Динамика неодномерных нелинейных волн в диспергирующих средах

В последние три десятилетия в различных областях физики активно развивается новое направление — исследование нелинейных явлений и процессов, при этом переход от линейности к нелинейности есть вполне закономерный этап в развитии любого раздела физики, обусловленный необходимостью учета все более тонких деталей наблюдаемых явлений.

В системах, описываемых волновыми уравнениями, нелинейность, т. е. зависимость поведения волнового пакета от его амплитуды, генерируя гармоники с большими волновыми числами, усиливает диссипацию волновых пакетов. Если при этом в системе имеется дисперсия, определяемая как зависимость групповой скорости от волнового числа, то она, перемешивая фазы, подавляет этот процесс. В результате при равных затратах энергии уровень колебаний в диспергирующей среде значительно выше, чем в недиспергирующей. При этом на некоторых ветвях колебаний между нелинейными и дисперсионными эффектами может устанавливаться равновесие и возникают нелинейные волны и солитоны [1−4]. Под солитонами обычно понимают локализованные в пространстве стационарные (локально), устойчивые во взаимодействиях образования [5]. Они представляют собой фундаментальные структуры нелинейных волновых процессов с дисперсией и играют важную роль в широком спектре областей, относящихся к физике сплошных сред.

Разнообразие процессов, которые необходимо принимать во внимание при теоретическом изучении явлений в физических средах с дисперсией, приводит к тому, что даже гидродинамические модели в достаточно полной формулировке описываются сложными системами нелинейных уравнений в частных производных. В этом плане решающее влияние на развитие теории нелинейных волн оказала идея Кортевега и де Вриза, суть которой состоит в возможности значительного упрощения исходных уравнений без потери основных особенностей описываемых ими явлений — путем сохранения нелинейных и дисперсионных членов с одинаковой степенью точности. При этом часто оказывается, что одни и те же уравнения описывают явления различной физической природы в самых разнообразных средах, где имеет место дисперсия.

Впервые такое упрощенное (модельное) уравнение для волн на «мелкой» воде, д (и + а идхи + Рдхи = 0, было получено Кортевегом и де Вризом в 1895 г. [6], однако сам термин «солитон» был введен лишь в 1965 г. американскими теоретиками Н. Забуски и М. Крускалом [1], которые показали, что уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ) обладает «скрытно линейными свойствами»: допускает решения в виде стационарных уединенных волнсолитонов. Позже оказалось, что уравнение КдВ описывает широкий класс одномерных нелинейных физических систем с «действительной» дисл л.

Персией, когда ю «с0кх (1 + 3 кх) (софазовая скорость колебаний при | кх | —у 0, 5 — «длина» дисперсии), и помимо гидродинамики встречается в физике плазмы, магнитогидродинамике (см., например, работы [2,3] и цитированную там литературу), теории решеток [7] и т. д., в этом смысле оно является универсальным. Если средам присущи вязкость и теплопроводность, то дисперсия является «мнимой» [о «с ()кх (1 — ыкх / с0)] и подход, предложенный Кортевегом и де Вризом, приводит к уравнению Бюргерса.

— л.

8] д{и + а идхи = удхи = 0, решения которого хорошо описывают такие нестационарные процессы, как, например, образование ударных волн.

В физике плазмы, аэрои гидродинамике несомненный интерес представляет волновая динамика неодномерных систем с нелинейностью гидродинамического типа, в которых могут существовать устойчивые стационарные структуры в виде неодномерных солитонов. Системы такого вида описываются классом уравнений д^ + а идхи + рдхи = Ш, (В.1) где и = функция, определяющая волновое поле- 9? = «¡-К [и] - некоторый линейный функционал и. Вид правой части уравнения (В.1) определяется волновыми свойствами среды и знаком дисперсии. Например, звуковые волны в плазме со слабой дисперсией, когда волновые числа гармоник, образующих пакет, малы и удовлетворяют неравенствам.

8"1, к"к, (В.2) а соотношение дисперсии в линейном приближении имеет вид ъ*с0кх[ + к112к2х+Ь2к1), (В.З) описываются уравнением вида (В.1) с = кУ^, дхч? — V: а, (д{у+с0 дхг — с0 5 2а> + гудху) = ±-(Со / 2) д±У. (в.4).

