Особенности применения программного пакета MathCAD

• 1. Основные элементы системы MathCAD
• Введение
• Обзор возможностей системы
• Интерфейс системы
• Концепция построения документа системы
• Типы данных. Входной язык системы
• Формат вывода числовых данных
• Структурированные данные
• Стандартные и пользовательские функции
• 2. Стандартные функции
• Классификация стандартных функций
• Основные элементарные математические функции
• Основные функции работы с векторами и матрицами
• Типовые статистические функции
• Функции с условиями сравнения
• Функции доступа к внешним данным
• 3. Графические возможности системы MathCAD
• Построение графиков в декартовой системе координат
• Построение графиков в полярной системе координат
• Построение трехмерных графиков
• Установка форматов двумерной графики
• 4. Решение уравнений и систем
• Решение линейных и трансцендентных уравнений
• Решение систем уравнений и неравенств
• Решение дифференциальных уравнений и систем
• 5. Программирование в пакете Mathcad
• 6. Апроксимация функций
• Регрессия функций
• Интерполирование функций
• Встроенные операторы
• Литература

1. Основные элементы системы MathCAD

Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. Для решения таких задач имеется целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы, способных так же производить аналитические математические преобразования. Наиболее известными сегодня являются следующие пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма The MathWorks), MathCAD (фирма MathSoft Inc).

Пакет Mathcad популярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно так же как обычный математический расчет. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

Система MathCAD существует в нескольких основных вариантах:

MathCAD Standard — идеальная система для повседневных технических вычислений. Предназначена для массовой аудитории и широкого использования в учебном процессе;

MathCAD Professional — промышленный стандарт прикладного использования математики в технических приложениях. Ориентирована на математиков и научных работников, проводящих сложные и трудоемкие расчеты.

MathCAD Professional Academic — пакет программ для профессионального использования математического аппарата с электронными учебниками и ресурсами.

Обзор возможностей системы

MathCAD объединяет в себе простой текстовый редактор, математический интерпретатор и графический процессор. Весь функциональный набор возможностей системы можно классифицировать следующим образом:

вычислительные функции;

графические функции;

программирование;

сервисные функции;

аналитические вычисления.

Вычислительные возможности системы могут, применяются для решения разнообразных задач из области математики, физики, экономики, инженерных расчетов, статистики, научных исследований и т. д. К основным вычислительным функциям можно отнести следующие:

вычисление арифметических выражений с различной точностью;

вычисление производных (обычных и частных), интегралов (обычных, многомерных и контурных);

вычисление суммы и произведения;

выполнение операций с размерными величинами и переменными;

решение уравнений и неравенств и их систем;

решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений;

обработка матриц, векторов и ранжированных переменных;

использование встроенных математических функций;

создание пользовательских функций;

использование символьных преобразований и вычислений.

Графические возможности системы применяются для визуализации результатов вычислений и включают построение двумерных графиков, поверхностей, карт линий уровня, трехместных гистограмм, точечных графиков и графиков векторных полей.

Система позволяет продемонстрировать процесс движения или изменения каких-либо результатов в виде анимационного клипа. Возможно также внесение графических файлов определенного формата из других систем в документ, создавать программы MathCAD.

Система позволяет создавать программы, представляющие собой выражения, состоящие из программных конструкций, подобных конструкциям языков программирования. Программные выражения позволяют успешно решать в системе те задачи, которые невозможно вычислить с помощью имеющихся встроенных функций.

К основным сервисным функция программы MathCAD можно отнести следующие.

ведение диалога с пользователем посредством меню, пиктограмм или команд;

размещение на экране и редактирование математических, графических и текстовых конструкций;

вывод документа или его части на принтер;

форматирование различных конструкций документа, изменение локальных и глобальных форматов;

поддержка файловой структуры документа;

создание и использование файлов данных на диске;

обработка текстовой информации.

Пакет MathCAD позволяет выполнять аналитические (символьные) преобразования. Символьные операции можно разделить на шесть разделов:

1. символьная алгебра (упрощения, раскрытие скобок, разложение на множители, приведение подобных, ряды и т. д.);

символьные действия анализа (производные, интегралы, пределы);

символьное решение уравнений (решение уравнений и систем уравнений);

символьные действия с матрицами (матричная алгебра, транспонирование, обращение, определитель);

способы отображения символьных результатов;

символьные преобразования (преобразования Фурье, Лапласа, z-преобразования).

