Статика твердого тела
Вектор направлен от В к А. Известны только линии действия этих векторов: — по вертикали, вдоль направляющих ползуна; — перпендикулярно АВ. Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям. Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного равенства на оси координат. Знак в ответе показывает, истинное ли направление вектора было выбрано. Определение сил в стержнях способом сечений… Читать ещё >
Статика твердого тела (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тульский государственный университет Кафедра «Теоретическая механика»
Расчетно-графическая работа по дисциплине «Теоретическая механика»
Вариант 22
Выполнил студент гр. 120 651
Пивоваров А. В Проверил Усманов М. А Тула 2006 г.
Содержание СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА С1. Определение реакций опор твердого тела С2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы С3. Определение реакций опор составной конструкции С5. Равновесие сил с учетом сцепления (трения покоя) С8. Определение положения центра тяжести тела КИНЕМАТИКА К1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения К2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях К3. Кинематический анализ плоского механизма
- Статика твердого тела
С1. Определение реакций опор твердого тела Задание:
На схеме показаны три способа закрепления бруса, ось которого — ломаная линия. Задаваемая нагрузка и размеры во всех случаях одинаковы. Определить реакции опор для того способа закрепления бруса, при котором реакция YA имеет наименьший модуль.
Схема:
Дано:
Решение:
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями Xa, Ya, Ma. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей Q:
а) б)
в) Чтобы выяснить, в каком случае модуль в заделке является наименьшим, используем сумму моментов сил относительно точки B для всех трех схем.
Для схемы а:
Подставим числовые значения:
Для схемы б:
Подставим числовые значения:
Для схемы в:
Таким образом, наименьший момент в заделке получается при закреплении бруса по схеме в. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:
Ответ:
Реакция YA имеет наименьший модуль в третьем способе закрепления бруса.
С2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы Задание:
Определить реакции опор фермы от заданной нагрузки, а также силы во всех ее стержнях способом вырезания узлов.
Дополнительно определить силы в трех стержнях фермы от той же нагрузки способом Риттера.
Схема:
Дано:
Решение:
Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы и реакции опор, А и В.
Т.к. линия действия реакции опоры, А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям и .
Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:
По закону сохранения импульса:
Спроецируем силы на ось OX:
Спроецируем силы на ось OY:
Определение сил в стержнях фермы способом вырезания узлов.
Стержни, сходящиеся в узле фермы, являются для узловых соединений — связями. Заменим действие связей на узлы реакциями.
Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения получится отрицательная реакция, это будет означать, что соответствующий стержень сжат.
Для каждого узла составляются 2 уравнения равновесия:
и .
1) Рассмотрим узел А:
2) Рассмотрим узел B:
3) Рассмотрим узел E:
4) Рассмотрим узел L:
5) Рассмотрим узел С:
6) Рассмотрим узел D:
7) Рассмотрим узел F:
Ответ:
Результаты вычислений представлены в виде таблицы:
Номер стержня | ||||||||||||||
Знак силы | ; | ; | ; | ; | ; | ; | ; | |||||||
Сила, кН | 2.83 | 2.83 | 4.5 | 6.5 | 2.5 | 6.86 | 4.5 | 6.36 | 4.5 | |||||
Определение сил в стержнях способом сечений (способом Риттера). Требуется определить силы в стержнях 4, 5 и 10. По способу Риттера каждая сила должна выражаться из отдельного уравнения и не должна выражаться через силы в других стержнях. Для определения сил мысленно разрезаем ферму I-I.
По-прежнему условно предполагается, что все стержни растянуты. Т.о. если в ответе появится минус — это свидетельствует, что данный стержень сжат.
1) За точкой Риттера примем точку С. Пересекающиеся в ней силы исключаются из уравнения.
Составим уравнение моментов сил относительно точки С:
2) Точкой Риттера для стержней 2 и 6 является узел, где пересекаются линии действия сил S6 и S10, исключаемых из уравнения.