Уравнение вида (В.4) было впервые получено в 1970 г. в работе [9] как л двумерное обобщение уравнения КдВ (А±- = ду) и названо по имени авторов уравнением Кадомцева-Петвиашвили (КП), позднее оно было обобще.

2 2 но на трехмерный случай (А±- = ду +д2). Для ионного звука, например,.

1 /О «*) О когда V имеет смысл ионной скорости, Со=с5=(Тв/М), 8 =Те/8%е п0 (Ммасса иона, щ — невозмущенная электронная плотность), в правой части уравнения (В.4) стоит знак плюс (в ряде случаев для других мод дисперсия может быть положительной), такой тип волн в основном характерен для изотропных сред, но он иногда встречается и в анизотропных средах. Так, если характеристические частоты ионно-звукового волнового пакета много больше ионной циклотронной частоты о т, то анизотропией можно пренебречь [3], если же со «шЯг, то такое пренебрежение становится недопустимым. При этом в правой части исходного уравнения движения (см. главу 1) появляется дополнительный член соЯг[ г (/ - орт оси х), а знак второго члена в дисперсионном уравнении (В.З) меняется на минус. В этом случае тоже будем иметь уравнение класса (В.1), но с Л = к Д±дхи, известное как уравнение Захарова — Кузнецова [10].

В замагниченной плазме с >>&-жпТ в области частот со"соя/ возбуждаются быстрые магнитозвуковые (БМЗ) волны, для которых, с учетом с{) = уа = Я0(4%пМ) ½, закон дисперсии также сводится к соотношению (В.З) и уравнение для безразмерной амплитуды поля Н = / Н0 -магнитное поле волны) также может быть записано в форме уравнения (В.4), которое после перехода в систему координат, движущуюся вдоль оси х с альфвеновской скоростью уа, примет вид [3,11] х д^г + уа бш0 НдхИуа 8 2дхк = А±Л сЬс, (В.5).

00 где 0 — угол между магнитным полем Н0 и кх, а 2.

62= «.

2ю0г. 2л ^ соге —.

V М).

В.6) здесь т — масса электрона.

Для гравитационно-капиллярных волн на мелкой воде также будет справедливо уравнение вида (В.1) с = -(с0 / 2) У1и'- а = Зс0/2Я;

Р = - с05, где с0 = ^Н) (Н — глубина жидкости):

За Л.

НА.

В.7) а — коэффициент поверхностного натяженияр — плотность жидкости. Обобщая уравнения (В.4), (В.5), с учетом перехода в (В.4) в систему координат, движущуюся вдоль оси х со скоростью Со, запишем уравнение КП в стандартной форме: дх (д{и + аидхи + $дх3г^ - кА±и, (В.8) при этом знак отношения Р / к будет определять вид дисперсии. Как видим, уравнение КП (В.8) обладает той же степенью универсальности, что и уравнение КдВ, т. е. справедливо для тех физических систем, в которых закон дисперсии в линейном приближении определяется соотношением (В.З).

Трудность аналитического решения таких задач состоит в необходимости выбора эффективной последовательности приемов при построении приближенных решений нелинейных систем, асимптотических по малому параметру. Применение метода теории возмущений сильно затруднено в неодномерном случае, так как при этом вследствие нелинейных резонан-сов, неустойчивостей, накапливающихся эффектов увеличиваются возможности возникновения сингулярностей в системе [12], что проявляется уже и в одномерных системах. Открытие Гарднером, Грином, Крускалом и Миу-рой в 1967 г. метода обратной задачи рассеяния (ОЗР) для уравнения КдВ [13] и последующее развитие этих идей (здесь особо отметим ставшую уже классической статью В. Е. Захарова и Л. Д. Фаддеева [14], а также работы [4,15−17], в которых рассматриваются неодномерные обобщения метода ОЗР) привело к бурному развитию теории нелинейных волн. В частности, л была доказана полная интегрируемость уравнения КП (В.8) при А±- = ду [18,19], с помощью «метода одевания» [4,19,20] построено для р/к > 0 его точное двумерное солитонное решение (впервые найденное В. И. Петвиашвили численно в работе [21]), которое при, а = -6, р = -1, к = -3 имеет вид u (t, x, 2.

Впт = Ьпт (х — КУп- + (1 — ъпт)-, (В.9).

V ' V — V уп ш.

Ък+1=Ъ1*> п, т = 1,., 2К- 1 = 1,., К уп, определяют амплитуды, фазы, векторы скорости и другие параметры солитонов), и найдены инварианты [4].

3] = Дм скс1у, 32 = Р = Ци2с?)сс1у,.

З3 =Ж= \}±$(дхи)2+км>2-иъ (Лхйу, дхм> = дуи (В. 10) связан с дивергентностью уравнения КП- 32 является следствием его трансляционной инвариантности и играет роль импульса Р, гамильтониан Ж имеет смысл энергии).

Значительный прогресс был достигнут и для ряда других точно интегрируемых моделей. В контексте рассматриваемой в диссертации проблематики наибольший интерес среди них представляет нелинейное нестационарное уравнение Шредингера с производной нелинейного членауравнение ЬБЖ¹ [22, 23] idth + ?у5х (| h |2/jj + kd2xh = 0, (В. 11) которое описывает в области частот © «эволюцию нелинейных альфвеновских волн конечной амплитуды, распространяющихся в замаг.

1 В работе [23], где это уравнение изучалось в одномерном приближении, оно было названо «derivative nonlinear Schrodinger equation» — уравнение DNLS, этим обозначением, как уже устоявшимся в мировой литературе, с указанием пространственной размерности задачи мы и будем пользоваться в дальнейшем. ниченнои плазме вдоль силовых линии магнитного поля с отношением кил нетического давления к магнитному р = 4шТ / В. Здесь безразмерная функция к (х, ?) = {Ву + гВ2) / 2В011 — р [ описывает волну правой круговой поляризации, когда А, = 1, Во определяется из соотношения В0=В0х,.

5 = (1 — р). Замена к' = -як* при смене знака дисперсии на обратный (X = -1) позволяет перейти к левополяризованной волне. Отметим, что уравнение (В. 11) получено из полной системы уравнений одножидкостной магнитной гидродинамики путем перехода в них к безразмерным переменным? -«/ 2, х -» л: / гА, г±- —> г±л/2 / гА, гА =уа /в системе координат, перемещающейся в положительном направлении оси х с альфве-новской скоростью с учетом дх = ду = 0.

Уравнение 1 является полностью интегрируемым, имеет бесконечную последовательность законов сохранения и может быть решено аналитически методом ОЗР [24]. В работе [23] эволюция альфвеновских волн в модели (В. 11) изучалась в терминах знака первого интеграла движения уравнения 1−0№Д Ж/ 2, где гамильтониан.

Г00 |, 14.

Ж = Нг| к IИ’кдх (р (к, ф = а^(/г).

При этом было установлено, что эволюция волны может приводить либо к ее рассеянию, либо к формированию одномерного альфвеновского солито-на, что определяется знаком Ж. С физической точки зрения это означает, что могут иметь место два типа нелинейной волновой динамики [23]: мо-дуляционно устойчивый случай, когда Ж > 0 и начальный импульс, теряя свою структуру, расплываетсяи модуляционно неустойчивый случай (Ж< 0), когда эволюция модуляционной неустойчивости заканчивается формированием одномерного солитона [22] h = (A / 2)½ [exp {-Ax) + i exp (Ax)]exp (~iA2t)cosh-2(2Ax), (B.12) где A — амплитуда.

Уравнение (В. 11), аналогично уравнению КдВ, может быть обобщено на неодномерный случай. Так, в работах [25−27] было получено трехмерное обобщение уравнения DNLS в виде системы связанных уравнений д dth* +dx{^h2h±}±id2xh± = + /г), (В.13) где к+ = кх ± Шу ив случае отрицательной дисперсии численно получены его решения в виде одномерных солитонов, численное исследование двумерных решений не проводилось. Точные же двумерные солитонные решения системы (В.13) могут быть, в принципе, получены методом ОЗР, аналогично случаю уравнения КП, для этого необходимо строить соответствующие Ь-А — пары Лакса [4].