Интерфейс системы

Система MathCAD имеет три режима работы: режим набора и редактирования документа, командный режим и режим помощи. Это разделение режимов носит условный характер, так как переход в тот или иной режим не вызывает полного изменения вида экрана и области:

строка заголовка (первая строка, содержащая имя рабочего документа и стандартные кнопки управления окном)

основное меню команд системы (вторая строка, включающая пункты иерархического меню, которое содержит полный набор команд работы с системой)

наборная панель (третья строка, содержащая набор кнопок или пиктограмм для удобного набора документа в MathCAD)

панель инструментов (четвертая строка, содержащая кнопки или пиктограммы, дублирующие наиболее важные функции основного меню)

панель управления шрифтами (пятая строка, содержащая кнопки переключения типа символов, типа вида и размера шрифтов, расположения букв в строке)

окно набора и редактирования документа (основная часть экрана, предназначенная для обработки документа в системе MathCAD).

Основную часть экрана занимает окно набора и редактирования. За один сеанс работы с системой можно организовать несколько окон набора и редактирования.

Окно снабжено нижней и правой полосами прокрутки, предназначенными для перемещения изображения на экране по горизонтали и вертикали.

Верхняя строка окна содержит наименование документа, номер окна и кнопки, функции которых типичны для всех приложений в самой системе Windows.

Основное меню команд имеет иерархическую структуру и содержит полный набор команд, обеспечивающих выполнение основных функций системы.

Некоторые часто используемые команды выведены в виде пиктограмм или кнопок на панель инструментария.

Меню File

New (Создать) — создание нового документа с очисткой окна редактирования;

Open (Открыть) — загрузка ранее созданного документа из диалогового окна;

Save (Сохранить) — запись текущего документа с его именем;

Page Setup — параметров страницы;

Print (Печать) — распечатка документа на принтере;

Print Preview (Просмотр) — предварительный просмотр документа;

Меню Edit

Cut (Вырезать) — перенос выделенной части документа в буфер обмена;

Copy (Копировать) — копирование выделенной части документа в буфер;

Paste (Вставить) — перенос содержимого буфера обмена в окно редактирования на указанное место;

Undo (Отменить) — отмена предшествующей операции редактирования

Меню Insert

Graph — выбор типа графика и его вставка графика в документ;

Matrix — вставка матрицы с выбором размерности;

Function — вставка функции из списка, появляющегося в диалоговом окне;

Unit — вставка единиц измерения;

Text Region — вставка текстового блока;

Page Break — вставка разрыва страницы;

Меню Format

Number — установка локального и глобального цифрового формата отображения;

Align Regions — Across (Выровнять по горизонтали) — блоки выравниваются по горизонтали;

Align Regions — Down (Выровнять вниз) — блоки выравниваются по вертикали, располагаясь сверху вниз.

Меню Math

Calculate — вычисление выражений по желанию пользователя расположенных ниже курсора;

Calculate Worksheet — вычисление всего документа;

Automatic Calculation — включение/отключение автоматического режима вычисления;

Optimization — включение/отключение оптимизации вычислений;

программный пакет mathcad

Options — установка системных переменных, выбор системы единиц измерения.

Меню Symbolics

Меню управления символьными преобразованиями.

Меню Window

Меню управления многооконным режимом работы.

Меню Help

Меню вызова справочной системы, примеров.

В системе действует, в зависимости от режима работы, несколько типов курсоров:

курсор в виде диагональной белой стрелки, управляемый устройством типа «мышь», в дальнейшем — курсор мыши

курсор в виде маленького красного крестика, определяющий начало формирования новой области на свободном поле документа, в дальнейшем — курсор ввода

курсор в виде синей вертикальной линии, используемый внутри формульной области или графической области при наборе и редактировании, в дальнейшем — курсор редактирования

курсор в виде тонкой красной вертикальной линии, используемый внутри текстовой области при наборе и редактировании, в дальнейшем — текстовый курсор

курсор в виде рамки синего цвета, заключающей внутри себя часть области или область целиком для выполнения над ней операций по редактированию, в дальнейшем — рамка объекта

курсор в виде большого черного перекрестья, используемый внутри области, выделенной пунктирной рамкой, в дальнейшем — курсор области

курсор в виде маленького квадрата с указывающей на него диагональной стрелкой, применяемый для копирования и переноса выделенных объектов, в дальнейшем — курсор переноса

курсоры в виде двойных вертикальных, горизонтальных, диагональных стрелок, применяемых при редактировании размеров области, выделенной пунктирной рамкой, в дальнейшем — размерные курсоры.

