

где.

— радиус первой боровской орбиты.

Вычислить вероятность того, что электрон в основном состоянии атома водорода находится от ядра на расстоянии, превышающем значение .

Дано:

Решение.

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность нахождения микрочастицы в некоторой области пространства, то есть вероятность найти электрон в элементарном объеме, находящемся на расстоянии от ядра, равна.

.

В силу сферической симметрии функции элементарным объемом, все точки которого удалены на одинаковое расстояние от ядра, будет шаровой слой радиуса и толщиной, то есть.

тогда .

Вероятность пребывания частицы на расстоянии, превышающем значение, находим интегрированием в пределах от до :

.

Удобнее вычислить интеграл в пределах от 0 до, найдя вероятность пребывания электрона внутри этой области, а искомую вероятность найти как.

.

поскольку полная вероятность нахождения электрона в области от до равна 1.

.

Введем переменную, тогда интеграл в иной форме будет выглядеть:

.

а выражение для вероятности примет вид:

.

После интегрирования по частям получаем:

электрон скорость частица волна.

— вероятность пребывания электрона внутри сферы радиусом, тогда искомая вероятность того, что электрон окажется за ее пределами.

. Ответ:.