Космическая геодезия

Контрольная работа по «Космической геодезии»

Задача № 1

Вычисление геоцентрических экваториальных координат ИСЗ по данным его топоцентрических координат

В некоторый момент времени UTC с пункта земной поверхности Р, геодезические координаты (B, L, H) которого заданы относительно референцэллипсоида Красовского с параметрами a и l, определены истинные экваториальные топоцентрические координаты ИСЗ и топоцентрическая дальность до ИСЗ. Предполагается, что при определении истинных топоцентрических координат ИСЗ учтены редукционные поправки (прецессия, нутация) за переход от системы координат стандартной эпохи (эпохи каталога J2000.0) к истинной системе координат на эпоху наблюдения (момент наблюдения UTC — всемирное координированное время).

Предполагается, что синхронным методом решена задача по определению ориентировки (углов Эйлера, ш, и, щ) референцной (геодезической) системы относительно геодезической, а орбитальным методом определены координаты центра референц-эллипсоида Красовского относительно центра масс Земли.

Необходимо вычислить геоцентрические экваториальные координаты ИСЗ и геоцентрическую дальность до ИСЗ.

Исходные данные

Координаты пункта наблюдения Р:

— геодезическая широта

— геодезическая долгота

— геодезическая высота

Параметры референц-эллипсоида Красовского

— большая полуось

— эксцентриситет

Координаты центра референц-эллипсоида Красовского относительно центра масс Земли:

Углы Эйлера:

— прецессии

— нутации

— чистого вращения

Координаты мгновенного полюса:

Истинные экваториальные топоцентрические координаты ИСЗ и топоцентрическая дальность на эпоху наблюдения:

— дальность

— прямое восхождение

— склонение

— момент наблюдения

Поправка за переход от UTC к UT1₁

Гринвичское звездное время в полночь на дату наблюдения:

Решение

1. Вычисляем геодезические прямоугольные координаты () пункта Р в системе референц-эллипсоида Красовского.

Начало этой системы лежит в центре референц-эллипсоида (рис. 1.1) ось совпадает с осью вращения эллипсоида, ось направлена в точку пересечения геодезического меридиана Гринвича с плоскостью экватора эллипсоида, ось лежит в плоскости экватора и положительна к востоку.

Рисунок 1.1

Прямоугольные геодезические координаты пункта Р вычисляются по формулам:

Где N — длина внутренней нормали к поверхности эллипсоида, вычисляется по формуле:

a — большая полуось референц-эллипсоида Красовского.

2. Вычисляем прямоугольные координаты пункта Р в гринвичской системе координат.

Начало гринвичской системы координат О_G совпадает с центром масс Земли (рис. 1.2).

Ось направлена в средний северный полис Земли эпохи 1900;1905гг. (Международное условное начало МУН), ось направлена в точку пересечения геоцентрического меридиана Гринвича с плоскостью экватора эпохи 1900;1905 гг. Ось лежит в плоскости экватора и дополняет систему до правой.

Из рисунка 1.2 видно, что начало геодезической и гринвичской систем не совпадают, а их оси развернуты на небольшие углы (углы Эйлера, ш, и, щ).

Таким образом, чтобы перейти от прямоугольных геодезических координат пункта Р с началом О_Г в центре референц-эллипсоида к прямоугольным гринвичским координатам с началом в О_G в центре масс Земли, необходимо осуществить перенос и разворот осей геодезической системы координат относительно гринвичской системы.

Рисунок 1.2

Учитывая, что углы Эйлера, ш, и, щ малы, порядка нескольких секунд, переход от прямоугольных геодезических координат пункта Р к гринвичским координатам осуществляется на основании следующего выражения в координатной форме:

Выразим углы Эйлера в радианах:

3. Вычисление гринвичских координат пункта Р в инерционной системе координат.

Осуществляем переход от гринвичских координат инерциальным координатам пункта.

Для этого, на первом этапе, вычисляем гринвичские координаты пункта относительно полюса по формулам, записываемым в координатной форме:

Переведем углы в радианы На втором этапе, учитывая истинное гринвичское звездное время, осуществляем переход к инерциальным геоцентрическим прямоугольным координатам пункта по формулам:

Где S — истинное гринвичское звездное время, соответствующее моменту наблюдения UT1:

4. Находим истинные прямоугольные топоцентрические координаты ИСЗ на момент наблюдения UT1.

Начало топоцентрической системы координат совпадает с пунктом наблюдения Р, а соответствующие оси параллельны осям экваториальной геоцентрической (инерционной) системы координат.

Напомним, что начало экваториальной системы совпадает с центром масс Земли, ось Х направлена в точку истинного весеннего равноденствия на эпоху наблюдения, ось Z направлена по мгновенной оси вращения, ось Y пополняет систему до правой.

Истинные топоцентрические прямоугольные координаты ИСЗ вычислим по формулам:

5. Находим геоцентрические инерциальные координаты ИСЗ:

Формулы для вычисления экваториальных координат и дальности:

Задача 2

Вычисление элементов невозмущенной орбиты ИСЗ

Предполагается, что для двух моментов UT1, из обработки фотографических наблюдений ИСЗ получены топоцентрические направления на спутник, а при помощи лазерного дальномера измерены расстояния до ИСЗ.