Концепция построения документа системы

Документ системы MathCAD строится из областей, которые делятся на вычислительные, графические, текстовые и обрабатываются соответственно тремя различными процессорами системы: вычислительным (математическим), графическим и текстовым. Области создаются средствами формульного, текстового и графического редакторов пакета. Общение пользователя с системой происходит на промежуточном математически ориентированном языке визуального программирования — входном языке системы. Этот язык максимально приближен к обычному математическому языку, что практически не требует программирования, нужно лишь точное описание алгоритма решения задачи.

Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря вводу шаблонов. Для этого служат панели (палитры) с набором шаблонов различных математических символов.

В системе действует, в зависимости от режима работы, несколько типов курсоров:

курсор мыши;

курсор в виде маленького красного крестика, определяющий начало формирования новой области — курсор ввода;

курсор в виде синей вертикальной линии, используемый внутри формульной области или графической области при наборе и редактировании, в дальнейшем — курсор редактирования;

курсор в виде тонкой красной вертикальной линии, используемый внутри текстовой области при наборе и редактировании, в дальнейшем — текстовый курсор;

курсор в виде рамки синего цвета, заключающей внутри себя часть области или область целиком для выполнения над ней операций по редактированию, в дальнейшем — рамка объекта;

курсор в виде большого черного перекрестья, используемый внутри области, выделенной пунктирной рамкой, в дальнейшем — курсор области;

курсор в виде маленького квадрата с указывающей на него диагональной стрелкой, применяемый для копирования и переноса выделенных объектов, в дальнейшем — курсор переноса;

курсоры в виде двойных вертикальных, горизонтальных, диагональных стрелок, применяемых при редактировании размеров области, выделенной пунктирной рамкой, в дальнейшем — размерные курсоры.

При наборе выражений, следует придерживаться следующих рекомендаций:

с помощью курсора редактирования (синий уголок), можно вставлять и удалять отдельные символы в выражениях, для появления курсора редактирования нужно указать курсором мыши на нужный символ в математическом выражении, расширение области редактирования выполняется клавишей «пробел» ;

в формульной области рамка объекта может быть правосторонней и левосторонней в зависимости от того, справа или слева срезан верхний угол рамки, изменение вида рамки выполняется с помощью клавиши Insert;

Для ввода и редактирования текстов в системе существует специальный текстовый редактор. Он обрабатывает два вида текстовой информации — текстовые области и текстовые параграфы.

Текстовая область создается выбором команды Create Text Region из Insert или нажатием клавиши «(двойные кавычки). На поле документа появляется черная текстовая рамка и текстовый курсор, с помощью которого можно вводить и редактировать текстовую информацию. Длина текстовой области ограничена длиной наибольшей строки, каждая из которых заканчивается нажатием клавиши Enter. Над текстовой областью можно выполнять такие операции редактирования, как удаление, копирование, перемещение, вставка, причем выделение области может выполняться как с помощью пунктирной рамки, так и построчного выделения мышью.

Создание текстового параграфа выполняется с помощью команды Text Region меню Insert из меню работы с текстами. Над текстовым параграфом выполняются операции выделения, копирования, удаления и вставки, причем выделение той части текстовой информации над которой нужно сделать преобразование, выполняется долговременным нажатием левой кнопки мыши и перемещением текстового курсора от начальной к конечной точке выделения. Для текстового параграфа можно выполнять ряд установок, таких как установка полей, установка абзацев, тип выравнивания строки и т. д.

По мере того, как пользователь создает различные типы объектов — выражения, формулы, тексты, графики система сама составляет программу, которая хранится в памяти компьютера и сохраняется на диск в виде файла с расширением mcd. Именно эта программа обрабатывается системой для получения результатов вычислений.

В MathCAD решена проблема сквозной передачи данных от одного объекта к другому, например, от одного выражения к другому, к матрицам и графикам и т. д. Поэтому изменение в любой формуле или исходных данных ведет к пересчету результатов всего документа по цепи взаимодействия объектов.

Объектами в системе MathCAD называют элементы, которые можно выделить курсором (матрицы, графики выражения, текстовые области) и их отдельные элементы этих областей.

Конструирование выражений облегчается средствами выделения отдельных фрагментов выражений. Все, что попадает в ходе выделения в уголки курсора, оказывается операндом для следующего вводимого оператора. Как правило, удобно сочетать отметку начала выделения мышью, поскольку она позволяет сразу и точно указать место выделения, с последующим расширением или сужением места выделения с помощью управляющих клавиш.

