Основы машиностроения

Задача 1

К консольному стержню (рис. 1.1) переменного сечения приложены продольные силы. Построив эпюры нормальной силы и нормальных напряжений, Определить из условия прочности допустимое значение параметра нагрузки Р. При найденном значении Р вычислить перемещение свободного конца стержня.

Принять площадь поперечного сечения, А = 2 см²; длину l = 20 см; нормативный коэффициент запаса прочности [n] = 2.

Рисунок 1.1.

Дано: F₁ = -P; F₂ = 2P; l₁ = l; F₃ = 2,5P; l₂ = l; Сталь 40Х.

Решение:

Составим расчетную схему с учетом исходных данных (рис. 1.2)

Выбираем положительное направление оси z. Разбиваем стержень на участки, начиная от свободного края. Границами участков будут сечения, в которых приложены нагрузки и меняются размеры сечения (рис. 1.2).

Рисунок 1.2

Данный стержень имеет 4 участка. В пределах каждого участка воспользуемся методом сечений:

— Разбиваем стержень на рассматриваемом участке сечением, перпендикулярным оси стержня;

— Мысленно отбрасываем левую часть стержня;

— Заменяем влияние отброшенной части на оставленную внутренней силой N;

— Рассматриваем в равновесии оставленную правую часть стержня под действием внешних сил и внутренней силы N;

— Составляем уравнение равновесия (уравнение статики Z = 0) и, решив его, определяем искомые внутренние силы.

— растяжение

— сжатие

— сжатие

— сжатие

Вычисляем нормальные напряжения на участке По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений.

Из условия прочности при растяжении (сжатии) находим значение нагрузки Р:

где [у_р] - допускаемое напряжение при растяжении; МПа.

где у_Т = 800 МПа — предел текучести для Стали 40Х.

[n]=2 — нормативный запас прочности .

Тогда

Находим перемещение свободного конца бруса:

т.е. стержень под действием нагрузок сжимается.

Задача 2

Для плоской стержневой системы, изображенной на рис. 2.1 требуется:

1. определить усилия в стержнях (в долях ql);

2. из расчета на прочность найти площади поперечных сечений стержней;

3. считая, что каждый стержень состоит из двух одинаковых равнополочных уголков, подобрать по ГОСТ 8509–72 соответствующий номер профиля.

Принять: материал — сталь Ст. 5; нормативный коэффициент запаса прочности [n] = 1,4; длину l = 0,5 м; интенсивность распределенной нагрузки q = 200 кН/м.

Рисунок 2.1

Дано: а = 1,6l; c = 2l; б = 60?; F = 0,3ql

Решение: Составляем расчетную схему согласно исходных данных. Разрезаем стержни и вводим неизвестные усилия N₁, N₂ и N₃, считая, что стержни растянуты (рис. 2.2).

Для определения неизвестных усилий составляем уравнение равновесия, жесткого стержня:

(1)

Отсюда

— стержень растянут

(2)

(3)

Из уравнения (2) выразим N₂

и подставим в уравнение (3)

Отсюда:

— стержень сжат Тогда

— стержень сжат Рисунок 2.2

Условие прочности при растяжении (сжатии) имеет вид:

где N_i — усилие в стержне, Н;

А_i — площадь поперечного сечения стержня, мм;

[у_р] - допускаемое напряжение, Мпа где у_Т = 280 МПа — предел текучести для стали Ст. 5.

[n]=1,4 — нормативный запас прочности Отсюда для первого стержня:

по условию каждый стержень состоит из двух равнобоких уголков, поэтому площадь одного уголка будет равна:

по таблице сортамента (ГОСТ 8509−93) принимаем уголок 50×50×6 у которого А_табл1= 5,69 см²

для второго стержня:

по таблице сортамента (ГОСТ 8509−93) принимаем уголок 20×20×3 у которого А_табл2= 1,13 см²

для третьего стержня:

по таблице сортамента (ГОСТ 8509−93) принимаем уголок 20×20×3 у которого А_табл3= 1,13 мм²

Задача 3

Для стальной балки (рис. 3.1) из расчета на прочность по наибольшим нормальным напряжениям подобрать размеры поперечных сечений трех типов (рис. 3.1): 1 — двутавровое; 2 — прямоугольное с отношением высоты к основанию h/b = 2; 3 — круглое сечение.

Вычертить найденные сечения в одном масштабе (можно наложить их друг на друга) и найти соотношение весов соответствующих балок.

Принять: интенсивность поперечной распределенной нагрузки q = 50 кН/м; длину l = 40 см; допускаемые нормальные напряжения [у] = 160 МПа.

Рисунок 3.1

Дано: l₁ = 1,8l; F = 3ql; l₂ =2,4l; M = -2ql²

Решение:

Составим расчетную схему с учетом исходных данных (рис. 4.2).

Определим действующие нагрузки:

q = 50 кН/м; F = 3ql=3•50•0,4=60 кН; M = 2ql² = 2•50•0,4²= 16 кНм Определение опорных реакций.

