1.
Введение
.
Одной из важнейших задач математики является исследование и решение систем уравнений первой степени. Как само существование решений системы, так и возможные числовые значения элементов решения полностью определяются матрицами. В реферате я рассмотрел некоторые общие вопросы, касающиеся матриц:
определители квадратных матриц второго, третьего и высших порядков;
минор матрицы;
ранг матрицы;
операции над матрицами;
собственные числа;
функциональное пространство.
2. Основные понятия.
Система линейных уравнений а11×1 + а12×2 + а13×3 +…+ а1nхn = у1
а21×1 + а22×2 + а23×3 +…+ а2nхn = у2
…
аm1х1 + аm2х2 + аm3х3 +…+ аmnхn = уm
будет некоторое множество связей между переменными х1, х2,…, хn и у1, у2,…, уm. Эти связи, или линейное преобразование переменных х в переменные у, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентов aij. Если это множество коэффициентов обозначить через A и записать в виде
то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.
Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы — векторами-строками. Матрица, содержащая m строк и n столбцов, называется (mxn) матрицей. Квадратная матрица (m = n), является матрица n-го порядка.
Основные типы матриц.
• Матрица типа (mx1) называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца и m строк.
.
• Матрица типа (1xn), содержащая одну строку элементов, называется матрицей строкой.
.
• Диагональной матрицей называется квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.
.
• Единичной матрицей называется диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.
.
• Транспонирование матрицы, А — операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (Ат).
• Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.
Простейшие операции над матрицами.
• Сложение матриц.
Если матрицы, А и В одного порядка (mxn), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется как cij = aij + bij,; .
Свойства: А + В = В + А (коммутативность);
А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).
• Вычитание матриц.
Разность матриц одного порядка (mxn) равна матрице D = А — В, элементы которой определяются как: dij = aij — bij,; .
• Матрицы, А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.
• Произведение матриц.
Произведение матриц, А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [Сik] = [ aijbjk]. В общем случае: С = АВ = [ aikbjk].
Если число столбцов матрицы, А равно числу строк матрицы В, то матрицы, А и В согласованы по форме, а если матрицы, А и В равны (А = В), т. е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.
• Умножение матриц на скалярную величину.
При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скаляр R. Произвольный элемент произведения RA равен Raij.
• Умножение транспонированных матриц.
ВтАт = (АВ)т.
В общем случае: Ст = (АВ)т = ВтАт.