В процессе работы с документом используется ручной и автоматический режим вычислений. В автоматическом режиме вычисляются все видимые на экране области документа. При просмотре документа вновь появившиеся области вычисляются автоматически, что не всегда удобно при выполнении громоздких расчетов. В ручном режиме вычисления производятся нажатием кнопки со знаком = на панели инструментов или клавиши F9.

Типы данных. Входной язык системы

Входной язык системы MathCAD — интерпретирующего типа. Документ обрабатывается сверху вниз, а в пределах строки слева направо, как только система распознает объект, автоматически запускается внутренняя подпрограмма, выполняющая необходимые действия. Например, вычисление выражения, вывод таблицы и т. д.

MathCAD прежде всего требует от пользователя корректного описания алгоритма решения математической задачи на входном языке, очень напоминающем общепринятый язык описания математических и научно-технических расчетов. Рассматривая входной язык системы как язык программирования, мы можем выделить в нем типичные понятия и объекты, такие, как идентификаторы, константы, переменные, массивы и другие типы данных, операторы и функции, управляющие структуры и т. д.

Алфавит входного языка системы определяет совокупность символов и слов, которые используются при задании команд. Алфавит системы MathCAD содержит:

строчные и прописные буквы латинского и греческого алфавитов;

арабские цифры от 0 до 9;

системные переменные;

операторы;

имена встроенных функций;

спецзнаки;

К укрупненным элементам языка относятся типы данных, операторы, функции пользователя и управляющие структуры.

Типы данных системы MathCAD.

Константы — поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные — поименованные объекты, имеющие некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. В MathCAD тип переменной определяется значением и предварительно не задается. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьные и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в системе MathCAD могут иметь практически любую длину, и в них могут входить любые латинские и греческие буквы, а также цифры. Однако начинаться идентификатор может только с буквы. Кроме того, идентификатор не должен содержать пробелов. Некоторые спецсимволы (например, знак объединения _) могут входить в состав идентификаторов — недопустимы. Нельзя использовать для идентификаторов буквы русского языка. Строчные и прописные буквы в идентификаторах различаются. Идентификаторы должны быть уникальными, т. е. они не должны совпадать с именами встроенных или определенных пользователем функций.

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными. Изменение значений системных переменных производят во вкладке Built-In Variables диалогового окна Math — Options. Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо присвоить значение.

К базовым операторам системы относятся: = - локальное присваивание, = - оператор вычисления, — глобальное присваивание. Локальное присваивание (: =) распространяет свое действие на область документа расположенную ниже места присваивания. Пример — значение переменной b на момент вычисления с неопределенно.

Глобальное присваивание () не зависит от места присвоения и распространяет свое действие на весь документ.

Переменные могут быть размерными, т. е. характеризоваться не только своим значением, но и указанием физической величины, значение которой они хранят. Для присваивания значений таким переменным используется знак. Проведение расчетов с размерными величинами и переменными особенно удобно при решении различных физических задач.

В версии MathCAD 7.0 допустимо при первом присваивании переменной вводить знак = (например, х=123), при этом система сама заменит его на знак на: =.

Формат вывода числовых данных

При работе с вычислительными областями с помощью команды Format — Number, возможно установить формат вывода числовых данных. Это окно содержит три выделенные части В первой — Radix — устанавливается тип основания чисел Decimal, Hex или Octal.

Вторая часть Precision (точность) — задает погрешность вычислений в виде показателя степени n для числа 10 в этой степени. Задаются число отображаемых знаков Displayed (точность вывода), границы представления чисел в экспоненциальной форме Exponential Threshold (диапазон показателя), допустимая граница для комплексных чисел Complex Tolerance (комплексная точность) и допустимая граница для действительных чисел Zero Tolerance (точность нуля).

Окно для установки формата чисел

В третьей части — Imaginary (мнимая единица) — задается знак мнимой единицы для комплексных чисел i или j. Если Re (Z) /Im (Z) >10n, то комплексное число Z выводится как действительное, а если Im (Z) /Re (Z) >10ⁿ, то число Z выводится как мнимое. Значения n для этих представлений задает параметр Complex Tolerance. Если действительное число больше числа 10 в степени п или меньше, чем 10 в степени — n, где n — значение параметра Exponencial Threshold, то число представляется в экспоненциальной форме. Если значения чисел по модулю меньше указанных параметром Zero Tolerance, числа представляются в виде нулей. Все это особенно важно при научно-технических расчетах, когда излишняя точность представления чисел ни к чему хорошему не ведет

С помощью диалогового окна можно сделать формат глобальным (Global) или локальным (Local). Глобальный формат задает представление для всех числовых данных документа, а локальный — только для текучего блока.

