Метод математического моделирования в экономике

Для этих клеток сумма потенциалов равна истинному тарифу; последнее может служить проверкой правильности найденных значении потенциалов.

Из сказанного вытекает следующий критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи: если для некоторого базисного плана перевозок алгебраические суммы тарифов по циклам для всех свободных клеток неотрицательны, то этот план оптимальный.

Отсюда вытекает способ отыскания оптимального решения транспортной задачи, состоящий в том, что, имея некоторое базисное решение, вычисляют алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток. Если критерий оптимальности выполнен, то данное решение является оптимальным; если же имеются клетки с отрицательными алгебраическими суммами тарифов, то переходят к новому базису, производя пересчет по циклу, соответствующему одной из таких клеток. Полученное таким образом новое базисное решение будет лучше исходного — затраты на его реализацию будут меньшими. Для нового решения также проверяют выполнимость критерия оптимальности и в случае необходимости снова совершают пересчет по циклу для одной из клеток с отрицательной алгебраической суммой тарифов и т. д.

Через конечное число шагов приходят к искомому оптимальному базисному решению.

В случае если алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток положительны, мы имеем единственное оптимальное решение; если же алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток неотрицательны, но среди них имеются алгебраические суммы тарифов, равные нулю, то оптимальное решение не единственное: при пересчете по циклу для клетки с нулевой алгебраической суммой тарифов мы получим оптимальное же решение, но отличное от исходного (затраты по обоим планам будут одинаковыми).

В зависимости от методов подсчета алгебраических сумм тарифов для свободных клеток различают два метода отыскания оптимального решения транспортной задачи:

Распределительный метод. При этом методе для каждой пустой клетки строят цикл и для каждого цикла непосредственно вычисляют алгебраическую сумму тарифов.

Метод потенциалов. При этом методе предварительно находят потенциалы баз и потребителей, а затем вычисляют для каждой пустой клетки алгебраическую сумму тарифов с помощью потенциалов.

Преимущества метода потенциалов по сравнению с распределительным методом состоят в том, что отпадает необходимость построения циклов для каждой из пустых клеток и упрощается вычисление алгебраических сумм тарифов. Цикл строится только один — тот, по которому производится пересчет.

Применяя метод потенциалов, можно говорить не о знаке алгебраических сумм тарифов, а о сравнении косвенных тарифов с истинными. Требование неотрицательности алгебраических сумм тарифов заменяется условием, что косвенные тарифы не превосходят истинных.

Следует иметь в виду, что потенциалы (так же как и циклы) для каждого нового базисного плана определяются заново.

Выше рассматривалась закрытая модель транспортной задачи, с правильным балансом, когда выполняется условие (1.3). В случае выполнения (1.4) (открытая модель) баланс транспортной задачи может нарушаться в 2-ух направлениях:

1. Сумма запасов в пунктах отправления превышает сумму поданных заявок (транспортная задача с избытком запасов):

(аi > (bj (где i=1,…, m; j=1,…, n);

2. Сумма поданных заявок превышает наличные запасы (транспортная задача с избытком заявок):

(аi < (bj (где i=1,…, m; j=1,…, n);

Рассмотрим последовательно эти два случая:

Транспортная задача с избытком запасов.

Сведем её к ранее рассмотренной транспортной задаче с правильным балансом. Для этого, сверх имеющихся n пунктов назначения В1, B2, …, Bn, введём ещё один, фиктивный, пункт назначения Bn+1, которому припишем фиктивную заявку, равную избытку запасов над заявками

bn+1 = (аi — (bj (где i=1,…, m; j=1,…, n) ,

а стоимость перевозок из всех пунктов отправления в фиктивный пункт назначения bn+1 будем считать равной нулю.

Введение

м фиктивного пункта назначения B n+1 с его заявкой b n+1 мы сравняли баланс транспортной задачи, и теперь ее можно решать, как обычную транспортную задачу с правильным балансом.

