Динамические смешанные задачи для слоистых пьезоэлектриков

В настоящее время интерес к механике связанных полей постоянно возрастает, что обусловлено, прежде всего, расширением сферы применения эффекта взаимодействия между полями самой различной природы. В частности, на протяжении многих лет особое внимание уделяется пьезоэлектрическому эффекту. Это связано с широким применением технических устройств, работа которых основана на взаимодействии механических и электрических полей в пьезоактивных материалах.

Наряду со ставшими уже традиционными областями науки и техники, в которых активно используется пьезоэффект (излучатели и приемники звука в гидроакустике, пьезотрансформаторы, устройства для ультразвуковых томографов, различные измерительные устройства [59, 78]), необходимо отметить относительно новые области. Так, например, в конструкциях микроволновых двигателей в последнее время часто применяются керамические пьезоприводы [61], началось довольно широкое исследование задач по моделированию конструкций с использованием пьезоэлектрических и пьезокерамических устройств с целью погашения нежелательных колебаний [94, 126]. Эти задачи особенно актуальны, например, при проектировании зеркал с управляющими пьезоэлементами [41]. Также задачи об управлении находят свое применение в авиации для подавления колебаний авиационной панели, гашении колебаний конструкций газотурбинных двигателей на критических скоростях [55, 58].

История развития теории и практики пьезоэлектрических устройств тесно связана с именами У. Мэзона [25, 78, 107], У. Кэди [76], JI. Бергмана [120], Г. Тирстена [134], Н. Н. Андреева [3], В. М. Шарапова [112] и многих других [25, 26,47, 56, 57, 75, 93, 123,129, 132].

Большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов [28], а в качестве пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства обладают повышенной чувствительностью и температурной стабильностью, высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Именно поэтому задачам электроупругости посвящены исследования многих ученых [15, 20, 27, 47, 48, 53, 60, 77, 95, 100, 104, 108, 111−115, 120, 122, 126, 127, 133, 135−137]. В частности, в работах В. А. Бабешко, О. А. Ватульяна, И. И. Воровича, А. В. Белоконя, В. В. Калинчука, А. В. Наседкина, О. Д. Пряхиной, А. Н. Соловьева, А. В. Смирновой [11, 12, 35, 36, 44, 46, 62, 79, 91, 92] дана строгая математическая постановка задач, сформулированы вариационные принципы, обоснованы приближенные методы решения. Систематически теория электроупругости изложена в монографиях Э. Дьелесана, Д. Руайе [57], М. К. Балакирева, И. А. Гилинского [16], Д. И. Бардзокаса, А. И. Зобнина, Н. А. Сеника, M.JI. Филыитинского [17−19], В. Т. Гринченко, А. Ф. Улитко, Н. А. Шульги [52], В. З. Партона, В. А. Кудрявцева [80]. Менее подробно изучены задачи о колебаниях электроупругих слоистых сред с дефектами [13, 14, 42−45, 49, 96, 97, 116], немного работ посвящено исследованию термоэлектроупругой среды [22, 31, 32, 37−39, 72, 73, 81, 82, 86, 109, 110, 119, 128, 130−132, 138].

Большую практическую важность имеет развитие прикладных теорий деформирования пьезоэлементов. Особенность таких теорий по сравнению с их аналогами для упругих элементов заключается в том, что гипотезы для механических переменных дополняются адекватными предположениями для электрического поля. Последние формулируются в зависимости от вида поляризации пьезоэлементов и условий подвода к ним электрической энергии (наличие либо отсутствие электродных покрытий) [98]. Чаще других применяются гипотезы, которые лежат в основе кирхгофовской прикладной теории деформирования пьезоэлементов. В результате применения данной теории задачи деформирования пьезоэлементов сводятся к интегрированию систем дифференциальных уравнений, аналогичных обычной теории упругости.

Но, к сожалению, простейшие модели, построенные при помощи данной теории, не всегда «улавливают» сложный характер распределения механических и электрических полей вблизи разрыва граничных условий, например, при использовании конструкции с внутренним электродом. Поэтому многие ученые посвятили свои работы построению уточненных теорий деформирования пьезоэлементов. Так, например, в [94] с помощью асимптотического метода, за счет усложнения гипотезы распределения механических смещений и введения дополнительных гипотез о распределении электрического потенциала, дано уточнение данной теории.

