Математическое моделирование это изучение объектов с первой математической модели.
Математическая модель является отображением изучаемого процесса с помощью формул, алгоритмов, графиков, символов, функций, матриц и т. д. Эти формулы преобразуются с принятых правил математики и логики.
В современных экономических исследованиях среди различных форм моделирования преобладает математическое моделирование. С развитием компьютерной математики и технологий появляются новые математические методы и технологии, позволяющие строить математические модели более адекватно и эффективно.
Математическое программирование («планирование») это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Методы математического программирования используются в экономических, организационных, военных и др. системах для решения так называемых распределительных задач. Распределительные задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности.
Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования.
1. Задачи линейного программирования
Процесс построения математических моделей начинается с определения искомых неизвестных величин, с помощью которых можно охарактеризовать поведение изучаемого объекта. В качестве неизвестного могут выступать отдельные числовые переменные, векторы, матрицы, формулы.
1. Основные этапы математического моделирования в экономике
Процесс моделирования имеет несколько этапов [1].
1. Содержательная постановка задачи формулируются вопросы, на которые надо получить ответы. Делаются всевозможные гипотезы, выявляются факторы, определяющие поведение объекта, устанавливаются взаимосвязи. Правильно поставленные задачи и цели облегчают построение моделей и являются существенным шагом на пути исследования изучаемого процесса.
2. Построение математической модели формулирование задачи.
3. Математический анализ и численные расчёты модели требуют привлечение специалистов, математиков, программистов. Сначала делается попытка выявить аналитическим способом свойства изучаемого объекта. Если это удаётся, то такие свойства могут быть распространены на все другие модели, схожими с изучаемым объектом. Если аналитический анализ не даёт желательных результатов ввиду сложности модели, то производится их численный расчёт с помощью вычислительной техники. Численные результаты имеют частичный характер, т. е. применим только к исследуемому объекту. В результате анализа и расчёта делаются выводы для лиц, принимающих решения.
2. Постановка задачи линейного программирования
Характерные черты задач ЛП следующие [6]:
1) показатель оптимальности L (X) представляет собой линейную функцию от элементов решения ;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств.
Общая форма записи модели задачи ЛП
Целевая функция (ЦФ)…
При описании реальной ситуации с помощью линейной модели следует проверять наличие у модели таких свойств, как пропорциональность и аддитивность. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в ЦФ и общий объем потребления соответствующих ресурсов должен быть прямо пропорционален величине этой переменной. Аддитивность означает, что ЦФ и ограничения должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной фирмой, влияет на объем реализации другого.
Допустимое решение это совокупность чисел (план)…, удовлетворяющих ограничениям задачи (1.1).
Оптимальное решение это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Прежде чем построить математическую модель задачи, т. е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:
1) Что является искомыми величинами задачи?
2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т. д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?
3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаеой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т. д.
Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т. е. к записи математической модели.
1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде .
2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например,. Математическая формула ЦФ отражает способ расчета значений параметра критерия эффективности задачи.
3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т. е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.
В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.
3.Графическое решение задачи линейного программирования
Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач ЛП с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи [6].
Каждое из неравенств задачи ЛП (1.1) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис. 2.1), а система неравенств в целом пересечение соотвествующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, т. е. обладающую следующим свойством: если две точки, А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучем, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.1) ОДР является пустым множеством.
ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию. Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня.
Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальня ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см. рис. 2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровняпроизвольно выбрав значение L.