Успехи теоретического изучения нелинейных физических систем, имеющих солитонные решения, стимулировали экспериментальные исследования в области физики нелинейных волн (отметим лабораторные и космические эксперименты по изучению возбуждения, эволюции и динамики взаимодействия ионно-звуковых и альфвеновских солитонов, а также структуры ударных волн в плазме [28−39]), моделирование динамики солитонов в электрических линиях [40,41], эксперименты с поверхностными и внутренними волнами во вращающихся сосудах и гидролотках [42,43] и т. д. Это, в свою очередь, поставило новые вопросы и выявило актуальность теоретического изучения таких проблем, как устойчивость неодномерных солитонов, динамика их взаимодействия, нелинейные резонансы и образование связанных состояний, учет эффектов, определяемых введением в уравнения класса (В.1) малых поправок, влияние диссипации на структуру и эволюцию неодномерных и нелинейных волн и солитонов, эффекты самовоздействия (коллапс, самофокусировка) и т. д. л.

В работах [9,44−46] для частных случаев уравнения (В.8) с А±- = ду, соответствующих конкретным значениям коэффициентов, а в работе [47] для произвольных а, |3 и к было показано, что при отрицательной дисперсии (р/к<0) одномерные солитоны устойчивы, а при положительной (Р/к >0) неустойчивы относительно раскачки бесконечно малых возмущений. При этом в работе [9] был исследован случай очень малых к с помощью метода Крылова-Боголюбовав работе [44] в правую часть уравнения добавлялся член дууххи и задача решалась методом варьирования действия с лагранжианом, проинтегрированным по х, и пробными функциями солитоноподобной формыв работе [45] был использован метод ОЗР, а в [46] - метод функционала Ляпунова. В работе [47] исследование проводилось численно. Было показано, что при Р / к < 0 возмущение легко переходит из солитона в среду и расплывается во все стороны, при Р / к > 0 оно не может выйти из солитона. В области локализации возмущения скорость перемещения солитона отлична от скорости невозмущенного солитона, последнее с учетом отсутствия расплывания приводит к нарастанию возмущения.

Для двумерных и трехмерных солитонов уравнения КП вопрос исследования устойчивости существенно нетривиален. Наиболее последовательно он был решен в работах [11,48], в которых методом анализа трансформационных свойств гамильтониана (В. 10) уравнения (В.8) было показано, что двумерный солитон устойчив относительно двумерных возмущений. Что касается проблемы его устойчивости относительно изгибов всего фронта (трехмерных возмущений), то анализ линеаризированного на фоне решения (В.9) уравнения (В.8) с п=1, 2- т=1, 2- / =1 методом теории возмущений [48] показывает, что в этом случае (сдвиг вдоль оси х) двумерный солитон неустойчив. Качественные причины неустойчивости здесь те же, что и в случае одномерного солитона [19,21]. Однако изучение малых трехмерных возмущений, соответствующих поперечному сдвигу, показывает, что в длинноволновом пределе двумерные солитоны уравнения КП (В.8) оказываются устойчивыми [48]. Следствием устойчивости двумерных соли-тонов уравнения КП относительно двумерных возмущений является то, что, как видно из выражения (В.9) при п, т= 1,., Л^- N=4, 6,. и из результатов численных экспериментов [49], они при взаимодействиях испытывают упругие столкновения, причем фазовые сдвиги солитонов после столкновения (хорошо известные в одномерных задачах [5]) тождественно равны нулю [4].

Характер эволюции трехмерных солитонов в модели (В.8), как было показано численно в работе [11] для БМЗ волн, определяется знаком отношения Р / к. В случае положительной дисперсии рост неустойчивости приводит к нелинейной деформации структуры фронта — выталкиванию поля из центра солитона и его росту на крыльях с образованием одного-двух коллапсирующих кавитонов [11,50,51]. При отрицательной дисперсии наблюдающаяся вначале подфокусировка волнового поля переходит затем в режим дефокусировки.