Как уже отмечалось выше, задачи теории электроупругости, в том числе динамические контактные задачи со смешанными граничными условиями, являются усложнением задач теории упругости. Благодаря этому здесь в полной мере возможно использование разнообразных методов и приемов исследования распространения упругих волн в сплошных средах. Огромный вклад в развитие таких методов внесли В. М. Александров, Б. А. Абрамян, Ю. А. Амензаде, В. А. Бабешко, А. В. Белоконь, А. О. Ватульян, ИМ. Ворович, Е.В. и Н. В. Глушковы, В. В. Калинчук, JI.A. Молотков, Г. И. Петрашень, Г .Я. Попов, В. Б. Поручиков, О. Д. Пряхина, М. Г. Селезнев, А. В. Смирнова, Ю. А. Устинов и целый ряд других исследователей [30, 50, 83]. Этой теме посвящены монографии и публикации [1, 2, 4 — 11, 52, 60 — 62, 90, 91, 99, 106, 125]. Интегральные уравнения и их системы, возникающие в подобных задачах, подробно изучались в [5, 7, 33, 34, 40, 46, 61, 85, 89]. Воздействие трещин и полостей на упругое тело рассматривалось в работах [4, 10, 50, 91, 118], колебания упругих сред с неоднородностями типа жестких включений исследовались в [84, 87, 88]. Ряд ученых проводили изыскания в области задач, где из-за находящегося в теле включения на стыке с ним образуются трещины [121, 124].

В механике деформируемого твердого тела традиционно наиболее интересными и в то же время трудными для моделирования и решения являются задачи со смешанными граничными условиями, которые отражают условия контакта деформируемой, в большинстве случаев слоистой, среды с абсолютно жестким телом (штампом, включением) и условия на математическом разрезе в сплошной среде (моделирование трещин). Постановка такого типа смешанных задач для электроупругих сред базируется на классической формулировке смешанных граничных условий для переменных механического поля, дополненных смешанными граничными условиями для электрических составляющих [34, 40, 46, 105]. Также к задачам со смешенными граничными условиями относятся задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические слоистые тела, содержащие внутренние электроды или включения [42, 43, 45, 96, 97]. Тогда на границе электродированной и неэлектродированной частей основные электрические характеристики терпят разрыв.

Трудность в решении такого рода задач теории электроупругости связана с тем, что наличие разрывных граничных условий для связанных систем дифференциальных уравнений движения и электрических уравнений Максвелла, рассматриваемых в квазистатическом приближении, приводит к необходимости исследования систем интегральных уравнений, ядра которых наряду с особенностями обладают сильной осцилляцией [1, 7, 12, 34, 40, 46].

Существует несколько основных методов, которые удобно использовать при решении получаемых систем интегральных уравнений. Например, метод интегральных уравнений второго рода [7], метод ортогональных полиномов [99], метод собственных функций [60], метод граничных элементов [34, 40] и другие.

По способу реализации все методы условно делятся на численные и численно-аналитические. Наиболее эффективными при низких и высоких частотах являются методы факторизации [8 — 10] и фиктивного поглощения, выбранный для решения полученных интегральных уравнений в настоящей диссертации. Основы данного метола были заложены В. А. Бабешко в работе [7], в дальнейшем он был развит в [5, 46, 61].

Метод фиктивного поглощения был выбран для решения полученных в диссертации интегральных уравнений, так как он, в отличие от вышеперечисленных методов, является наиболее эффективным при решении не только плоских и антиплоских, но и пространственных задач для широкого спектра частот. Главная идея метода состоит в выделении осциллирующей составляющей решения с тем, чтобы в качестве неизвестной оставалась только неосциллирующая функция. Такой подход подобен решению задач в средах с сильным затуханием колебаний, например, в вязкоупругих средах с неизменяющимися во времени свойствами, что и обусловило название метода. После этого получается типичное интегральное уравнение для среды с поглощением, решение которого с высокой степенью точности можно относительно легко получить, используя один из известных методов, например факторизации. Далее с помощью обратных формул строится решение исходной задачи.

Одним из основных достоинств метода фиктивного поглощения является возможность использовать при решении задач теории электроупругости полученные ранее решения соответствующих статических задач и динамических задач теории упругости. При этом такое использование в методе оказывается естественным и не возникает необходимости дополнительного решения какой-либо статической задачи. Другим достоинством данного метода является сохранение верного описания поведения решения как внутри области контакта, так и в окрестности ее границ, включая угловые точки, которые являются концентраторами напряжений.

Другой трудностью, возникающей при решении задач теории электроупругости, является построение матриц-символов Грина, описывающих ядра систем интегральных уравнений. Этот аспект детально рассматривался, в том числе, в публикациях [11, 12, 46, 84, 88, 89]. В данном случае также можно пользоваться и численными, и аналитическими методами. В последние несколько лет наиболее интенсивно развиваются исследования, в которых применяются прямые численные методы. Наиболее эффективным из них является метод граничных интегральных уравнений и основанный на нем при численной реализации метод граничных элементов [33, 34, 40]. Но применение данных методов должно контролироваться аналитическими методами, обладающими повышенной точностью. Другой причиной, обуславливающей необходимость применения аналитических методов вместо прямых численных, является то, что в фундаментальных решениях систем дифференциальных уравнений зачастую присутствуют быстрорастущие экспоненциальные составляющие, которые в свою очередь приводят к неустойчивости численных процедур решения краевой задачи и плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, которые возникают при удовлетворении граничных условий.

