Система автоматического управления

Целью расчета является развитие навыков проектирования типовых систем автоматического управления (САУ), включающих в себя объект управления (ОУ), исполнительный орган (ИО), датчик обратной связи (ДОС), управляющее устройство (УУ), последовательное корректирующее устройство (ПКУ), обеспечивающих в результате выполнения этапа синтеза структуры и параметров корректирующих устройств заданные показатели точности систем в установившихся и переходных режимах.

Расчет и проектирование автоматических систем выполняется по структурной схеме, полностью определяющей связи между отдельными элементами, а также статические и динамические свойства неизменяемой части системы. Определению подлежат передаточные функции (ПФ) параллельной корректирующей обратной связи в управляющем устройстве и последовательного корректирующего устройства всей системы.

Основным методом синтеза свойств некорректированной системы и синтеза структуры и параметров корректирующих устройств является частотный метод с построением желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ). После определения передаточных функций корректирующих устройств составляются схемы на операционных усилителях, реализующие полученные ПФ.

Для определения статических и динамических показателей скорректированной системы при отработке заданных управляющих и возмущающих воздействий составляется векторно-матричное описание системы, по которому на компьютере рассчитываются графики переходных процессов, позволяющих определить все необходимые показатели.

Сравнение заданных и рассчитанных значений показателей позволяет сделать вывод о правильности принятых решений и выполненных расчетов. В случае отрицательного результата проектирование системы продолжается.

Исходными данными для расчета проектируемых систем являются:

1) характеристика сигнала управления и допустимая ошибка его отработки;

2) показатели переходного процесса при отработке ступенчатого управляющего воздействия () или величина показателя колебательности М;

3) статические (k) и динамические (Т) параметры объекта управления, датчика обратной связи, исполнительного органа, управляющего устройства.

Объект управления — система, в которой происходит подлежащий управлению процесс. Взаимодействие с ОУ происходит через входы (которые являются причинами появления процессов в ОУ) и выходы (которые являются процессами — следствиями) Управление — процесс на входе объекта управления, обеспечивающий такое протекание процесов на выходе объекта управления, которое обеспечивают достижение заданной цели управления.

Цель — желаемое поведение процессов на выходе объекта управлениия.

Объекты:

§ управляемые

§ неуправляемые Система автоматического управления (САУ) включает в себя объект управления и устройство управления.

Устройство управления — совокупность устройств, с помощью которых осуществляется управление входами объекта управления.

Регулирование — частный случай управления, цель которого заключается в поддержании на заданном уровне одного или нескольких выходов объекта управления.

Регулятор — преобразует ошибку регулирования е (t) в управляющее воздействие, поступающее на объект управления.

Задающее воздействие — определяет требуемый закон регулирования выходной величины.

Ошибка регулирования — разность между требуемым значением регулируемой величины и текущим её значением.

Возмущающее воздействие — процесс на входе объекта управления, являющийся помехой управлению.

Математической моделью динамической системы принято называть совокупность аналитических выражений и алгоритмов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т. е. ее движение. В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов — линейные и нелинейные, временные и частотные модели.

Задание для проектирования.

1) Синтезировать корректирующую обратную связь в управляющем устройстве системы управления.

2) Определение эквивалентных ПФ и ЛАЧХ исполнительного органа системы.

3) Построение желаемой ЛАЧХ и синтез последовательного корректирующего устройства.

4) Анализ и сравнение полученных расчетных данных.

Анализ исходных данных.

Нам дано управляющее устройство — усилитель, математическая модель которого состоит из двух апериодических звеньев первого порядка.

Апериодическое звено — инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:

устройство корректирующий автоматический управление

где - входная величина, - выходная величина, k — коэффициент передачи, T — постоянная времени. Передаточные функции звеньев первого порядка представлены ниже:

и ,

где — заданные параметры объекта управления.

Структурная схема, определяющая связи между отдельными элементами изображена на рисунке 1.

На структурной схеме изображены:

Звенья, параметры которых задаются уравнениями (к примеру, Wy₁=k_y1/(T_y1s+1) и т. д. — передаточные функции усилителя.). G (s) — входной сигнал, Y (s) — выходной. Wос — передаточная функция обратной связи, звено, корректирующее заданный сигнал.

Wку (s) — передаточная функция параллельной корректирующей связи.

Wпку (s) — последовательное корректирующее устройство всей системы.

Исходные данные, параметры k, T, представлены в таблице 1.

1. Синтез корректирующей обратной связи в управляющем устройстве системы управления.

В ТАУ можно выделить две характерные задачи:

1) в заданной САУ найти и оценить переходные процессы — это задача анализа САУ;

2) по заданным переходным процессам и основным показателям разработать САУ — это задача синтеза САУ.