Для массивов чисел их вывод задается в виде матрицы — включением опции Display as Matrix (отображение в виде матрицы). Однако для больших массивов это может быть неприемлемо, так как такая матрица выходит за пределы экрана. Если опция отключена, то большие массивы отображаются как электронные таблицы. Trailig Zeros — включает отображение нулевых младших разрядов.

Структурированные данные

1. Дискретные переменные

Дискретной называется переменная, содержащая несколько значений, каждое из которых отличается от предыдущего на величину постоянного шага и имеющая начальное и конечное значение. Эти переменные имеют два способа определения:

Name: = Nbegin. Nend;

Name: = Nbegin, (Nbegin + Step). Nend.

где Name - имя переменной, Nbegin — ее начальное значение, Nend — конечное значение,. (; на клавиатуре, либо m. n — в арифметической палитре) — символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (вводится клавишей;). Step — шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin < Nend, или отрицательным в обратном случае).

Если шаг не указывается (1 способ), то он выбирается равным единице. Если Nbegin < Nend, то шаг переменной будет равен +1, иначе — 1.

Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы. Параметрами могут быть константы, переменные, выражения.

Функция дискретного аргумента имеет множество значений, каждое из которых соответствует соответствующему значению дискретного аргумента. Дискретная переменная может являться аргументом функции пользователя или индексом для организации одномерных и двумерных массивов.

2. Векторы и массивы

Массив — имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы), двумерные (матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или другого целого числа, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN. Значение этой переменной может быть переопределено непосредственно в документе, либо с помощью меню Math-Options.

векторы и матрицы можно задавать различными способами: с помощью команды Insert - Matrix, комбинации клавиш Ctrl + M, щелчком на кнопке панели Matrix. В появившемся окне задают размерность массива (Columns — столбцы, Rows — строки). Пустые поля заполняют, перемещаясь между ними клавишей Tab. Максимальный размер вводимых таким способом матриц — 10×10, поэтому большие матрицы задают с помощью компоненты Insert — Component — Input Table. Данный компонент вставляет в рабочий документ лист электронной таблицы (подобный листу в Excel). При таком способе ввода матрицы не существует ограничений на ее размер, а использование функций табличного процессора облегчает ввод и просмотр больших массивов, целиком не помещающихся в рабочей области;

как переменные с индексами (номер элемента в массиве). Нижний индекс вводится нажатием клавиши [, либо щелчком на кнопке X_n панели Arithmetic. Незаданные элементы по умолчанию задаются нулевыми.;

как переменная с индексом, а элементы в массив заносятся перечислением, через запятую;

с использованием дискретного аргумента, когда имеется некоторая явная зависимость для вычисления элементов массива через их индексы.

Для удобства отображения, громоздкие массивы выводятся в виде электронной таблицы с номерами строк и столбцов и полосами прокрутки. Формат представления данных в таблицах может быть изменен с помощью команды Format-Number — Display as Matrix.

3. Обращение к элементам массива

Массивы могут использоваться в выражениях целиком или поэлементно. Для обращения к элементам массивов нужно указать числовые значения индексов элементов. Также можно обращаться к конкретной строке или столбцу матрицы с помощью верхнего индекса (выделения столбца CTRL+^) или нижних индексов.

4. Параллельные вычисления, векторизация.

Большинство вычислений с дискретными переменными и массивами строятся на принципе параллельных (поэлементных) вычислений. Точно такая же операция может быть выполнена с помощью векторизации. Векторизация — проведение некоторой операции над всеми элементами вектора или матрицы.

Операция векторизации позволяет применить математические операции и функции к каждому элементу массива поочередно. Система позволяет выполнять рекуррентные вычисления, когда последующий элемент массива вычисляется через предыдущий по какому либо закону.

Стандартные и пользовательские функции

Функция — выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется её числовое значение.

Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок. Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции.

Главным признаком функции является возврат значения, т. е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.

Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные (cos, sin, ln), т. е. заблаговременно введенные разработчиками, и определенные пользователем.

Способы вставки встроенной функции:

1. Выбрать пункт меню Insert — Function.

2. Нажать комбинацию клавиш Ctrl + F.

