Синтез линейной системы автоматического управления

Таким образом, с целью упрощения реализации корректирующего устройства предусмотрим его исполнение в виде последовательного включения трех однотипных корректирующих звеньев, разделенных операционными усилителями с коэффициентом усиления, равным единице. Но, прежде чем приступать к синтезу корректирующего устройства, необходимо проверить на модели абстрактного устройства, реализующего передаточную функцию:

Рисунок 12 Модель абстрактного корректирующего звена, реализующего желаемую переходную функцию

Рисунок 13График ЛАЧХ абстрактного корректирующего устройства

Запустив моделирование, можно получить график непрерывной ЛАЧХ данного корректирующего устройства и сравнить ее с требуемой. На рис. 13показана ЛАЧХ абстрактного корректирующего устройства. Как видно, из рис. 13 характер поведения ЛАЧХ близок к расчетной характеристике. Теперь включим абстрактное корректирующее устройство последовательно с неизменяемой частью САУ и снимем характеристики разомкнутой системы при наличии абстрактного корректирующего устройства. На рис. 14 показана модель САУ с последовательным корректирующим устройством, а на рис 15 представлены частотные характеристики разомкнутой системы ЛАЧХ и ЛФЧХ. Рисунок 14 Модель САУ с абстрактным корректирующим звеном

Рисунок 15. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с последовательным абстрактным корректирующим звеном

Из рис. 15 следует, что замкнутая система устойчива, имеет запас как по амплитудеh, так и по фазе -β.Произведем расчет корректирующего устройства, для чего, пользуясь прил. 1, выберем типы трех корректирующих звеньев, реализующих совместно его передаточную функцию (10).Первое звено должно формировать участок ЛАЧХ корректирующего устройства в диапазоне частот ω<�ωн, поэтому выбираем корректирующую цепочку с номером 9, имеющую следующий вид и ЛАЧХ, представленные на рис. 16. Рисунок 16Схема и ЛАЧХ первой корректирующей цепочки Второе и третье звенья должны формировать участки ЛАЧХ корректирующего устройства в диапазоне частот ω<�ωс1, поэтому выбираем для этих целей две корректирующие цепочки с номером 3, имеющие следующий вид и ЛАЧХ, представленный на рис. 17. Рисунок 17Схема и ЛАЧХ корректирующей цепочки, используемой в качествевторого и третьего звеньев корректирующего устройства

Для обеспечения нормальной работы корректирующего устройства и исключения влияния звеньев друг на друга и на откорректированную часть САУ необходимо в корректирующее устройство ввести развязывающие операционные усилители ОУ, имеющие высокое входное сопротивление и малое выходное. На рис. 18 представлена структурная схема корректирующего устройства. Рисунок 18 Структурная схема корректирующего устройства

Согласно выражения (10) статический коэффициент усиления корректирующего устройства равен единице, поэтомупри выборе параметов операционных усилителей и второго и третьего звена (последние формируют собственные коэффициенты усиления

Кк2 иКк3, зависящие от емкостных параметров своих схем) необходимо обеспечить следующее условие:

Кк=К1∙К2∙К3К4∙Кк2∙Кк3=1,(11)где

Ккстатический коэффициент усиления корректирующего устройства. Коэффициенты

К1 иК4 принимаем равными 1, так как операционные усилители ОУ1 и ОУ4 выполняют лишь согласующие функции по отношению к нескорректированной части САУ. Для того, чтобы скомпенсировать коэффициенты усиления

Кк2 иКк3 второго и третьего корректирующих звеньев коэффициенты усиления операционных усилителей ОУ2 и ОУ4должны быть равны: К2=1/Кк2 иК3=1/Кк3.Расчет параметров первого звена. Передаточная функцияэтого звена равначто следует из ЛАЧХ на рис. 16, согласно которому

Т2>Т1. Эта функция соответствует первой дроби в правой части выражения для Wк, т. е.Воспользуемся расчетными формулами, приведенными для данного звена в приложении 1, и составим систему уравнений, учитывая, что

Т2=Т4=0,58 с иТ1=0,36 с :(12) Так как уравнений два, а неизвестных три, то зададимся произвольно значением, например, сопротивления резистора R1=1 кОм. Тогда, решая первое уравнение относительноR2, найдем его значениеR2=Т4/Т1−1= 0,58/0,36−1=0,6≈0,62 кОм. Решая второе уравнение относительно С1 найдем значение емкости конденсатора

С1=500 мк

Ф.Расчет параметров второго звена. Передаточная функцияэтого звена равна, но при этом, как следует из ЛАЧХна рис. 16, Т1>Т2.Эта функция соответствует второй дроби вправой части выражения для Wк, т. е.В данное уравнение введен коэффициент усиления

К2 операционного усилителя ОУ2 с тем, чтобы обеспечить равенство левой и правой частей уравнения при