Вторая задача сложнее в виду своей неоднозначности, многое определяется творческими способностями проектировщика. Поэтому обычно задачу синтеза САУ ставится ограниченно. Считается, что основная часть системы уже задана, что обычно имеет место. Требуется синтезировать корректирующие звенья, то есть выбрать их схему и параметры. При этом необходимо, чтобы в результате коррекции САУ обеспечивался требуемый запас устойчивости; точность управления в установившихся режимах и качество управления в динамических режимах.

Корректирующее устройство можно включить последовательно, параллельно-согласно или параллельно-встречно (по схеме с обратной связью). Последовательное корректирующее устройство с передаточной функцией W_пку включается обычно после предварительного усилителя. Наибольшими возможностями в плане коррекции свойств САУ обладает корректирующее устройство с передаточной функцией Wуу, включенное по схеме с отрицательной или положительной обратной связью, охватывающей один из звеньев САУ, как правило, исполнительный элемент или выходной каскад усилителя. Такие обратные связи называются местными. При этом передаточная функция эквивалентного звена:

В нашем случае мы будем использовать коррекцию в виде обратной связи. По заданию нам задана желаемая модель управляющего устройства в виде 1-ого апериодического звена 1-го порядка, передаточная функция которого:, где kyy и Tyy — даны по заданию.

Ниже представлен рисунок управляющего устройства, включающего в себя звенья с передаточными функциями Wy₁ и Wу₂.

Заменяя 2 звена одним, мы получаем следующее уравнение:

2. Определение эквивалентной ПФ исполнительного органа системы

Передаточной функцией (ПФ) системы автоматического регулирования или какого-либо другого устройства называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях. Выразим и найдем передаточную функцию исполнительного органа системы:

Звено и K_ос.

Проведем расчеты K_и, T_и:

K_и'=1/Kос=4/4=1

T_и'² = T_и/K_ос * K_и = 0.1/(1*4)=0.025

T_и'= v 0.025=0.15

2 сT_и = ¼=0.25

3. Построение желаемой ЛАЧХ

Прежде чем заниматься построением следует выбрать и разместить систему координат. Здесь нужно иметь в виду следующее:

по оси ординат разбивка идёт равномерно, в децибелах:

0 дБ, 10 дБ, 20 дБ и т. д. вверх и -10 дБ, -20 дБ,… — вниз.

по оси абсцисс разбивка идёт логарифмическая, но оцифровка в обычном виде…0,1 c, 1с, 10 с, 100 с и т. д.

начало оси координат рекомендуется поместить в точку, отстоящую на 3−4 декады влево от самой наименьшей сопрягающей частоты (которая соответствует максимальной постоянной времени в канонической записи передаточной функции разомкнутой системы).

при построении фазовой характеристики ось абсцисс остаётся той же самой: ось ординат из начала системы координат направляется вниз, разбивка её равномерная в градусах (отрицательных): 0 град, -90 град, -180 град и т. д.

Подставим в передаточную функцию p = jщ запишем её в виде:

Построение ЛАЧХ проводится следующим образом:

На частоте щ =1 c откладываем значение lg (W_u)=0.77 дБ и через эту точку проводим прямую с наклоном. Это соответствует звену 1/Tu, до частоты щ₁. Далее проводим прямую с наклоном -40 дБ/дек, соответствующую звену 1/Tоб до частоты щ₂. Затем прямая с наклоном -60 дБ/дек, соответствующая звену W_дос, и от W_yy прямая с наклоном -80 дБ/дек.

Все значения передаточных функций W высчитаны ниже:

Wдос=1 / Тдос=1/0.020=50; lgWдос = 1,7;

Wоб=1 / Тоб=1/0. 0,150=6,6; lgWоб = 0,8;

Wуу=1 / Туу=1/0.01=100; lgWуу = 2;

Wи'=1/Ти'=1/0.003=333; lgWи' = 2,5;

Kобщ= Kуу+Kи'+Kоб+Kдос= 7.5*1.25*.2*4=120

L=20lgKобщ=20*lg75=26

tp=32*10−2c Gmax=32% => Pmax=1.23, tp=4р/Wср

Wcр=4 р/tp=40.2

lgWcp=0,5

L=25 дб Если желаемая передаточная функция разомкнутой системы, неизменяемая и передаточная функция последовательного корректирующего звена, то справедливо следующее равенство:

откуда

.

Для ЛАЧХ:

.

Требования к точности системы разные, например:

1. Пусть даны «рабочие» частота и амплитуда, т. е. основные значения частоты и амплитуды задающего воздействия, наблюдающиеся при работе данной системы; задана также допустимая ошибка (амплитуда ошибки).

Для области низких частот, где >>1, можно записать выражение модуля частотной характеристики замкнутой системы для ошибки:

.