3. Щелкнуть на кнопке .

Пакет MathCAD позволяет расширить систему новыми функциями представляющими интерес для пользователя. Функция пользователя в общем случае имеет вид: Имя_функции (Список аргументов): =Выражение. Имя функции задается как любой идентификатор. Список аргументов функции разделяется запятыми. Аргументы функции являются локальными для неё переменными, поэтому они могут, не определятся до задания функции. Локальные переменные действуют только в выражении, описывающем функцию. При этом их имена могут совпадать с именами глобальных переменных, но при выходе из блока функции значения этих переменных сохраняют ранее заданные значения.

Функции пользователя также могут описываться как локальные, так и глобальные. К сожалению функции пользователя нельзя применять в составе выражений, над которыми осуществляются символьные операции.

2. Стандартные функции

Классификация стандартных функций

Пакет MathCAD является мощной вычислительной системой за счет наличия огромного количества стандартных функций, которые можно классифицировать следующим образом:

математические (арифметические, тригонометрические, гиперболические, комплексные, специальные);

векторные и матричные (создания, объединения, работы со строками и столбцами, матричная алгебра, специальные функции);

статистические (вероятности, гистограммные, распределения);

аппроксимация и интерполяция (интерполяция, аппроксимация, регрессия, сплайны, линейное предсказание);

решение линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений и систем;

доступа к внешним данным (ввод/вывод структурированных и неструктурированных файлов).

Основные элементарные математические функции

Основные элементарные математические функции можно разделить на 6 групп:

тригонометрические — sin (z), cos (z), tan (z), cot (z), csc (z), sec (z);

гиперболические - sinh (z), cosh (z), tanh (z), coth (z), csch (z), sech (z);

обратные — asin (z), acos (z), atan (z);

обратные гиперболические — asinh (z), acosh (z), atanh (z);

показательные и логарифмические - exp (z), ln (z), log (z);

функции комплексного аргумента — Re (z), Im (z), arg (z), CTRL+" -комплексно сопряженное.

Во всех тригонометрических функция аргумент (z) должен быть в радианах, скалярным и безразмерным. Для перевода из градусов в радианы и обратно удобно использовать встроенную переменную deg. Обратные тригонометрические функции возвращают результат в радианах.

Основные функции работы с векторами и матрицами

Существует ряд встроенных векторных и матричных функций. Рассмотрим основные, введя следующие обозначения: V — для векторов, M — для матриц.

Типовые статистические функции

В системе MathCAD можно проводить наиболее распространенные статистические расчеты.

Функции с условиями сравнения

Существует ряд встроенных функций, результат работы которых зависят от знака или значения аргумента. К таким функциям относятся:

Пример:

Функции доступа к внешним данным

Для работы с внешними данными система MathCAD имеет специальный тип данных — файловые данные. Фактически, это те же вектора и матрицы, но с элементами, которые записываются в виде простых текстовых файлов. Значения элементов считываются последовательно слева направо и сверху вниз и по мере обработки преобразуются в соответствующие им ASCII — коды.

Содержимое файла «data. dat» — 1 4 9 16 25.

3. Графические возможности системы MathCAD

Пакет MathCAD позволяет строить самые разнообразные графики — в декартовой и полярной системе координат, трехмерные поверхности, графики уровней и т. д. Графические области делятся на три основных типа — двумерные графики, трехмерные графики и импортированные графические образы. Для построения графиков используются шаблоны. Их перечень содержится в меню Insert — Graph:

X-Y Plot [@] - декартова система координат;

Polar Plot [Ctrl+7] - график в полярной системе координат;

Surface Plot [Ctrl+2] - трехмерный график (график поверхности);

Contour Plot [Ctrl+5] - контурный график трехмерной поверхности (карта линий уровня);

3D Scatter Plot — график в виде точек в трехмерном пространстве (точечный график фигур);

3D Bar Chart — гистограмма в трехмерном пространстве;

Vector Field Plot — график векторного поля на плоскости (векторное поле).

Построение графиков в декартовой системе координат

В шаблоне графика по вертикали задается через запятую функции, а по горизонтали — переменные. График строится по точкам соединяющихся между собой разнообразными линиями (сплошной, пунктирной и т. д.). Исходные (узловые) точки могут быть показаны в виде жирных точек, квадратиков, кружков и т. д. Крайние шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и ординат, т. е. они задают масштабы графика. Если оставить эти шаблоны незаполненными, то масштабы по осям графика будут устанавливаться автоматически.