В работах [52−56] было численно изучено трехмерное обобщение уравнения (В. 11) — уравнение З-БМ^ вида д, к + Л |2й) — Ид2хИ = А ±-Нск, (В. 14) а в работах [39,57], на основе метода анализа деформаций гамильтониана на решениях, аналитически исследована проблема устойчивости его трехмерных решений. При этом было показано, что 3-мерные волны как с левой, так и с правой круговой поляризацией в некоторой области значений гамильтониана уравнения 3−1ЖЬ8 (В. 14) могут быть устойчивыми. Анализ результатов численных экспериментов позволил установить, что уравнение З-ОЫЬБ может иметь, наряду с коллапсирующими и затухающими со временем, 3-мерные решения в виде альфвеновских солитонов. Следует отметить, что уравнение (В. 14), в отличие от уравнения 1 -ОМ^ (В. 11), не является полностью интегрируемым [52] и, следовательно, не может быть решено аналитически методом ОЗР.

Как ясно из вышесказанного, применение для решения неодномерных задач рассматриваемых классов такого эффективного аналитического аппарата, как методы теории возмущений и ОЗР, весьма затруднено, а в ряде случаев (например, для уравнения 3-ОМ, 8) просто невозможно, так как требует введения ограничений на фиксирование классов начальных и граничных (в случае появления в задаче эффективно действующих границ) условий. В такой ситуации для получения информации о нелинейных процессах в широкой области изменения параметров необходимо использовать мощный аппарат методов вычислительной математики, развитый для решения задач физики плазмы, гидрои газодинамики (см., например, работы [58−62] и приведенную в них достаточно полную библиографию). В контексте изучаемых проблем отметим работы [21,47,51,63,64]. Использование численных подходов имеет смысл и при решении многих практически важных задач, когда громоздкие и весьма сложные аналитические методы применять нецелесообразно. Заметим, кстати, что впервые двумерные соли-тонные решения уравнения КП и трехмерные решения уравнения З-БМ^ были получены именно при численном счете [21,52], ряд обсуждавшихся нами результатов также был получен численно (см. соответствующие ссылки).

Относительно уравнения КП необходимо сделать одно весьма существенное замечание. В некоторых случаях коэффициент при третьей производной в уравнениях класса (В.1) может быть близким или даже равным нулю. Это характерно, например, для гравитационно-капиллярных волн.

1/9 на мелкой воде, когда Я -" (За / р g), для быстрых магнитозвуковых (БМЗ) волн при 9 -" arctan (M/zw)½ [см. формулы (В.6), (В.7)]. Такая ситуация, однако, не означает исчезновения дисперсии в среде: равновесие между нелинейными и дисперсионными членами в этом случае может быть восстановлено путем удержания следующего члена в разложении полного дисперсионного уравнения по к. Так, разложение в ряд Тейлора соотношения дисперсии для волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости со 2 = gktanh^k (H2 — Зст / pg)½| [3] в предельном случае мелкой воды (к 8 «1, 8 = (| р | / с0) У2) дает ю c0/cji + i (36-tf2)fc2 +|[я2(|я2 — а) — фа — н2)2 к'.

G = G/pg.

03−15).

Преобразование Фурье выражения (В. 15) позволяет найти для уравнения класса (В.1) дисперсионную поправку, пропорциональную пятой производной, появляющуюся в выражении для Щи: -у дх5и, где коэффициент определяется выражением [65].

Y =(с0/6) н2(±н2-ё)-Цза-н2)'.

В.16).

Для волн, распространяющихся в замагниченной плазме при Н1 >>&-тТ и Со=уа «с, со «со0/, закон дисперсии в линейном приближении имеет вид [3] 12 = vAk.

2y/l + к2с2/(о2е.

2 2.

1 + cos 9)2 + cos2 9.

-,½.

2 kZC Z +.

2 2 2 со g, — 1 + к с / <0.

2 Ое.

2 Л.

1-сов0)2 + к С.

СОБ2е.

О О2 1 + ?2с2/со02.

½.

В.17).

Ограничимся рассмотрением лишь магнитозвуковой ветви [знак плюс в выражении (В. 17)]. Разлагая уравнение (В. 17) с точностью до членов четвертого порядка по к включительно, получаем [66,67] со уАк.

1 + ^(сог2в-т/м) + ^г3(т/М 2со021 ;

8со01.

В. 18).

— со12е)2−4со!4е (1+со12е откуда, аналогично случаю гравитационно-капиллярных волн, используя преобразование Фурье, найдем [66,67].

8(0 о1 г.

— со^е -4со14е (1+со^е м) V.