Рисуем на схеме реакции опор, А и В, считая их направление положительным. Составляем уравнения равновесия и определяем величину реакций

(1)

(2)

Из уравнения (1) находим R_B

Из уравнения (2) находим R_А

Сделаем проверку. Для чего приравняем сумму проекций всех сил на вертикальную ось к нулю:

Условие выполняется, опорные реакции определены верно.

Разделим балку на два участка (рис. 3.2)

Находим значения поперечных сил на участках:

На участке 1:

На участке 2 :

при z₂ = 0

при z₂ = 0,72 м По найденным значения строим эпюру Q_y (рис. 3.2)

Находим значения изгибающих моментов на участках:

На участке 1:

при z₁ = 0

при z₁ =0,96 м

на участке 2:

при z₂ = 0

при z₂ = 0,72 м

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рис. 3.2). Опасным является сечение, в котором изгибающий момент принимает наибольшее по модулю значение, т. е. сечение, расположенное над правой опорой балки.

Рисунок 3.2

3. Определение размеров поперечного сечения балки.

Размеры балки определяются максимальными напряжениями в наиболее опасном сечении. В нашей схеме опасное сечение в точке приложения силы F.

Из условия прочности определим момент сопротивления поперечного сечения:

Для балки:

* сечения из двутавра: по ГОСТ 8239–89 выбираем двутавр № 18, имеющий параметры:

W_x=143 см³; S=23,4 см²; h=18см; b=9 см.

* прямоугольного сечения (h/b=2):

,

Принимаем

b=6 cм; h =2•6=12 см; S=6•12=72 см²;

* круглого поперечного сечения:

; ;

принимаем d = 11,5 см;

Изобразим в масштабе (1:5) все расчетные сечения балки (рис. 3.3).

Выбираем оптимальное поперечное сечение с минимальной площадью сечения:

Оптимальным сечением является двутавр № 16.

Рисунок 3.2.

Задача 4

К стальному валу переменного круглого сечения (рис. 4.1) приложены скручивающие моменты М и М₁.

Определить из условия прочности размеры поперечных сечений и округлить до ближайшей величины по ГОСТ 6636–69.

При найденных размерах вычислить угол поворота свободного конца вала (в градусах).

Принять: М = 3 кН•м; l = 20 см; допускаемое касательное напряжение [ф] = 80 МПа; модуль сдвига G = 8•10⁴ МПа.

Рисунок 4.1

Дано: l₁ = 1,5l; D=1,54d; l₂ = 2,3l; M₁=3,5M

Решение:

Составим расчетную схему с учетом исходных данных (рис. 4.2.)

Пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты в произвольном сечении каждого из участков бруса, по направлению справо налево (рис. 4.2).

Участок I. Условие равновесия: M_K1 — 3,5 М = 0, отсюда M_K1 = 3,5M = 10,5 кНм.

Участок II. Условие равновесия: M_К2— 3,5M+М = 0, отсюда M_K2 = 2,5M = 7,5 кНм, Участок III. Условие равновесия: M_К3 — 3,5M +M = 0, отсюда M_K3 =2,5M = 7,5 кНм, По полученным данным строим эпюру M_K (рис. 4.2)

Определяем значения полярного момента сопротивления и полярного момента инерции по участкам:

Участок I:

Участок II: ;

Участок III: ;

Определяем напряжения по участкам бруса:

Участок I:

Участок II:

Участок III:

Определяем диаметр бруса. Из условия прочности имеем Принимаем d = 80 мм Определяем угол поворота свободного конца вала:

Рисунок 4.2

Задача 5

Для соединения, показанного на рис. 5.1, из расчетов на прочность (при растяжении, сжатии, срезе, смятии) найти значения указанных на чертеже размеров и уточнить в соответствии с ГОСТ 6636–69 (нормальные линейные размеры).

Принять: материал — сталь; допускаемые напряжения при растяжении (сжатии) [у] = 100 МПа; на срез [ф]_ср = 0,8 [у]; на смятие [у]_см = 2,0 [у].

Рисунок 5.1

Дано: F = 70 кН.

Решение:

1) Из условия прочности заклепочного соединения по деформации среза определим диаметр заклепки.

консольный стержень балка вал где dдиаметр заклепки, мм;

F = 70 кН — растягивающая сила;

m = 2 — количество срезов

n = 5 — количество заклепок.

[ф]_ср = 0,8[у] = 0,8•100 = 80 МПа — допускаемое напряжение на срез.

Отсюда Примем d = 11 мм

2) Из условия прочность заклепочного соединения по деформации смятия определим толщины деталей:

где д_min — наименьшая толщина соединяемых деталей, мм;

n = 5 — количество заклепок.

[у]_см= 2,0[у] = 2,0•100 = 200 МПа — допускаемое напряжение на смятие Отсюда принимаем следующие размеры деталей

t = д_min=7 мм и, а = д_min/2=7/2=3,5 мм

3) Из условия прочности при растяжении определим ширины листов:

Для листа шириной b:

Условие прочности по деформациям растяжения:

где A_сеч = a· b — 3· a·d — площадь наиболее ослабленного сечения соединяемых деталей.

[у] = 100 МПа — допускаемое напряжение на растяжение.

Отсюда:

Принимаем b = 100 мм Ответ: a = 3,5 мм; b = 100 мм; t = 7 мм, d = 11 мм