упрощенный способ построения без предварительного задания дискретной переменной (изменение переменной по умолчанию от — 10 до +10);

с заданием дискретной переменной.

Построение графиков в полярной системе координат

В полярной системе координат каждая точка задается углом (а), радиусом и длиной радиус — вектора R (а). График функции обычно строится при изменении угла (а) в определенных пределах, чаще всего от 0 до 2. При построении графика в полярной системе координат с использованием шаблона графика в прямоугольной системе координат надо по оси Х установить R (а) cos (а), а по оси Y — R (а) sin (а).

Построение трехмерных графиков

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z (X, Y). Для построения трехмерная поверхность Z (X, Y), предварительно представленной матрицей (М) ординат (Z). Шаблон содержит единственный — темный прямоугольник, в который заносится имя матрицы со значениями ординат.

Большие возможности дает способ задания трехмерных поверхностей — в параметрическом виде. При этом приходится формировать три матрицы — X, Y и Z — и указывать их в шаблоне в виде X, Y, Z

Установка форматов двумерной графики

Диалоговое окно установки формата отображения графика вызывается из меню Format — Graph, либо двойным нажатием левой клавиши мыши на графике.

Как видно из рисунка диалоговое окно формата имеет четыре закладки:

X-Y Axes (X-Y Оси) — управление опциями осей;

Traces (Графики) — управление линиями графика;

Labels (Надписи) — управление метками (надписями) у осей;

Defaults (По умолчанию) — задание опций по умолчанию.

Форматирование осей графика

В панели X-Y Axes содержатся следующие основные опции, относящиеся к осям Х и Y (Axis X и Axis Y):

Log Scale (Лог. масштаб) — установка логарифмического масштаба;

Crid Lines (Линии сетки) — установка линий масштабной сетки;

Numbered (Пронумеровать) — установка цифровых данных по осям;

Autoscale (Автомасштаб) — автоматическое масштабирование графика;

Show Markers (Нанести риски) — установка маркеров по осям;

Auto Grid (Автосетка) — автоматическая установка масштабных линий;

Nunber of Grids (Число интервалов) — установка заданного числа масштабных линий.

Возможна также установка следующих опций координатных осей (Axes Style):

Boxed (Рамка) — оси в виде прямоугольника;

Crossed (Репер) — оси в виде креста;

None (Ничего) — отсутствие осей;

Equal Scales (Равные деления) — установка равенства масштабов по осям графика.

Форматирование линий графиков

Следующая панель, Traces (Графики), служит для управления отображением линий, которыми строится график. С помощью опций этой панели можно управлять следующими параметрами линий графика:

Legend Label (Имя кривой) — указание типа линий у оси ординат;

Symbol (Маркер) — установка символа отметки базовых точек графика;

Line (Линия) — установка типа линий;

Color (Цвет) — установка цвета линии и базовых точек;

Type (Тип) — тип графиков;

Weight (Толщина) — толщина линий.

Узловые точки графиков (для которых вычисляются координаты) часто требуется выделить какой-либо фигурой кружком, крестиком, прямоугольником и т. д. Опция Symbol позволяет задать следующие отметки базовых точек графика каждой из функции: none — без отметки, x’s — наклонный крестик, +'х — прямой крестик, box — квадрат, dmnd ромбик, o’s — окружность.

Графики отдельных функций можно также выделять, используя для их построения линии различного типа: none — линия не строится, solid — непрерывная линия, dash — пунктирная линия, dadot — штрих-пунктирная линия

Опция Color (Цвет) задает следующие основные цвета линии и базовых точек red — красный, blu — синий, gm — зеленый, суа — голубой, bm — коричневый, blc — черный.

Опция Туре (Тип) задает следующие типы графика:

line — построение линиями;

points — построение точками;

err — построение вертикальными черточками с оценкой интервала погрешностей;

bar — построение в виде столбцов гистограмм;

step — построение ступенчатой линией step;

draw — построение протяжкой от точки до точки.

Возможные конфликты с отметкой символами и типами линий автоматически устраняются. При этом приоритет отдается опции Type (Тип), а конфликтные типы линий или точек отмечаются тремя звездочками.

Еще две опции связаны с возможностью удаления с графика вспомогательных надписей:

Hide Argument — прячет обозначения математических выражений по осям графика;

Hide Legend — прячет обозначения имен кривых графика.

Задание надписей в графиках

Панель меток Label (Надписи) позволяет вводить в рисунок дополнительные надписи. Эта панель появляется, если уже создан текущий график.