В.19).

Как видно из соотношений (В. 15) и (В. 18), характер дисперсии в общем случае определяется соотношением параметров |3 и у и для больших и малых к может иногда иметь разный знак. Картина, таким образом, значительно усложняется по сравнению с той, что имеет место в моделях КдВ и КП.

Заметим, что разложение, аналогичное (В. 18), формально можно произвести и для альфвеновской ветви колебаний [знак минус в дисперсионном соотношении (В. 17)], однако это не будет физически оправданно, так как не отвечает реальной ситуации, поскольку коэффициент при дисперсионном члене в уравнениях (В.11), (В. 14) 1 кг — йу / со#гне будет стремиться к нулю ни при каких обстоятельствах. 5.

Часто пренебрежение диссипацией становится недопустимым и основные уравнения должны быть дополнены соответствующими членами. Например, если рассматривать ионные колебания плазмы, обратные времена которых значительно меньше электронной ленгмюровской частоты, т. е.

1 1/9 т «(4жп0е / т) (в этом случае при Те «1] затухание Ландау мало), с учетом диссипативных эффектов, связанных с процессом релаксации, то в дисперсионном уравнении появится мнимый членiv кх и соответственг) но в правой части уравнений вида (В.1) и (В. 14) — член Бюргерса [8] vdx и. Как показано в работе [3], о имеет смысл коэффициента релаксационного затухания «звука», где сх и Со — скорости соответственно высокои низкочастотного «звука» (последняя.

1 /О совпадает с cs= (Te/m)) — ф (t, т) — функция, определяющая релаксационный процесс. Если же, наоборот, для ионно-звуковых волн в плазме оказывается существенным затухание Ландау, то диссипацию можно учесть, введя в уравнения соответствующий интегральный член [3].

00 TJ 00.

Щи] = -L[u] = -ст J —1*| j u (x')eik (x~x,)dx.

— 00 ^^ —00.

1 /9 где, а = с0(пт/ 8М). В дальнейшем, однако, учитывая рассматриваемое в диссертации гидродинамическое приближение, когда о «со Qe, ограничимся исследованием влияния на структуру и эволюцию нелинейных волн только диссипативных процессов так называемого вязкостного типа.

Обобщив с учетом сказанного уравнение КП (В.8) введением дисперсионной поправки следующего порядка и члена, ответственного за затухание, получим уравнение [66] дх |д?и + а идхи — V 8хи + р дхи + у дхи^ = к А±и, ^ к =-с0/ 2, которое обладает такой же степенью универсальности, что и уравнения КдВ и КП, и будет справедливо всегда, когда закон дисперсии имеет вид «с0кх [1 + к / 2кыкх/с0+ (-р к2х + у к4х) / с0]. (В.21).

Уравнение З-ОТМЪБ (В. 14) с учетом диссипативных процессов вязкостного типа примет вид д. Н + зд^к^-гХд1^ -V = аА ±-ИсЬс (В.22) и для него, с учетом с = -с0 / 2, с0 = уа и формальной замены р кх = X, у = 0, с0 будет также справедливо соотношение (В.21).

Наконец, различного рода неустойчивости (тип которых определяется видом и параметрами среды распространения волн), приводящие обычно к быстрому нарастанию возмущений с формированием хаотической турбулентной структуры и перекачке энергии колебаний в другие степени свободы, могут быть учтены введением в левую часть уравнений (В.20), (В.22) члена, пропорционального четвертой производной: 5 дхи, который является следствием появления в дисперсионном соотношении (В.21) дополнительного мнимого слагаемого вида -/5 кх / с0.