Составим уравнение моментов сил относительно точки D:
Ответ:
Найденные методом Риттера значения сил:
С3. Определение реакций опор составной конструкции Задание:
Конструкция состоит из двух частей. Установить, при каком способе соединения частей конструкции модуль реакции наименьший, и для этого варианта соединения определить реакции опор, а также соединения С.
Схема:
Дано:
Решение:
Для упрощения вычислений момента силы разложим её на вертикальную и горизонтальную составляющие:
Равномерно распределённую нагрузку q заменяем равнодействующей:
Действие связей на конструкции заменим их реакциями Определение реакций опоры, А при шарнирном соединении в точке С.
Рассмотрим систему уравновешенных сил, приложенных ко всей конструкции.
Составим уравнение моментов сил относительно точки B.
Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции расположенной левее С.
Выразим XA из 2 уравнения и подставим в 1.
Определение реакций опоры, А при соединении частей конструкции в точке С скользящей заделкой.
Системы сил соответствуют уравнению 1
Рассмотрим левую, относительно точки С, часть схемы.
При соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры, А меньше, чем при шарнирном соединении. Рассчитаем остальные реакции для соединения с помощью скользящей заделки.
Рассмотрим левую часть схемы, относительно точки С.
Рассмотрим правую часть схемы, относительно точки С.:
Ответ:
При соединении в точке С скользящей заделкой модуль реакции опоры, А меньше, чем при шарнирном соединении. Реакции для этого соединения:
С5. Равновесие сил с учетом сцепления (трения покоя) Задание:
Определить максимальное значение силы P и реакции опор системы в точках A, B, C и D, находящиеся в покое. Учесть сцепление в двух опорных точках тела весом G.
Схема:
опора твердое тело движение Дано:
Решение:
Рассмотрим сначала систему уравновешенных сил, приложенных к телу весом G. К телу приложена сила, нормальные составляющие реакции и, а также касательные составляющие силы сцепления и (силы трения покоя).
Составим три уравнения равновесия указанных сил:
В случае предельного равновесия. В этом случае силы сцепления (силы трения покоя) принимают экстремальные значения, а система уравнений дополняется неравенствами.
Решая систему всех этих уравнений, получаем:
Совокупность сил и, и образуют соответственно опорные реакции в точках D и Е.
Рассмотрим теперь равновесие сил и приложенных ко всей системе.
Решая эти уравнения, получим:
Ответ:
Искомые реакции и силы приведены в таблице.
RA, Н | RB, кН | NC, Н | FсцС, Н | ND, кН | FсцD, Н | Pmax, Н | |
1.57 | 1.61 | ||||||
С8. Определение положения центра тяжести тела Задание:
Найти координаты центра тяжести объёма.
Схема:
Решение:
Координаты центра тяжести плоской фигуры определяем по формулам:
Здесь F — объём фигуры.
Чтобы воспользоваться формулами, делим объём на части, для которых известны или легко определяются объёмы Fi и координаты центров тяжести xi, yi и zi.
Все расчетные данные заносим в таблицу:
Номер элемента: | Fi, см2 | xi, см | yi, см | zi, см | см3 | см3 | см3 | |
12.5 | 7.5 | |||||||
— 294.524 | 7.5 | — 16 198.82 | — 3828,81 | — 2208,93 | ||||
13.33 | 3.33 | 26 666.67 | ||||||
31 705.476 | 1 210 467,85 | 381 171,19 | 229 451,07 | |||||
Ответ:
Искомые координаты центра всего объёма:
Кинематика К1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения Задание:
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t1 найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Дано:
Дополнительное задание:
Решение:
Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений:
Вектор скорости точки:
Вектор ускорения точки:
Здесь — орты осей x и y. Ux, Uy, ax, ay — проекции скорости и ускорения точки на оси координат. Найдем их дифференцируя по времени уравнения движения:
Найдем значения координат в точке М, подставив в заданные уравнения t1:
Проекцию скорости на OY найдем, подставив t в уравнение:
По найденным проекциям определяется модуль скорости точки:
Теперь определим по проекциям модуль ускорения:
Модуль касательного ускорения точки:
Модуль нормального ускорения точки:
После того как найдено нормальное ускорение, радиус кривизны окружности определяется из выражения:
Дополнительное задание. Движение по пространственной траектории.