Ошибка на этой частоте при данной амплитуде определяется по формуле. Отсюда желаемое значение

.

В этом случае низкочастотный участок желаемой ЛАЧХ представляет собой линию с наклоном -20 дБ/дек, проходящую через контрольную точку с координатами:, .

2. Пусть даны .

Для использования частотных характеристик полагаем

тогда скорость и ускорение будут определяться следующими формулами:

; .

Следовательно,,. Отсюда вычисляются частота и амплитуда эквивалентного задающего воздействия, при котором получаются требуемые максимальные скорость и ускорение, а именно:

;

Как и в первом случае низко-частотную часть желаемой ЛАЧХ проводим в виде линии с наклоном -20 дБ/дек через точку с координатами

.

3. Пусть дано. Для астатической системы передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена следующим выражением:

где k — общий коэффициент усиления системы.

Для передаточной функции замкнутой системы по ошибке имеем:

Коэффициенты ошибок вычисляются по формулам

.

Установившаяся ошибка представляется в виде

Отсюда находим желаемое значение:

По этим данным, отражающим требования к точности системы, строим низкочастотную часть желаемой логарифмической амплитудно-частотной характеристики с наклоном -20 дБ/дек через точку = 1с¹ и L () = 20 lg (v_max/e_доп).

Необходимо также учитывать требования к качеству процесса. Пусть заданы допустимое перерегулирование _max и время затухания переходного процесса t_р.

По этому графику, отложив заданную величину _max (например, 34%), определяем значение t_р (как показано стрелками), например: t_р = 4.33/_с.

Но поскольку t_р нам задано, то можно вычислить частоту среза:

_с = 4.33/ t_р.

Наносим найденное значение _с на график искомой ЛАХ и проводим через точку _с прямую с наклоном -20 дБ/дек. Протяженность среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек определяется величинами L₁ и L₂. В данном методе принимается L₁ = L₂ = L, где L определяется из рисунка 5, так, как показано штриховыми линиями. Так, для рассматриваемого нами варианта:

t_p=32*10^-2c G_max=32% => P_max=1.3, t_p=4.1р/W_ср

W_cр=4.1 р/t_p=40.2

lgW_cp=1.6

L=12 дб Закончив построение среднечастотной части желаемой ЛАЧХ, из предыдущего расчета берем низкочастотную часть характеристики и сопрягаем ее со среднечастотной частью прямой с наклоном -40 дБ/дек. Высокочастотная часть заметной роли не играет. Так как высокочастотная часть соответствует несущественным частотам, то известный произвол в выборе высокочастотной части желаемой амплитудно-частотной характеристики не окажет на переходный процесс заметного влияния.

Синтез последовательного корректирующего устройства.

Задана передаточная функция разомкнутой цепи системы без коррекции W₀(j). Соответствующая ей частотная характеристика отличается от желаемой.

Введем последовательное корректирующее устройство с искомой передаточной функцией .

Согласно описанной ранее методике строим желаемую логарифмическую амплитудно-частотную характеристику. Пусть коэффициент усиления желаемой системы k_ж отличается от имеющегося k₀. Тогда нужно поднять характеристику W₀(j) так, чтобы на ней получился желаемый коэффициент усиления. Получаем новую характеристику:

.

Расстояние между W₀₁ и W₀ по вертикали и даст нам искомую величину 20 lgk_р, т. е. искомый коэффициент усиления корректирующего устройства

.

Теперь надо найти его передаточную функцию. Для этого совмещаем на одном графике логарифмические амплитудно-частотные характеристики для и W₀₁. Они различаются на участке от точки 1/T₁ до точки 1/T₄.

Поскольку

то можно записать (после подстановки s = j) следующее:

или

,

откуда

20 = 20 20 .

Следовательно, чтобы найти характеристику L_m() для, нужно вычесть характеристику L_m() для W₀₁ из. Результат вычитания показан штрихпунктирной линией на рисунке 10. Отсюда очевидна искомая передаточная функция последовательного корректирующего устройства:

.

T1=1/W1=1/40=0,025

T2=1/W2=0,15

T3=1/W3=0.02

T4=1/W4=0.003

Теперь снова смоделируем систему, но уже добавим корректирующее звено:

Анализируем характеристики:

Полученная характеристика с помощью корректирующего звена имеет вид синусоиды, и, как можно отметить, является корректной и устойчивой.

Выводы

В результате выполнения работы мы синтезировали корректирующее устройство. Переходный процесс сходится. Следовательно, можно говорить не только об устойчивости системы, но и о соответствии ее заданным требованиям качества. В настоящей работе был осуществлен синтез динамической системы управления с заданными показателями качества на основании исходной структуры.