2. Исчисление высказываний. Правила вывода
Исчисление высказываний — это аксиоматическая логическая система, интерпретацией которой является алгебра высказываний.
Описание всякого исчисления включает в себя описание символов этого исчисления (алфавита), формул, являющихся конечными конфигурациями символов, и определение выводимых формул.
Алфавит исчисления высказываний состоит из символов трех категорий:
1. Символы первой категории: Эти символы будем называть переменными высказываниями.
2. Символы второй категории: они носят общее название логических связок. Первый из них — знак дизъюнкции или логического сложения, второй — знак конъюнкции или логического умножения, третий — знак импликации или логического следования и четвертый — знак отрицания.
3. Третью категорию составляет пара символов (), называемая скобками.
Других символов исчисление высказываний не имеет.
Формулы исчисления высказываний представляют собой последовательности символов алфавита исчисления высказываний. Для обозначения формул будем пользоваться большими буквами латинского алфавита. Эти буквы не являются символами исчисления. Они представляют собой только условные обозначения формул.
Определение формулы исчисления высказываний.
1. Всякая переменная является формулой.
2. Если, А и Вформулы, то слова — тоже формулы.
3. Никакая другая строчка символов не является формулой.
Переменные высказывания будем называть элементарными формулами.
Приведем примеры формул исчисления высказываний.
Переменные высказывания являются формулами согласно п. 1 определения формулы. Но тогда слова являются формулами согласно п. 2 определения. По этой же причине будут формулами слова:
Правила вывода
1 Правило подстановки (ПП).
Если формула, А выводима (доказуема) в исчислении высказываний, хпеременная, Впроизвольная формула исчисления высказываний, то формула, полученная в результате замены в формуле, А переменной х всюду, где она входит, формулой В, является также выводимой (доказуемой) формулой (ситуация та же, что имела место в алгебре логики, которая является интерпретацией исчисления высказываний).
2 Правило заключения (ПЗ).
Если формулы, А и А→В выводимы (доказуемы) в исчислении высказываний, то формула В также выводима (доказуема).
Правомерность этого правила очевидна: если импликация и посылка истинны, то заключение в импликации может быть только истинным (см. таблицу истинности операции «импликация»).
