Определение параметров вала и балки

1. Расчеты на прочность статически определимых систем растяжения — сжатия

Дано:

2 м, м, 500 кН,, МПа, МПа.

Решение:

1. Рассмотрим равновесие каждого жесткого стержня в отдельности

:, кН.

: ,

кН.

2. Подберем из условия прочности сечения стержней а) для стержня 1:, где. Тогда

м.

Принимаем мм. Уточненная площадь стержня 1

см².

б) для стержня 2:. Тогда см².

Принимаем двутавр № 36 с см².

3. Определим изменение длины каждого стержня.

а) удлинение стержня 1

м=1,4 мм.

б) удлинение стержня 2

м=0,63 мм.

4. Найдем перемещение т.

мм,, мм.

мм.

2. Геометрические характеристики плоских сечений

Дано:

см

1 — Прямоугольник 24 см, см.

2 — Прямоугольник см, см.

3 — Прямоугольный треугольник см, см.

Решение:

1. Рассмотрим сложную фигуру, состоящую из прямоугольника 1, прямоугольника 2 у которого удалили треугольник 3.

Выбираем вспомогательные оси, совпадающие с центральными осями прямоугольника 2. Определяем центр тяжести фигуры см.

см.

см.

см².

см².

см².

см.

см, см.

2. Определяем моменты инерции относительно центральных осей Осевые моменты:

787 015 см⁴

см, см,

см,

см⁴

см⁴

см⁴

=2 675 883 см⁴

см, см, см.

см⁴

см⁴

см⁴

Центробежный момент:

=256 828 см⁴

см⁴

3. Определим угол поворота главных осей относительно центральных.

Ось х необходимо повернуть против часовой стрелки на угол до совмещения с главной осью U.

4. Рассчитаем моменты инерции сложного сечения относительно главных центральных осей.

752 717 см⁴

2 710 181 см⁴

2 710 181+752717=787 015+2675883

3 462 898=3462898

Радиусы инерции:

см,

см.

3. Анализ напряженного состояния

Дано: 100 МПа, -65 МПа, 35 МПа, 0,26, .

Решение:

1. Определим положение главных площадок и величину действующих на них главных напряжений.

.

МПа

107,1 МПа, 72,1МПа.

Из условия 107,1 МПа,, 72,1 МПа.

2. Определим напряжения на взаимно перпендикулярных площадках, повернутых относительно исходных на угол .

МПа, МПа, МПа.

3. Определим максимальные касательные напряжения.

МПа.

4. Определим главные деформации.

5. Вычислим относительное изменение объема.

6. Вычислим эквивалентные напряжения и определим коэффициент запаса прочности.

а) Пластичный материал.

По теории наибольших касательных напряжений

МПа МПа.

Коэффициент запаса. Прочность детали обеспечена По теории потенциальной энергии изменения формы

МПа МПа.

Коэффициент запаса. Прочность детали обеспечена.

б) Хрупкий материал.

По теории наибольших линейных деформаций

МПа МПа.

Коэффициент запаса. Прочность детали не обеспечена.

По теории Мора

МПа МПа

.

Коэффициент запаса. Прочность детали не обеспечена.

4. Расчет вала на прочность и жесткость

Дано:

0,3 м, 85 Н•м, 270 Н•м, 260 Н•м, 150 Н•м/м, 0,6, 1,5, 1,4, МПа, град/м.

Решение:

1. Определим из условия равновесия вала крутящий момент

: ,

Н•м.

Рассчитаем значения крутящихся моментов по участкам вала.

В сечение: , .

Н•м, Н•м.

В сечение: Н•м.

В сечение: Н•м.

Наибольший крутящий момент: Н•м.

2. Определим диаметр вала из условия прочности и жесткости.

Условие прочности .

Условие жесткости, .

а) Круглое сплошное сечение

. Тогда м.

. Тогда м.

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров принимаем мм.

МПа.

б) Прямоугольное сечение

где 0,231.

Тогда м.

где 0,196.

Тогда м.

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров принимаем 40 мм, 60 мм.

МПа,

МПа, где 0,859

в) Трубчатое сечение

. Тогда м.

.

Тогда м.

Наибольшее значение диаметра получилось из условия жесткости. Из ряда нормальных линейных размеров принимаем 56 мм.

МПа.

3. Оценим рациональность сечений с позиции прочности и жесткости.

а) Круглое сечение с позиции прочности ,

с позиции жесткости .

б) Прямоугольное сечение с позиции прочности ,

с позиции жесткости .

в) Трубчатое сечение с позиции прочности ,

с позиции жесткости .

Наиболее рациональным является трубчатое сечение, наименее — прямоугольное.

Отношение весов валов:

Вес вала с трубчатым сечением в 1,14 раз легче вала с круглым сплошным сечением и в 1,52 раза легче вала с прямоугольным сечением.

4. Рассчитаем значения углов закручивания вала с трубчатым сечением.

рад,

рад, рад.

Эскиз опасного сечения вала и эпюра касательных напряжений

5. Расчет балки на прочность по нормальным напряжениям

Дано:

5,8 м, 1,6 м, 24 кН, 25 кН/м, 12 кН•м,, , МПа.

Решение:

1. Запишем уравнения статики и определим опорные реакции:

: ,

кН•м.

: ,

кН.

2. Определим внутренние усилия , с помощью метода сечений.