После вычисления геоцентрических координат ИСЗ (см. задание 1) приступаем к определению предварительной орбиты.

Такая орбита и положение движущегося по ней ИСЗ определяется шестью элементами. Два из них — большая полуось орбиты а и эксцентриситет е определяют размеры и форму орбиты, три элемента определяют ориентацию плоскости орбиты относительно осей инерциальной системы координат, шестой элемент совместно с моментом времени определяет положение ИСЗ до орбиты.

На рис. 2.1 изображена плоскость эллиптической орбиты ИСЗ.

Точка П является перицентром орбиты и максимально приближена к центру масс Земли, точка А является апоцентром орбиты и максимально удалена от центра масс Земли. Линия, соединяющая апоцентр и перицентр орбиты, называется линией апсид.

Рисунок 2.1

Уравнение эллипса в полярных координатах (уравнение орбиты) имеет вид:

Где r — радиус-вектор ИСЗ; V — истинная аномалия — угол между направлением на перицентр орбиты и направлением на ИСЗ; Р — фокальный параметр; а — большая полуось орбиты; е — эксцентриситет орбиты.

Если вокруг орбитального эллипса описать окружность радиусом равным большой полуоси а и восстановить в точке С перпендикуляр к линии апсид и продолжить его до пересечения с окружностью, получим точку С'. Соединим С' с геометрическим центром О орбитального эллипса. Угол между направлением на точку П и направлением на точку С' из геометрического центра О называется эксцентрической аномалией Е, причем:

.

Шестым элементом, чаще всего, является время прохождения ИСЗ через перицентр.

Ориентация плоскости орбиты в инерциальном пространстве определяется при помощи двух углов и (рис. 2.2).

Наклонение — угол между плоскостью экватора и плоскостью орбиты ИСЗ.

Долгота восходящего узла — угол между положительным направлением оси Х и направлением в точку .

Аргумент перицентра — угол между направлением на точку восходящего узла и на перицентр П — задает ориентацию орбиты в плоскости орбиты.

Аргумент широты U— угол между направлением на и на ИСЗ.

Таким образом, нам необходимо определить шесть элементов предварительной орбиты а, е,, , i, .

Рисунок 2.2

Исходные данные

Геоцентрическая гравитационная постоянная:

Геоцентрические координаты и UT1₁ берутся из задания 1

На второй момент вычисляются по формулам:

Решение:

Формулы для вычисления предварительной орбиты можно получить из решения прямоугольных сферических треугольников (рис 2.3), используя формулы сферической тригонометрии.

Рисунок 2.3

1. Из решения прямоугольных сферических треугольников? С₁С₁' и? С₂С₂' получим формулы для вычисления долготы восходящего узла, наклонения i, и аргумента широты U:

2. По упрощенной формуле Гаусса находим фокальный параметр:

3. Вычисление а, е, среднего движения п.

Из уравнения орбиты получим формулу для вычисления истинной аномалии:

После чего вычисляем эксцентриситет, аргумент перицентра, большую полуось орбиты и среднее движение:

4. Вычисление момента прохождения через перицентр.

Исходные данные подобраны так, что в задании будет иметь место эллиптическое движение (е<1).

А) Вычисляем эксцентрическую аномалию Е по формуле:

Б) Из уравнения Кеплера находим момент прохождения ИСЗ через перицентр:

Задание 3

Определение полярного сжатия Земли по вековым возмущениям оскулирующих элементов орбиты ИСЗ

геоцентрический координата спутник орбита Необходимо по вековым возмущениям первого порядка в долготе восходящего узла, аргумента перицентра и начальном значении средней аномалии, полученным из наблюдений, найти полярное сжатие Земли .

Вековые возмущения в элементах орбиты ИСЗ от второй зональной гармоники, характеризующей полярное сжатие Земли, имеют вид:

Где фокальный параметр , — коэффициент второй зональной гармоники, — средний экваториальный радиус Земли, е — эксцентриситет орбиты, i — наклонение орбиты, N — число оборотов ИСЗ.

В формулах параметр связан с полярным сжатием (с точностью до квадрата сжатия) формулой:

— угловая скорость Земли, — геоцентрическая гравитационная постоянная.

Исходные данные:

Оскулирующие элементы некоторого ИСЗ:

Средний экваториальный радиус Земли

Угловая скорость Земли

Геоцентрическая гравитационная постоянная

Осредненные элементы орбиты:

— большая полуось

— наклонение

— эксцентриситет .

Решение:

1. Вычисляем период обращения Т ИСЗ по формуле:

2. Вычисляем разность в долях периода, где :

3. Находим все разности:

Данные выражения — суть вековые возмущения за промежутки времени, найденные в п. 2 в долях оборота.

4. Произведем следующие вычисления:

5. Окончательное значение находим, как среднее из трех значений: