Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции

Любая позиционная задача имеет одно определенное решение и не содержит никаких допущений. Если же изображение неполное, то, решая позиционную задачу, некоторые элементы можно задать произвольно.

Рассмотрим изображение пирамиды DABC и прямой, пересекающей грани ABD и BCD в точках M и N (рис. 19). Необходимо найти след прямой MN на плоскости основания ABC.

рис. 19

Решение строится таким образом: к изображению данной пирамиды присоединяем изображение (A, B, C, D) аффинного репера. В этом случае все вершины пирамиды и точки M и N будут заданными. Вследствие этого заданное изображение является полным. Прямая MN лежит в плоскости DMN, поэтому след X0 этой прямой лежит на следе p0 плоскости DMN. Построим след p0 плоскости DMN. Прямые DM и DN пересекают плоскость основания пирамиды в точках M0 и N0, т. е. след прямой MN на плоскости основания ABC совпадает с прямой M0N0.

9. Построение сечений простейших многогранников

При пересечении многогранника с плоскостью в зависимости от ее направления можно получить различные плоскости фигуры. Пересекая, например, поверхность куба секущей плоскостью, в зависимости от пересечения количества его граней можно получить следующие фигуры сечения (рис.

20): треугольник (рис. 20, а); четырехугольник четыре грани (рис.

20, б); шестиугольник (рис. 20, в).

В том случае, если секущая плоскость является плоскостью уровня, т. е. параллельна плоскости проекций, фигура сечения на эту плоскость будет проецироваться в ее натуральный вид и величину.

рис. 20

Пример построения изображения сечения призмы

Даны изображения треугольной призмы ABCABC и точек M, P, N, лежащих соответственно на ребре AA и гранях ABBA и BCCB (рис.

21). По;

строить сечение этой призмы плоскостью MNP .

рис. 21 рис.

Присоединим к изображению призмы изображение A, B, C, A аффинного репера. Теперь все вершины призмы и точки M, P, N заданны, поэтому данное изображение является полным. Для решения задачи надо построить отрезки, по которым плоскость MNP пересекает грани данной призмы. Прямая MP лежит в плоскости грани ABBA и пересекает ребро BB в точке X, поэтому плоскость MNP пересекает грань ABBA по отрезку MX (см. рис.

21). Аналогичным образом строим отрезок XY, по которому плоскость MNP пересекает грань BCCB. Далее строим отрезок MY и получаем искомое сечение — треугольник MXY. Так как треугольная призма имеет пять граней, то ее сечениями могут быть треугольники, четырехугольники и пятиугольники. При изменении положения точек M, P, N на поверхности призмы можно получить все эти случаи. На рис. 22 плоскость MNP пересекает данную призму по четырехугольнику.

Пример построения изображения сечения пирамиды

Пусть задана треугольная пирамида SABC и точки M, N, P, лежащие соответственно на ребре SA и гранях ABS и BCS (рис.

23). Нужно построить сечение этой пирамиды плоскостью MNP.

рис. 23

Присоединяем к изображению данной пирамиды изображение (A, B, C, S) аффинного репера. Теперь все вершины пирамиды и точки M, N, P заданы, поэтому изображение на рис. 23 является полным. Прямая MN лежит в плоскости грани ABS и пересекает прямую BS в точке X, поэтому плоскость MNP пересекает грань ABS по отрезку MX1. Прямая XP лежит в плоскости грани BCS и пересекает ребра BC и CS в точках Y и Z. Построив отрезки X1Y и ZM, которые лежат в гранях ABC и ACS соответственно, получаем искомое сечение — четырехугольник MX1YZ .

10. Метрические задачи

Метрическими называются задачи, связанные с определением натуральных величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже. Выделяют три группы метрических задач:

1. Задачи, включающие в себя определение расстояний от точки до другой точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от точки до поверхности; от прямой до другой прямой; от прямой до плоскости; от плоскости до плоскости. 2. Задачи, включающие определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями (т.е определение величины двухгранного угла).

3. Задачи, связанные с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).

Задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа. В основе решения метрических задач лежит свойство прямоугольного проецирования, заключающееся в том, что любая геометрическая фигура на плоскость проекций проецируется в натуральную величину, если она лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекций.

Решение задач упрощается, когда одна из геометрических фигур, участвующих в задачах, занимает частное положение. В том случае, если ни одна из геометрических фигур не занимает частного положения, то нужно выполнить определенные построения, позволяющие провести одну из них в это положение.

В качестве примера определим натуральную величину отрезка прямой линии методом треугольника (рис. 24).

рис. 24

Обозначаем вторую проекцию С2 точки С;

Определяем длину отрезка В2С2, как разность глубин точек, А и В относительно П1.

На плоскости П1 из точки В1 провести прямую отрезку А1В1 и на этой прямой отложить отрезок В1B0, равный В2С2. Получаем прямоугольный треугольник А1В1B0.

Гипотенуза А1B0 прямоугольного треугольника А1В1B0 является натуральной величиной отрезка АВ, а угол α - углом наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций.

11. Понятие о методе Монжа

В том случае, когда информация о расстоянии точки до плоскости проекции задана с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложил Гаспар Монж — крупный французский геометром конца 18, начала 19 веков.

Метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, изложенный Монжем, является основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с этим методом в пространстве рассматриваются две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 25). Одна из плоскостей проекций П1 расположена горизонтально, а вторая П2 — вертикально. П1 — горизонтальная плоскость проекций, П2 — фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

рис. 25

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла — четверти.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x12.

Вследствие того, что плоскости непрозрачны, видимыми для наблюдателя являются только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П1 совмещают вращением вокруг оси x12 с плоскостью П2. Чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.

Заключение

Развитие вычислительной техники позволило создать специальные системы автоматизированного изготовления чертежей. Они относительно просты и удобны в использовании. Позволяют быстро определить необходимое количество видов, размеров и сечений, обеспечивают высокую точность и легкость внесения изменений. Однако для создания технически грамотных чертежей деталей и узлов, знание и понимание основных методов графических построений необходимо даже в условиях нынешнего века высоких технологий.

1. В. О. Гордон, М. А. Семенцов-Огиевский — Курс начертательной геометрии (Наука, 1988, 272 стр., 23-е издание)

2. Потоскуев Е. В., Звавич Л. И — Геометрия. 10 кл. (угл. и проф. обучение) (2008, 223с)

3. С. А. Фролов — Начертательная геометрия (Машиностроение, 1983, 240 стр., 2-е издание)

4. Понарин Я. П — Элементарная геометрия в 2 т. Т.

2. Стереометрия. (2006, 256 стр.)

5. Вольхин К. А. — Начертательная геометрия (Новосибирск, 2004)

6. В. О. Гордон, Ю. Б. Иванов, Т. Е. Солнцева — Сборник задач по курсу начертательной геометрии (Наука, 1977, 352 стр., 5-е издание)

7. Тозик В. Т. — Электронный учебник по начертательной геометрии (

http://www.t-agency.ru/geom/)