Транспортная задача с избытком заявок.

Эту задачу можно свести к обычной транспортной задаче с правильным балансом, если ввести фиктивный пункт отправления Am+1 с запасом am+1 равным недостающему запасу, и стоимость перевозок из фиктивного пункта отправления во все пункты назначения принять равной нулю.

2.

4.Пример решения транспортной задачи В городе N имеется 4 склада Аi, на которых хранится ткань (в рулонах) и 5 магазинов Bj, занимающихся продажей ткани. Ниже, в таблице, приведены данные по количеству рулонов на каждом складе, запросы магазинов и стоимость перевозки одного рулона из Аi в Bj. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы магазинов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.

Исходная таблица:

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 Транспортная задача является открытой, так как запас груза больше потребностей на 5 единиц. Приведем задачу к закрытому типу — введем фиктивного потребителя B6.

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Находим опорный план по правилу северо-западного угла:

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Целевая функция F=600

Решаем задачу методом потенциалов: Примем некоторые обозначения: i — индекс строки;j — индекс столбца;m — количество поставщиков;n — количество потребителей. Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci, j (i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки. Потенциалы Ui: U1=0V1=C1,1-U1= 2V2=C1,2-U1= 4U2=C2,2-V2=-1U3=C3,2-V2=-3V3=C3,3-U3= 4V4=C3,4-U3= 5U4=C4,4-V4=-2V5=C4,5-U4= 7V6=C4,6-U4= 2Определяем значения оценок Si, j=Ci, j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток: S1,3= 2 S1,4= 0 S1,5= -2 S1,6= -2 S2,1= 0 S2,3= -2 S2,4= 0 S2,5= -3 S2,6= -1 S3,1= 2 S3,5= -1 S3,6= 1 S4,1= 2 S4,2= 2 S4,3= 2 Наиболее потенциальной является клетка (2,5). Для нее оценка равна -3.Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус» .

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

 —

+

20 A3

+

 —

75 A4

+

 —

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Перемещаем по циклу груз величиной в 20 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус» .В результате перемещения по циклу получим новый план:

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Целевая функция F= 540

Значение целевой функции изменилось на 60 единиц по сравнению с предыдущим этапом. Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci, j (i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки. Потенциалы Ui: U1=0V1=C1,1-U1= 2V2=C1,2-U1= 4U3=C3,2-V2=-3V3=C3,3-U3= 4V4=C3,4-U3= 5U4=C4,4-V4=-2V5=C4,5-U4= 7V6=C4,6-U4= 2U2=C2,5-V5=-4Определяем значения оценок Si, j=Ci, j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток: S1,3= 2 S1,4= 0 S1,5= -2 S1,6= -2 S2,1= 3 S2,2= 3 S2,3= 1 S2,4= 3 S2,6= 2 S3,1= 2 S3,5= -1 S3,6= 1 S4,1= 2 S4,2= 2 S4,3= 2 Наиболее потенциальной является клетка (1,5). Для нее оценка равна -2.Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус» .

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

 —

+

50 A2

20 A3

+

 —

75 A4

+

 —

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Перемещаем по циклу груз величиной в 10 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус» .В результате перемещения по циклу получим новый план:

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Целевая функция F= 520

Значение целевой функции изменилось на 20 единиц по сравнению с предыдущим этапом. Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci, j (i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки. Потенциалы Ui: U1=0V1=C1,1-U1= 2V5=C1,5-U1= 5U2=C2,5-V5=-2U4=C4,5-V5=0V6=C4,6-U4= 0V4=C4,4-U4= 3U3=C3,4-V4=-1V2=C3,2-U3= 2V3=C3,3-U3= 2Определяем значения оценок Si, j=Ci, j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток: S1,2= 2 S1,3= 4 S1,4= 2 S1,6= 0 S2,1= 1 S2,2= 3 S2,3= 1 S2,4= 3 S2,6= 2 S3,1= 0 S3,5= -1 S3,6= 1 S4,1= 0 S4,2= 2 S4,3= 2 Наиболее потенциальной является клетка (3,5). Для нее оценка равна -1.Строим для нее цикл, помечая клетки цикла знаками «плюс» и «минус» .

