Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса

Министерство образования РФ Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ОиЭФ.

«Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса».

Рязань 2008.

Цель работы: определить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, экспериментально проверить аддитивность момента инерции и теорему Штейнера.

Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, линейка набор тел.

Элементы теории

Момент инерции тела является мерой его инерции при вращательном движении и зависит не только от массы данного тела, но и от распределения данной массы относительно оси вращения.

Момент инерции материальной тачки (I) относительно некоторой оси равен:

I = mr²,.

где m — масса материальной точки; r — расстояние от точки до оси вращения.

В силу аддитивности момента инерции можно записать выражение:

.

где I_k — момент инерции k-ой части вращающейся системы; N — число частей во вращающейся системе.

Для протяженных тел момент инерции определяется, как сумма моментов инерции отдельных элементарных объёмов (dV), на которые можно разбить данное тело и которые можно считать материальными точками:

.

где dm = dV — масса элементарного объёма; - плотность тела в данной точке. Для однородных тел, у которых — const:

.

Так, момент инерции однородного круглого пустотелого цилиндра или диска массой m с внутренним радиусом R₂ относительно оси, совпадающей сего геометрической осью, рассчитанный с помощью формулы (4), равен:

.

Тогда:

для сплошного цилиндра, у которого R₁ = 0, R₂ = R.

;

для тонкого кольца, у которого R₁ = R₂ = R

I = mR².

Согласно определению момента инерции одно и то же тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции, которые могут быть найдены по теореме Штейнера:

8) I = I₀ + ma²,.

где I₀ -момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела; I — момент инерции того же тела относительно оси, параллельной предыдущей и смещённой на расстояние a от неё; m — масса тела.

В данной работе требуется определить момент инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти момент инерции самих тел и провести проверку аддитивности момента инерции, а так же убедиться в справедливости теоремы Штейнера. Для этого в ней используется метод трифилярного подвеса.

После однократного выведения данной системы (подвеса или подвеса с грузом) из положения устойчивого равновесия, поворотом на некоторый угол, система начинает совершать произвольные колебания, период которых зависит момента инерции системы, а следовательно и от её массы. Таким образом полную механическую энергию данной системы (E) в произвольный момент времени t (и пренебрегая трением) можно записать так:

9) ,.

где J — момент инерции системы, состоящей из платформы и установленного на ней исследуемого твёрдого тела; = d / dt — угловая скорость системы при повороте её на угол; M — масса системы (платформы с грузом или без оного). В формуле (9) — кинетическая энергия вращательного движения системы, — потенциальная энергия системы. При (z — z₀) — есть небольшая высота, на которую приподнимается система при вращении в силу перекоса нитей на которых смонтирован трифилярный подвес (z₀ — высота покоящейся платформы; z — высота платформы, совершающей крутильные колебания, в произвольный момент времени).

В предоставленном после этого самому себе устройстве начнут совершаться крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции подвешенной системы. Момент инерции, а следовательно, и период колебаний будут меняться, если платформу нагружать какими-либо телами.

Координаты точки А₁ верхнего диска в системе координат, указанной на рисунке, равны: х₁=r; y₁ = 0; z₁ = 0. Координаты же точки А крепления нижней платформы к нити подвеса в момент времени, когда платформа повернулась на малый угол, равны, соответственно,.

10) x = Rcos (); у = Rsin(); z = z.

Расстояние между точками А и А₁ равно длине нити подвеса (l), и поскольку при колебаниях платформы длина нитей не меняется, то в любой момент времени справедливо соотношение:

.

С учетом указанных выше координат точек А и А₁ на основании (11) можно написать для произвольного значения угла, а поворота следующее выражение:

12) .

Если = 0, то.

13) .

Здесь x = R; у = 0; z = z₀ — координаты точки А нижней платформы в момент времени, когда = 0. Приравнивая выражения (12) и (13) и раскрывая скобки, получаем:

14).

Так как угол мал, то для него можно использовать следующие соотношения:

15) sin () ;

16).

Используя их, из (14) для малых углов получаем:

17) .

Учитывая соотношение (14), получаем:

18) ;

или.

19) .

Подставив в (9) найденное значение (z₀-z), имеем.

20) ;

или.

21) .

Дифференцируя выражение (21) по времени и учитывая, что полная энергия системы Е с течением времени не меняется, получаем:

22) .

Из последнего выражения следует:

23) .

Обозначив.

24) ,.

получим.

25) .

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Решение уравнения (25) можно записать в виде:

26) ,.

где ₀ — амплитуда колебания; ₀ — циклическая частота колебаний.

Период колебаний равен:

27) .

Решив последнее уравнение относительно J, получим расчетную формулу:

28) .

На основании (28) по известным параметрам установки (R, r, z₀, М) и измеренному на опыте периоду колебаний можно определить момент инерции системы.

Расчётная часть

R = 12,410^-2 м.; R₁ = 54,2510^-3 м.;

R₂ = 4910^-3 м.; r = 3,210^-2 м.;

L = 19 210^-2 м.; m_пл = 37 310^-3 м.;

R 0; R₁ 0;

R₂ 0; r 0;

L 0; m_пл 0;

m_тела = 18 710^-3 кг.; m_тела 0;

Вначале определим периоды T_i колебаний системы во всех случаях снятия показаний (см. таблицу).

T_i = t_ср/n; 1) c. 2).

c. 3) c. 4) c.

Используя измерения снятые в 1-ом случае, по формуле (28) рассчитаем момент инерции ненагруженной платформы J_пл:

кгм².

Вычислим значение абсолютной погрешности J_пл:

J_пл = _Jпл t_ст; где t_ст = 1,95 при P = 0.95.

;

;

Полагая, что значения среднеквадратичных погрешностей m, R, r и L пренебрежимо малы (в силу приведения их значений по умолчанию), формулу для вычисления J_пл можно свести к формуле:

.

В свою очередь _t найдём следующим способом:

; ;

; при k = 1,1 (для P = 95) и c = 1 с.

с.

Тогда J_пл принимает значение:

кгм².

Теперь найдём момент инерции системы (J платформы с грузом) для 2-ого случая.

кгм².

Далее найдём момент инерции тела (J_т) исходя из аддитивности момента инерции по формуле:

J_т = J — J_пл;

J_т = (4,55 — 3,97)10^-3 = 5,810^-4 кгм².

Найдём момент инерции того же тела через его массу и размеры (по формуле (5)):

кгм².

Вычислим суммарный момент инерции системы для 3-его случая.

кгм².

Для проверки аддитивности момента инерции надо убедиться в верности соотношения (2).

I = J + J_т = J_пл + 2J_т;

(45,5 +5,8)10^-4 = (39,7 + 25,8)10^-4 (47,8 1,99)10^-4 кгм².

Остаётся проверить теорему Штейнера с использованием результатов измерений в 4-ом случае.

Определим момент инерции всей системы по формуле (28):

кгм².

Теперь рассчитаем момент инерции тела по приведённой ниже формуле.

J_т = (J — J_пл)/2;

J_т = 10^-3(5,92 — 3,97)/2 = 0,9710^-3 кгм².

Найдём момент инерции тела через выражение (8), при a = м.

0,5810^-3 + 18 710^-3