Для расчета к двум уравнения движения добавляется еще и третье.
Найдем третью координату точки М:
Определим из третьего уравнения скорость и ускорение.
Найдем модуль скорости из проекций:
Т.к. проекция ускорения равна нулю, следовательно, третья координата не повлияет на значения ускорений точки.
Ответ:
Координаты, см | Скорость, см/с | Ускорение, см/с2 | Радиус кривизны, см | ||||||||
x | y | Ux | Uy | U | ax | ay | a | a? | an | ||
— 2.563 | 1.25 | 3.5 | 6.1 | 8.033 | 11.475 | 3.243 | |||||
При добавлении третьей координаты: z=0.25, Uz=1, U=6.2. Все остальные значения остаются неизменными.
К2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях Задание:
Движение груза описывается уравнением:
где t — время, с1, с2, с0 — некоторые постоянные.
В начальный момент времени (t=0) положение груза определяется координатой x0, и имеет скорость U0. Учесть, что в момент времени t=t2 координата груза равна x2.
Определить коэффициенты c0, c1, c2, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t=t1 скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.
Схема:
Дано:
Решение:
Уравнение движения груза 1 имеет вид:
Коэффициенты c0, c1, c2 могут быть определены из следующих условий:
1) При t0=0:
2) При t2=2 c и x2=103 см:
Таким образом, уравнение движения груза 1 имеет следующий вид:
Тогда уравнение скорости:
Ускорение найдем, взяв производную по уравнению скорости:
Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие скорость груза U и угловые скорости w2 и w3.
В соответствии со схемой механизма:
Выразим из двух уравнений угловую скорость 2. Затем приравняем правые части и из получившегося уравнения можно будет найти угловую скорость 3:
Подставив сюда уравнение скорости, получим уравнение угловой скорости 3:
Угловое ускорение — первая производная по угловой скорости:
Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам:
Ответ: результаты вычислений для заданного момента времени приведены в таблице:
U, см/с | a, см/с2 | w3, рад/с | ?3, рад/с2 | Uм, см/с | амц, см/с2 | амц, см/с2 | ам, см/с2 | |
2.743 | 2.4 | 263.342 | 276.414 | |||||
К3. Кинематический анализ плоского механизма Задание:
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат.
Схема:
Дано:
Решение:
Определение скоростей точек и угловой скорости звена.
Вычисляем модуль скорости пальца, А кривошипа ОА при заданном положении механизма:
Теперь начертим схему, где PAB — мгновенный центр скоростей АВ шатуна:
Угловая скорость звена АВ:
Модули скоростей точек В и С:
Из полученного чертежа получим:
Вычислим угловую скорость звена АВ:
Теперь вычислим скорости точек В и С:
Определение ускорений точек и углового ускорения звена:
Ускорение точки, А складывается из вращательного и центростремительного ускорений.
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры.
По формулам найдем ускорения звена АВ и точки А:
Вектор направлен от, А к О. Вектор направлен перпендикулярно к нему и направлен в сторону UA (Вращение кривошипа — ускоренное).
Вектор направлен от В к А. Известны только линии действия этих векторов: — по вертикали, вдоль направляющих ползуна; - перпендикулярно АВ. Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям. Эти ускорения определим из уравнений проекций векторного равенства на оси координат. Знак в ответе показывает, истинное ли направление вектора было выбрано.
Выбрав направление осей x и y получаем:
1) Проекция на ось OX:
2) Проекция на ось OY:
Теперь найдем угловое ускорение АВ:
Направление ускорения относительно полюса, А определяет направление углового ускорения? АВ. Здесь под направлением углового ускорения подразумевается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения.
Определяем ускорение точки С:
Найдем проекции ускорения С:
Ответ:
Результаты вычислений для заданного положения механизма приведены в таблице:
?B, см/с | ?C, см/с | ас, см/с2 | ав, см/с2 | ?АВ, рад/с2 | wAB, рад/с | |
103.393 | 362.424 | 1152.62 | 24.3 | 3.333 | ||