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

 —

+

75 A4

+

 —

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Перемещаем по циклу груз величиной в 10 единиц, прибавляя эту величину к грузу в клетках со знаком «плюс» и отнимая ее от груза в клетках со знаком «минус» .В результате перемещения по циклу получим новый план:

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Целевая функция F= 510

Значение целевой функции изменилось на 10 единиц по сравнению с предыдущим этапом. Опорный план является вырожденным, так как число занятых клеток меньше, чем m+n-1=10.Сделаем его невырожденным, поместив базисные нули в клетки с координатами (i, j): (1,6)

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Полагая потенциал U1=0, определяем остальные потенциалы из соотношения Ui+Vj=Ci, j (i=1.m, j=1.n), просматривая все занятые клетки. Потенциалы Ui: U1=0V1=C1,1-U1= 2V5=C1,5-U1= 5V6=C1,6-U1= 0U2=C2,5-V5=-2U3=C3,5-V5=-2U4=C4,6-V6=0V2=C3,2-U3= 3V3=C3,3-U3= 3V4=C4,4-U4= 3Определяем значения оценок Si, j=Ci, j-(Ui+Vj) для всех свободных клеток: S1,2= 1 S1,3= 3 S1,4= 2 S2,1= 1 S2,2= 2 S2,3= 0 S2,4= 3 S2,6= 2 S3,1= 1 S3,4= 1 S3,6= 2 S4,1= 0 S4,2= 1 S4,3= 1 S4,5= 0 Так как все оценки Si, j>=0, то полученный план является оптимальным. Транспортная задача решена.

Поставщик Потребитель Запасы груза B1 B2 B3 B4 B5 B6 A1

50 A2

20 A3

75 A4

80 Потребность 40 50 15 75 40 5 Целевая функция F= 5105 единиц груза из хранилища A4 осталось нераспределенным.

Заключение

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была «повинна» математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Сложность экономических процессов и явлений. Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность — наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно (а иногда и невозможно) пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в 'отдельности. Одна из трудностей экономических исследований — в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложных систем. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т. д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Задачей экономической науки в обществе является не только познание (объяснение) объективных экономических законов, но и разработка методов преобразования экономики посредством сознательного управления ее развитием. Поэтому экономическая теория (включающая методологию планирования и управления) является, с одной стороны, отображением объективных свойств реальной экономической системы, а с другой стороны — орудием ее сознательного преобразования. Экономическое развитие целенаправленно, однако цели этого развития непрерывно конкретизируются и модифицируются под влиянием изменений объективных социально-экономических условий.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности (тезис о принципиальной невозможности моделирования объекта равносилен утверждению о его принципиальной непознаваемости). И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

В курсовой работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т. д.

Ермаков В., Общий курс высшей математики для экономистов, Москва, Инфра-М, 2000 г.

Введение

в теорию и методологию системы оптимального функционирования социалистической экономики. М.: Наука, 1983.

Кобринский H.Е., Майминас Е. З., Смирнов А. Д. Экономическая кибернетика. М.: Экономика, 1982

Гл. 1, 2.

Красс М.С., Чупрынов Б. П, Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, Дело, Москва 2001 г.

Кузнецов А.В., Сакович В. А., Холод Н. И., Высшая математика. Математическое программирование, Минск, Вышейшая школа, 2001 г.

Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979.

Немчинов B.C. Избранные произведения. Т. 3, М.: Наука, 1968.

Раяцкас Р.Л., Плакунов М. К. Количественный анализ в экономике. М.: Наука, 1987.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(2.

1.1)

(2.1)

(2.1')

(2.2)

(2.2')

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)