Динамика качения колес в рамках моделей систем с бесконечным числом степеней свободы

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых задач динамики качения автомобильных и железнодорожных колес методами аналитической механики систем с бесконечным числом степеней свободы. Рассматриваются стационарные режимы движения.

Актуальность темы

.

В современной технике можно найти множество примеров систем с подвижным контактным сопряжением, например, при качении колеса, причем контакт может происходить как в точке, та, к и в определенной области.

Прежде всего речь идет о железнодорожном и автомобильном: транспорте, где необходимо повышение эффективности, достижение все более высоких скоростей, обеспечение надежности, снижение производимого шума.

Моделирование системы железнодорожное колесо-рельс позволяет установить зависимость сопротивления движению, обусловленного диссипативными силами, от скорости движения и параметров материала колеса, рельса и балласта (основания), а полученные при этом собственные частоты позволяют судить о характере шумов.

Модель колеса с пневматиком представляет интерес с точки зрения поведения колеса при различных режимах движения. Соотношения между силами, моментами и деформациями пневматика могут быть использованы при построении более сложной модели, описывающей динамику транспортного средства в целом.

Цель работы.

— Построение некоторых моделей в рамках систем с бесконечным числом степеней свободы, описывающих поведение железнодорожных и автомобильных колес.

— Исследование стационарного режима в задаче о качении железнодорожного колеса, нахождение формы деформированного рельса и колеса, определение сопротивления движению.

— Определение соотношений между силами и моментами в различных стационарных режимах качения автомобильного колеса: прямолинейное движение, движение с уводом и движение на вираже.

Метод исследования.

— Уравнения движения и условия на скачки в точке контакта железнодорожного колеса с рельсом получены из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для систем с бесконечным числом степеней свободы. Формы деформированного рельса и колеса найдены для стационарного режима движения с постоянной скоростью. Сопротивление движению найдено путем вычисления функционала диссипации энергии.

— На основе анализа конструкции шины предлагаются две модели колеса с пневма-тиком, заполненным совершенным газом. Контакт шины с дорогой предполагается без проскальзывания по заранее неизвестному участку бандажа.

— Уравнения движения и условия на скачки на границах зоны контакта получаются из принципа Гамильтона-Остроградского. Полученные уравнения движения анализируются для различных стационарных режимов.

— Проведены численные расчеты в случае качения одного или двух железнодорожных колес по деформируемому рельсу, найдены формы рельса в стационарном режиме, сопротивление качению, обусловленное диссипацией энергии в материале рельса и основания.

Состояние вопроса.

Проблемам качения пневматических колес автомобиля и самолета был посвящен ряд исследований, основывающихся на различных подходах к выбору моделей и набора параметров, характеризующих взаимодействие колеса с опорной поверхностью (дорогой).

Получил также распространение феноменологический подход, при котором соотношения, характеризующие зависимости сил и моментов, действующих на колесо от параметров движения носят эмпирический характер, а связь между константами теории и практическими данными устанавливается опытным путем.

В работе Рокара [14] рассматривалось явление увода (бокового псевдоскольжения, обусловленного наличием у колеса деформируемой периферии) и предлагалась линейная зависимость угла увода от поперечной силы Ру. В большинстве работ, основанных на этом подходе ставится целью определение компонент сил реакции и моментов действующих на колесо при контакте с опорной поверхностью как функций от параметров движения, в частности от продольного и поперечного скольжения (псевдоскольжения). В работах Грейдануса, было предложено развитие модели Ро-кара, в которой в качестве параметров, характеризующих деформацию пневматика, выбираются отклонение «средней» точки линии контакта от своего равновесного положения и угол поворота касательной к грузовой линии в «точке контакта». Эти параметры определяют силы и моменты взаимодействия шины с дорогой и участвуют в формулировке неголономных связей.

В известной модели М. В. Келдыша, описанной им в работе, но изучению явления шимми [5] деформация пневматика характеризуется расстоянием? от линии пересечения диаметральной плоскости смещенного обода колеса с опорной плоскостью до центра площадки контакта, углом ф от этой линии до средней линии площадки контакта, угол х наклона плоскости диска колеса по отношению к вертикали и смещения h в плоскости колеса. Реакция опорной плоскости на пневматик сводится к нормальной реакции Fz, поперечной реакции Fy, моментам Мх, Mz. Условия движения при. качении без проскальзывания описываются с помощью кинематических связей.