Относительно введенных выше модельных уравнений необходимо отиетить следующее. Стационарные солитонные решения уравнения (В.20) при V = к = 0 впервые были получены численно Т. Кавахарой [68], который показал, что при Р > 0, у > 0 одномерный солитон приобретает осциллирующую структуру. Двумерное уравнение вида (В.20) с Р = у = 0, А±- -д2у рассматривалось впервые Е. А. Заболотской и Р. В. Хохловым при описании распространения двумерных нелинейных звуковых волн в среде с поглощением [69], а уравнение (В.20) с V = 0, А±- = д2у при Р > 0, у>0, к<0 для гравитационно-капиллярных волн на мелкой воде численно исследовалось Л. А. Абрамяном и Ю. А. Степанянцем [65] с помощью метода стабилизирующего множителя, предложенного в [21] для поиска стационарных решений двумерного уравнения КП. В результате, в [65] для указанных выше значений параметров были найдены решения в виде стационарных двумерных солитонов и солитонных пар («бисолитонов») с осциллирующими хвостами, сечения которых вдоль оси х (у = 0) оказались качественно подобными полученным для одномерного случая Кавахарой [68] и в экспериментах по моделированию нелинейных процессов, описываемых уравнением КдВ с пятой производной при Р = 0, в электрических линиях [40]. Однако остались неясными условия и динамика формирования такого типа структур, вид решений при Р < 0, у < 0 и Р > 0, у < 0 (при у < 0 использовавшийся в [65] метод расходится), вопросы устойчивости решений во всем диапазоне у < 0, Р < 0 и влияния затухания на структуру и эволюцию нелинейных волн такого типа. Трехмерное уравнение вида (В.20), имеющее широкие приложения в физике нелинейных волн с дисперсией, до появления наших работ (см. [67] и приведенные там ссылки) другими авторами не исследовалось, и проблемы, указанные для двумерных систем, а также специфические процессы самовоздействия, описываемые трехмерным уравнением КП [11,12,70,71], являются особенно актуальными в такого рода трехмерной постановке.

Уравнение З-БЖ^ вида (В.22) при V = 0, с = 0 впервые исследовалось численно Доусон и Фонтеном [23] и аналитически — Каупом и Ньюэ-лом [24], в трехмерном случае при у = 0 — В. И. Петвиашвили и О.А.Похоте-ловым [25], однако, как уже указывалось выше, в этих работах изучались только одномерные решения без учета диссипативных процессов. Рассматривавшаяся одномерная геометрия не позволила при этом изучить эффекты самовоздействия в системе, вопросы устойчивости неодномерных решений и влияние затухания на структуру и эволюцию нелинейных альфвеновских волн.

Отметим, что точные аналитические решения рассматриваемых нами в диссертации обобщенных уравнений неизвестны, поэтому для интегрирования нелинейных систем типа (В.21) и (В.22) приходится широко привлекать численные методы. Что же касается аналитических подходов к изучению такого рода систем, то здесь мы ограничены возможностями использования методов качественного и асимптотического анализа решений, исследования проблемы их устойчивости и некоторых частных случаев внешних воздействий среды на структуру и динамику неодномерных нелинейных волн и солитонов [67].

Обозначенный выше подход к изучению неодномерных нелинейных систем класса КП и составляет основное содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи глав, разбитых на 23 параграфа, делящихся в свою очередь на разделы, заключения и двух приложений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах (приведены в хронологическом порядке):

1. Белашов В. Ю. Эволюция солитонов КдВ на «этапе нестационарности»: Препринт. Магадан: СВКНИИ ДВНЦ АН СССР, 1984. 11 с.

2. Белашов В. Ю. Перемещающиеся ионосферные возмущения в F-облас-ти ионосферы и их влияние на флуктуации ОНЧ радиосигналов// Ргос. IX Int. Wroclaw Symp. on EMC, Poland, Wroclaw, June 28−30, 1988. Wroclaw, 1988. V. 1. P. 181−184.

3. Белашов В. Ю. О возбуждении землетрясениями ВГВ в F-слое ионосферы // Там же. С. 227−229.

4. Белашов В. Ю. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили и его приложения: Научный отчет ИКИР ДВО РАН. Магадан: Фонды ИКИР, 1989. 48 с.

5. Белашов В. Ю. О численных методах решения эволюционных уравнений типа уравнения Кадомцева-Петвиашвили: Препринт ИКИР. Магадан, 1989. 21 с.

6. Белашов В. Ю. Динамика крупномасштабных ПИВ, возбуждаемых уединенными ВГВ в F-слое ионосферы // III Семинар КАПГ по метеорологическим эффектам в ионосфере. София: БАН, 1989. С. 12−13.

7. Белашов В. Ю. О перемещающихся ионосферных возмущениях в слое F // Ионосферные волновые возмущения. Алма-Ата: Наука, 1989. С. 120−128.