К∙К2=1.Воспользуемся расчетными формулами, приведенными для данного звена в прил. 1, и составим систему уравнений, учитывая, что

Т2=Т1=0,22 с, Т6=Т2=0,45 с, K=Kк2.Так как уравнений три, а неизвестных четыре, то зададимся произвольно значением, например, емкости конденсатора С2=10 мк

Ф. Тогда, решая второе уравнение относительнодроби C2/C1, найдем ее значение C2/C1= 4 936 049

ОткудаC1=С2/4 936 049=10−5/4 936 049=2∙10−12=2пк

Ф.0,45∙(1+0,45∙C2/C1)=1; 0,45+0,452∙C2/C1=1; C2/C1=(1−0,45)/0,452=4936049;Из первого уравнения системы (13) находим значение статического коэффициента усиления второй корректирующей цепочки Кк2=2∙10−7. Следовательно, коэффициент усиления операционного усилителя ОУ2 должен быть равенK2=1/Кк2=5∙106. Решая третье уравнение относительно R1 найдем значение сопротивления резистора R1=T2/C2=0,22/10−5=22 кОм. Таким образом, мы нашли все интересующие нас параметры второго корректирующего звена. Расчет параметров третьего звена. Передаточная функция этого звена равна, где Т1>Т2. Эта функция соответствует третьей дроби в правой части выражения для Wк, т. е.В данное уравнение по аналогии с предыдущим введен коэффициент усиления

К3 операционного усилителя ОУЗ с тем, чтобы обеспечить равенство левой и правой частей уравнения при

К∙К3=1.Воспользуемся расчетными формулами, приведенными для данного звена в прил. 1, и составим систему уравнений, учитывая, что

Т3=Т1=0,2 с, Т5=Т2=0,0045с, К=Кк3:Так как уравнений три, а неизвестных четыре, то зададимся произвольно значением, например, емкости конденсатора С2=850 мк

Ф. Тогда, решая второе уравнение относительнодроби C2/C1, найдем ее значение C2/C1= 49 160

ОткудаC1=С2/49 160=850−6/49 160=173∙10−6=200мк

Ф.0,0045∙(1+0,0045∙C2/C1)=1; 0,0045+0,452∙C2/C1=1; C2/C1=(1−0,0045)/0,452=49160;Из первого уравнения системы (14) находим значение статического коэффициента усиления второй корректирующей цепочки Кк3=2∙10−5. Следовательно, коэффициент усиления операционного усилителя ОУ3 должен быть равен K3=1/Кк3=5∙104. Решая третье уравнение относительно R1 найдем значение сопротивления резистора R1=T3/C2=0,2/850−6=250 Ом. Таким образом, мы нашли все интересующие нас параметры третьего корректирующего звена. На рис. 19 представлена принципиальная схема корректирующего устройства с указанием значений его параметров. Рисунок 19Принципиальная схема корректирующего устройства

В заключение необходимо, привести графики переходной функции и частотные функции замкнутой системы САУ с последовательным корректирующим устройством, используя для этих целей схему модели САУ, представленную на рис. 14. Рисунок 20 Переходная функция замкнутой САУРисунок 21 Частотные характеристики замкнутой САУРисунок 22 схема модели замкнутой САУ с последовательным корректирующим устройством

Затем заменив на модели входной сигнал в виде единичной ступенчатой функции на непрерывный сигнал, пропорциональный времени так, как показано на рис. 22, выведем график выходного сигнала САУ в виде изменения во времени угла поворота оси отработки, показанного на рис. 23. Убедиться на основе анализа данных графиков, что заданные показатели качества САУ выполняются и в заключение привести выводы. Рисунок 23 График изменения выходного сигнала следящей системы во времени

Из графика на рис. 23 мы видим практически линейный сигнал, численное значение которого в конце десятисекундного интервала равно 359,973, т. е. скорость изменения выходного сигнала равна 35,9973град/с, т. е. абсолютная ошибка составляет 0,0027 град/с, что на два порядка меньше заданной величины погрешности, равной 0,75град/с.РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРАДушин С.Е., Зотов И. С., Имаев Д. Х. и др. Теория автоматичесекого управления: Учеб. для вузов/ Под ред.

В.Б. Яковлева. — М.:Высшая школа, 2009, — 567 с. Воронов А. А., Дмитриева Н. Д., Ким Д. П., и др. Теория автоматического управления. 4.

1. Теория линейных систем автоматического управления/Под ред. А. А. Воронова. — М: Высшая школа, 1986.

— 367 с. Современные методы проектирования систем автоматического управления. Анализ и синтез/Под ред. Б. Н. Петрова, В.

В. Солодовникова, Ю. И. Топчеева. — М.: Машиностроение, 1967, 704 с. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования.

— М.: Наука, 1975.