В данной диссертационной работе были построены матрично-функциональные соотношения, которые позволяют моделировать различные сочетания электродов, включений в слоистых средах, учитывая связь между механическими и электрическими полями. В работе предложен аналитический метод построения блочных матриц-символов Грина для электроупругих многослойных сред при наличии разрывных механических и электрических граничных условий в плоскостях раздела слоев. Данный метод основан на специальном представлении решения для одного электроупругого слоя и применим для произвольного количества слоев и расположения электродов (поверхностных, внутренних). Главным достоинством предложенного метода является построение простых алгоритмов численного анализа, которые возможно применять для широкого диапазона изменения параметров задачи. Предложенный метод отличается от других подходов тем, что не требует численного решения линейных алгебраических систем большого порядка. При этом решение задачи для однородной среды, которая содержит плоские параллельно-ориентированные внутренние электроды рассматривается как частный случай, если принять равенство физико-механических параметров слоев.

Целью исследования настоящей диссертационной работы является изучение и построение математических моделей колебаний многослойных полуограниченных электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов.

Научная новизна заключается в том, что в работе построены решения электромеханических задач для слоистых электроупругих сред с системами поверхностных и внутренних электродовполучены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики, и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих внутренние электроды. Для задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды при наличии на стыке слоев внутреннего электрода построено решение интегрального уравнения методом фиктивного поглощенияполучено аналитическое представление элементов блочных матриц-символов Грина для электроупругих сред в виде отношения целых функцийпостроено решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхностиисследованы дисперсионные свойства элементов матрицы-символа Гринапроведен численный анализ решения интегрального уравнения динамической задачи о сдвиговых колебаниях пьезоактивной среды, содержащей внутренний электрод.

Актуальность темы

диссертационной работы определяется все более широким применением пьезоактивных элементов различных типов, в частности имеющих слоистую структуру, в технических устройствах. В связи с этим, все более актуальными становятся вопросы разработки и совершенствования эффективных моделей и методов определения электрических и механических полей, которые возникают в пьезоактивной среде.

Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях современной науки и техники. Например в таких, как авиастроение, медицина, измерительное приборостроение, геофизика, акустоэлектроника и многих других. Разработанные модели и методы исследования могут быть использованы при проектировании различных пьезоэлектрических преобразователей, при создании материалов с заранее заданными свойствами.

Работа выполнялась при поддержке РФФИ (проект № 08−08−144), РФФИ и Администрации Краснодарского края (проект № 09−01−96 501), гранта Президента РФ (НШ-2298.2008.1), что также указывает на ее актуальность и практическую значимость.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью используемых методов решения, адекватностью построенных математических моделей, сравнением с простыми примерами, >¦ допускающими аналитическое представление, сравнением результатов с различными предельными случаями.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 141 страницу, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 41 страницу приложений. Список использованной литературы включает 138 наименований.

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию динамических смешанных задач о колебаниях электроупругих слоистых сред, содержащих поверхностные и внутренние электроды. Полученные в работе результаты заключаются в следующем:

1. Проведено математическое моделирование динамических процессов в составных пьезоэлектриках с системами поверхностных и внутренних электродов с учетом связности электрических и механических полей.

2. Предложен эффективный аналитический метод исследования динамических смешанных задач электроупругости для полуограниченных слоистых сред с разрывными граничными условиями на стыках слоев, основанный на специальном представлении решения для одного слоя.

3. Получены новые матрично-функциональные соотношения, связывающие основные механические и электрические характеристики рассматриваемых задач и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих внешние и внутренние электроды.

4. Методом фиктивного поглощения построено решение электромеханической задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды в случае непроводящей поверхности и при наличии на стыке слоев внутреннего электрода.

5. Получены аналитические представления элементов матрицы-символа Грина в виде отношения целых функций, необходимые для эффективного исследования пьезоактивных волновых полей в слоистых пьезоэлектриках.

6. Разработаны программные средства для нахождения нулей и полюсов элементов матриц-символов Грина, для исследования особенностей построенных решений антиплоской динамической задачи для слоистых электроупругих сред с электродными структурами, для визуального представления результатов вычислений в MS Excel.

7. Исследованы дисперсионные свойства элементов блочной матрицы-символа Грина антиплоской динамической задачи для двухслойной пьезоэлектрической среды класса бтт гексагональной сингонии с внешним электродным покрытием и электродированной плоскостью раздела слоев.

8. На основе построенных решений изучены основные закономерности поведения скачка электрической индукции на внутреннем электроде для различных пьезоматериалов в зависимости от глубины расположения электрода, его размеров, толщины пьезоэлектрика и частоты колебаний.