Для установки надписей служат небольшие окошки:

Title — установка титульной надписи к рисунку;

X-Axis — установка надписи по оси X;

Y-Axis — установка надписи по оси Y.

В разделе Title содержатся опции Above (Сверху) и Below (Снизу) для установки титульной надписи либо над рисунком, либо под ним. Кроме того, опция Show Title (Показать заголовок) позволяет включать или выключать отображение титульной надписи.

Графические установки по умолчанию

Панель Defaults (По умолчанию), служит для установки опций графиков Change to Defaults (Вернуть значения по умолчанию) и Use for Defaults (Использовать для значений по умолчанию).

4. Решение уравнений и систем

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой Доказательство этого факта связано с именами замечательных математиков Абеля (1802−1829) и Галуа (1811−1832). Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).

Рис. Классификация уравнений

Выбор подходящего метода для решения уравнений зависит от характера рассматриваемой задачи. Задачи, сводящиеся к решению алгебраических и трансцендентных уравнений, можно классифицировать по числу уравнений и в зависимости от предлагаемого характера и числа решений. Одно уравнение будем называть линейным, алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.

Решение линейных и трансцендентных уравнений

Для простейших уравнений вида f (x) =0 решение в MathCad находится с помощью функции root.

root (f (х1, x2, …), х1), где

f (х1, x2, …) — функция описывающая левую часть выражения вида f (x) =0. Выражение должно возвращать скалярные значения;

х1 — имя переменной, относительно которой решается уравнение.

Функция реализует вычисления итерационными методами и требует предварительного задания начального приближения искомой переменной (х1). Эта переменная называется варьируемой. Функция позволяет найти как вещественные корни, так и комплексные. В этом случае начальное приближение нужно задать как комплексное число.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:

Известны из физического смысла задачи;

Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных;

Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. В этом случае достаточно построить график функции f (x) и отметить точки пересечения f (x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f (x) = 0 равносильным ему уравнением, где функции f₁ (x) и f₂ (x) — более простые, чем функция f (x). Тогда, построив графики функций у = f1 (x) и у = f2 (x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. Для решения уравнений вида его необходимо привести к виду .

Часто возникает необходимость многократного решения уравнения при изменении одного из параметров.

Отсутствие сходимости функции root

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.

Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f (x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f (x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции root

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Значение TOL можно определить непосредственно в рабочем документе, либо в меню Math — Option. Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f (x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root (f (x), x) может сходиться к значению, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f (x) = 0 на g (x) = 0 где .

Для выражения f (x) с известным корнем (а) нахождение дополнительных корней f (x) эквивалентно поиску корней уравнения h (x) =f (x) / (x_a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h (x), чем пробовать искать другой корень уравнения f (x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, вида используется функция polyroots. В отличие от функции root, polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. Общий вид polyroots (v), где v — вектор коэффициентов полинома длины, n — степень полинома. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома. Вектор v удобно создавать использую команду меню Symbolics — Polynomial Cofficients.

Решение систем уравнений и неравенств

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Наиболее распространенным является блочный метод. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов. Для решения системы этим методом необходимо выполнить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает, что далее следует система уравнений;

Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl] + = либо палитру, для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, и ;

Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: .

Mathcad возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. Решающим блоком — называется часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Find. Внутри блока недопустимы следующие символы:, дискретные переменные или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме, неравенства вида a

Функция, Find может возвращать результат следующими способами:

Find (var1, var2,…) =.

a: = Find (x) — скаляр, var: = Find (var1, var2,…) — вектор. Удобно при использовании решения системы в другом месте рабочего документа.

f (a, b, c, …): = Find (x, y, z, …). Определить другую функцию с помощью Find. Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений;

f (x, y, z, …): = Find (x, y, z, …). Если необходимо найти решение при различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую функцию.

Последние два способа можно комбинировать.

Отсутствие сходимости решения

Сообщение об ошибке (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:

система не имеет решения;

для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот;

в процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения;

возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Приближенные решения

Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find. Общий вид Minerr Minerr (z1, z2,.). Число аргументов должно быть равно числу неизвестных. При использовании Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.

Решение матричных уравнений

Система n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn может быть записана в матричном виде ах=b где:

.

Если матрица, а — неособенная, то есть det (а) 0 то система, имеет единственное решение. Для решения систем линейных уравнений можно использовать общепринятые математические методы: метод Крамера, матричный метод и т. д.