Все вышеперечисленные модели имели конечное число параметров и неголоном-ные связи. На основе этих моделей и их модификаций был получен ряд результатов в динамике колесных экипажей и даны рекомендации по выбору их характеристик [39]. Особое значение в автомобильной индустрии придается отношению угла увода к ускорению в боковом направлении (cornering compliance).

Проскальзывание пневматика в зоне контакта учитывалось рядом авторов в моделях с контактными элементами, «щетками» И. В. Новожилов [12], Т. Fuji ока, К. Goda [51], Mastinu, G., Fainello M., Paira, na E. [37, 38]. Распределение нагрузок в области контакта определяет разбиение последней на «область скольжения» и «область прилипания» .

В работах Pacejka, Bakker и др. [28, 29, 30] рассматриваются эмпирически найденные нелинейные зависимости реакций от параметров качения позволяющие получить приемлемые экспериментально подтверждаемые результаты при достаточно больших значениях параметров («Магическая формула»). Силы FXy Fy и момент Mz являются функциями параметров продольного и бокового скольжения, вертикальной нагрузки, углов развала и схождения. В работах Y.Q. Wang и др. [46] исследуется зависимость вертикальной реакции Fz от вертикального смешения z0 при различных режимах качения колеса. В работе М. А. Левина [52] включены в рассмотрение такие факторы как возможность существования по крайней мере двух областей проскальзывания, анизотропное трение, различие коэффициентов сухого трения и трения скольжения на малых скоростях, наличие вязко-упругих элементов в конструкции шины.

В работе [9] излагается подход к исследованию проблем качения деформируемого колеса, при котором задача теории качения состоит в нахождении шести компонент обобщенной реакции связи, распределенных сил и моментов в области контакта с учетом деформационных и фрикционных свойств периферии колеса и опорной поверхности как функций фазовых переменных диска колеса. Деформации шины колеса задаются функциями от угла ф и предполагаются существенными лишь вблизи области контакта. Периферия колеса не наделена массой и представляется в виде набора тонких деформируемых дисков разных радиусов. Модель с бесконечным числом степеней свободы для пневматического колеса также предлагается в работе [33], где учитывается масса элементов периферии, состоящей из бандажа (упругий ремень) и боковых стенок.

В целом ряде работ приводится подход, при котором деформированная поверхность оболочки пневматика моделируется методом конечных элементов [34, 36]. При этом подходе для каждого малого фрагмента поверхности записываются условия равновесия и общая система уравнений решается численными методами. В [35] приведен подробный обзор работ основанных на методе конечных элементов.

Однако, ни в одной из вышеперечисленных работ не ставится задача точного определения расположения и размеров зоны контакта в различных режимах качения колеса.

Одна из известных моделей железнодорожного рельса, — балка на вязко-упругом основании (С.П. Тимошенко, А. П. Филиппов [17] и др.) под действием движущейся нагрузки. В многих работах рассматривается более детальное описание железнодорожного пути как состоящего из различных слоев, обладающих различными упругими и вязко-упругими свойствами. В работах А. И. Весницкого, C.B. Крысова, С. Р. Шохина, А. И. Потапова [20, 21, 22, 23, 24] применяется подход, основанный на применении вариационного принципа в задачах с неизвестными подвижными границами возможных разрывов производных искомой функции.

Рассматривались как модели с неперерывным основанием, так и модели с учетом дискретного характера опоры. Для моделирования рельса и основания в этих работах используется метод конечных элементов [43].

Для описания взаимодействия рельса с колесом, моделируемым твердым телом, используется контактная задача Герца. Целый ряд работ [53, 55] посвящен выработке более точных контактных моделей с учетом асимметрии контактной площадки. Нелинейная теория контакта с проскальзыванием описана Калькером в [26] и реализована в известных программах CONTACT и FASTSIM.