Запишем для каждого выделенного участка балки выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

1. м.

кН, кН.

кН•м, кН•м.

2. м.

кН.

кН•м, кН•м.

3. м.

, кН.

кН•м, кН•м.

3. Дифференциальные зависимости На первом и третьем участках действует распределенная нагрузка, поэтому поперечная сила должна быть линейной функцией от координаты, а изгибающий момент должен менять по закону квадратной параболы. Второй участок свободен от распределенной нагрузки, поперечная сила постоянна на данном участке, а эпюра изгибающего момента описывается прямой наклонной линией.

В сечениях А и D, где балка нагружена сосредоточенными внешними силами на эпюре должно скачком меняться значение ординаты на величину этой силы с учетом ее направления. Аналогичные скачки имеются и на эпюре в сечениях А и C.

4. Определим размеры сечения балки из условия прочности.

Наиболее опасным является сечение, в котором изгибающий момент достигает максимального по модулю значения кН•м.

Из условия прочности при изгибе определим максимальную величину момента сопротивления:, м³.

а) Двутавр По ГОСТу 8239−89 выбираем двутавр № 70 с моментом сопротивления 3840 см³ и площадью сечения 176 см².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

б) Прямоугольное сечение .

м=174 мм Принимаем 180 мм, 360 мм, площадь сечения м².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

в) Квадратное сечение .

м=277 мм Принимаем 280 мм, площадь сечения м².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

г) Круглое сечение .

м=262 мм.

Принимаем 280 мм, площадь сечения м².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

д) Кольцевое сечение .

м=287 мм.

Принимаем 300 мм площадь сечения

м².

Определяем наибольшее напряжение: МПа.

5. Оценим экономичность подобранных сечений.

Двутавр: ,

Прямоугольник: ,

Квадрат: ,

Круг: ,

Кольцо: .

Наиболее рациональными при изгибе являются тонкостенные сечения — двутавр, кольцевое сечение.

8. Определение перемещения в балках

Дано:

2,8 м, 0,5 м, 14 кН/м, 42 кН•м, МПа.

Решение:

1. Запишем уравнения статики и определим опорные реакции:

: ,

кН.

: ,

кН Проверка: :

.

2. Определим внутренние усилия , с помощью метода сечений.

Запишем для каждого выделенного участка балки выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.

1) м.

кН.

, кН•м.

2) м.

кН, кН.

кН•м, кН•м,

3) м.

, кН.

кН•м, кН•м.

3. Опасное сечение, где изгибающий момент принимает максимальное по модулю значение кН•м.

Из условия прочности при изгибе определим максимальную величину момента сопротивления: ,

м³.

Принимаем двутавр № 24 с см³, см⁴.

4. Определим перемещения на конце консоли и посередине пролета методом Мора.

a. Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₁).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₁ от единичной нагрузки.

м, ,

м, ,

м, .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения D.

кН•м³.

м.

b. Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₂).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₂ от единичной нагрузки.

м, ,

м, ,

м, .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.

кН•м³.

м.

c. Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₃).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₃ от единичной нагрузки.

м, ,

м, ,

м, .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения D.

.

рад.

d. Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₄).

Записываем для каждого участка выражения изгибающих моментов M₄ от единичной нагрузки.

м, ,

м, ,

м, .

Записываем интегралы Мора на каждом участке и, суммируя результаты, вычисляем прогиб сечения С.

.

рад.

5. Определим перемещение на конце консоли и посередине пролета способом Верещагина На первом участке:

— треугольник кН•м²,

На втором участке эпюры разбиваем на три фигуры:

— дуга кН•м²,

— треугольник кН•м²,

— треугольник кН•м²,

На третьем участке эпюры разбиваем на три фигуры:

— дуга кН•м²,

— треугольник кН•м²,

— треугольник кН•м².

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₁).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м, м, м, м, м, м.

м.

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерную силу. Строим эпюру моментов (М₂).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м, м, м, м, м, м.

м.

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т D безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₃).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м, м, м, м, м, м.

м.

Составим схему единичного нагружения, прикладывая к т С безразмерный момент. Строим эпюру моментов (М₄).

Значение ординат под соответствующими площадями:

м, м, м, м, м, м, м.

м.

6. Проверим балку на жесткость в пролете и на консоли м. Условия прочности выполнены.

м. Условие прочности не выполнено.

Необходимо подобрать другой двутавр.

см⁴.

Выбираем № 33 с 597 см³, 9840 см⁴

9. Расчет на устойчивость центрально сжатого стержня

сечение вал балка Дано: 6,2 м, 560 кН.

Решение: 2.

Первое приближение

см².

см². Принимаем швеллер № 27 с 35,2 см², 4160 см⁴.

Момент инерции относительно оси х составного стержня

см⁴.

Радиус инерции относительно оси х составного стержня см.

Гибкость относительно оси х для составного стержня

Допускаемое напряжение 79,9 МПа.

Действительное напряжение 79,5 МПа.

Профиль не догружен на .

При ослаблении сечения заклепками на 12% получаем МПа.

Перегрузка составляет .

Необходимо усилить сечение окончательно приминаем швеллер № 30 с 40,5 см², 5810 см⁴, 12 см, 327 см⁴, 2,84 см, 2,52 см.

Найдем расстояние а.

Получаем см.

т.к., то критическое напряжение для стали Ст. 3 можно определить как

МПа.

Фактический коэффициент запаса