В последние годы полнилось значительное количество работ, посвященных динамике железнодорожных вагонов, описываемых значительным, но конечным числом степеней свободы [42].

Научная новизна.

— Предложен ряд новых моделей деформируемых колес, описывающих их движение как систем с бесконечным числом степеней свободы и позволяющих более полно описать процессы взаимодействия колес с твердым или деформируемым основанием.

— Найдены условия существования стационарных режимов обобщающие предложенные ранее законы взаимодействия колес с основанием, в которых использовалось конечное число параметров и неголономные связи.

— Определены силы и моменты сопротивления качению в стационарных режимах с использованием различных моделей диссипативных сил в материале колес и деформируемого основания, что позволяет определить величину «трения качения» .

— Для предложенных задач методами аналитической механики получены полные системы интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных, описывающих поведение системы и позволяющих определить заранее неизвестные границы зоны контакта, деформированную форму колеса как внутри так и вне зоны контакта, распределение реакций в зоне контакта.

Практическая ценность.

Результаты работы вскрывают механизм взаимодействия деформируемых колес с основанием, позволяют оценить потребные силы и моменты для реализации различных стационарных режимов и могут быть использованы как при создании новых конструкций колес, так и при динамических расчетах в задачах о движении железнодорожных вагонов и колесных экипажей.

Апробация работы.

1.Доклад на III Международном симпозиуме по классической и небесной механике.(в Великих Луках.

2.Доклады на кафедрах теоретической механики и прикладной механики механико-математического факультета МГУ, на семинарах под руководством проф. Вильке В. Г., Самсонова В. А. и на семинаре под рук. ттроф. Д. Шевалье, М. Паскаль в университете Пьера и Марии Кюри и Национальной Школы Дорог и Мостов (Париж, Франция).

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в [1,2, 3].

Содержание работы.

В первой главе на основе прямого вычисления диссипативного функционала в задаче о качении деформируемого колеса по деформируемому рельсу найдены силы сопротивления пропорциональные нулевой и первой степени параметра х, определяющего диссипацию энергии в материалах рельса и колеса. Оказалось, что члены, пропорциональные нулевой степени совпадают с найденным ранее [4].

Во второй главе исследована задача качения пары колес по деформируемому рельсу, найдена формы рельса с учетом взаимного влияния колес, диссипация энергии. Приведены результаты численного расчета, формы рельса для одного и двух колес при различных значениях параметров задачи.

В третьей главе исследуется модель колеса с пневматической шиной, представленной в виде деформируемого тора и нерастяжимого бандажа. Предполагается, что колесо катится по плоскости без проскальзывания при условии, что плоскость диска колеса остается ортогональной плоскости качения. Найдены уравнения движения, условия на скачки функций, описывающих деформацию бандажа в концевых точках зоны контакта. Исследованы два стационарных режима (качение с уводом и качение на вираже), для которых определены все характеристики движения и условия существования режимов.

В четвертой главе предлагается модель колеса с пневматиком, когда бандаж рассматривается как гибкая криволинейная балка (в главе III он представлен гибкой нерастяжимой нитью). Качение колеса происходит в вертикальной плоскости. Здесь также найдены уравнения движения и условия на скачки функций в граничных точках зоны контакта и исследован стационарный режим — качение колеса с постоянной скоростью.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (55 названий) и содержит страниц, из которых занимают иллюстрации.

Заключение

В настоящей работе предложен ряд новых моделей деформируемых колес, описывающих их движение как систем с бесконечным числом степеней свободы и позволяющих более полно описать процессы взаимодействия колес с твердым или деформируемым основанием.

Найдены условия существования стационарных режимов обобщающие предложенные ранее законы взаимодействия колес с основанием, в которых использовалось конечное число параметров и неголономные связи.

Определены силы и моменты сопротивления качению в стационарных режимах с использованием различных моделей диссипативных сил в материале колес и деформируемого основания, что позволяет определить величину «трения качения» .

Для предложенных задач методами аналитической механики были получены полные системы интегро-дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных, описывающих поведение системы и позволяющих определить заранее неизвестные границы зоны контакта, деформированную форму колеса как внутри так и вне зоны контакта, распределение реакций в зоне контакта.