8. Belashov V.Yu. Solitary electron density waves induced by the IGW’s solitons in the ionosphere// Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya,.

Sept. 8−10,1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 228−229.

9. Belashova A.A., Belashov V.Yu. Large-scale wave disturbances generated by the eclipse in the ionosphere and EMC problems // Proc. 1989 Int. Symp. on EMC, Japan, Nagoya, Sept. 8−10,1989. Nagoya, 1989. V. 1. P. 226−227.

10. Белашов В. Ю., Карпман В. И. Численное исследование динамики неодномерных солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗ-МИРАН N 43(928). М., 1990. 24 с.

11. Белашов В. Ю. Динамика нелинейных внутренних гравитационных волн на высотах F-области ионосферы // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 637−641.

12. Белашов В. Ю. Динамическая модель слоя F: аспекты использования в численном моделировании // X Семинар по моделированию ионосферы. М., ВИНИТИ, 1990. С. 70.

13. Белашова А. А., Белашов В. Ю., Подбельский КН. Комплексные исследования динамики волновых ионосферных возмущений в Дальневосточном регионе СССР // Геомагн. и аэрономия. 1990. Т. 30, N4. С. 647−650.

14. Белашов В. Ю. О самофокусировке БМЗ в магнитном поле// IX Всесоюзный семинар по ОНЧ излучениям. М.: ИЗМИРАН, 1991. С. 42.

15. Belashov V.Yu., Karpman V.I. 2D and 3D disturbances dynamics in the weakly dispersive media with dissipation // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Italy, Pisa, July 8−12, 1991. Contributed papers. V. 6. P. 1239−1240.

16. Карпман В. И., Белашов В. Ю. О структуре двумерных осциллирующих солитонов в слабо диспергирующих средах: Препринт ИЗМИРАН N 25 (972). М&bdquo- 1991. 19 с.

17. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Dynamics of two-dimensional solitons in weakly dispersive media // Phys. Lett. 1991. V. 154A, N. 3−4. P. 131−139.

18. Karpman V.I., Belashov V.Yu. Evolution of three-dimensional nonlinear pulses in weakly dispersive media // Ibid. P. 140−144.

19. Белашов В. Ю. Об устойчивости двумерных и трехмерных солитонов в слабо диспергирующих средах // ДАН СССР. 1991. Т. 320, N 1. С. 85−89.

20. Belashov V.Yu. The methods for numerical integration of nonlinear evolutional KP-class equations // XX Int. Conf. on Phenomena in Ionized Gases, Italy, Pisa, July 8−12, 1991. Contributed papers. V. 6. P. 1241−1242.

21. Белашов В. Ю. Численное исследование динамики неодномерных нелинейных волн в слабо диспергирующих средах: Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: ИЗМИРАН, 1991.

22. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma//Proc. of ISAP'92, Sapporo, Japan, 1992. V. 1. P. 201−204.

23. Belashov V. Yu. On stability of 2D and 3D solitons in plasma // Ibid. V. 4. P. 1181−1184.

24. Belashov V.Yu. Dissipation’s effect on structure and evolution of nonlinear waves and solitons in plasma // Proc. XI Intern. Wroclaw Symp. on EMC, Wroclaw, Poland, 1992. V. 2. P. 591−596.

25. Belashov V.Yu. The solar terminator front-induced wave disturbances in the ionosphere F layer // Proc. 1992 Int. Symp. on EMC, Beijing, China, 1992. P. 141−144.

26. Belashov V.Yu. Nonlinear stabilization of fast magneto-sonic waves beam in plasma//Proc. of ICPP'92, Austria, Innsbruck, 1992. V. 1. P. 187.

27. Belashov V. Yu. 2D soliton dynamics in the weakly dispersive media with the stochastic fluctuations // Proc. of 4th Symposium on double layers, Austria,.

Innsbruck, 1992. P. 88.

28. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of Alfven waves propagating in magnetized plasma // Proc. XXIV General Assembly of URSI, Kyoto, Japan, 1993. P. 657.

29. Belashov V.Yu. 2D and 3D soliton dynamics: great significance of small dispersive correction // Ibid. P. 657.

30. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency stochastic fluctuations I I Ibid. P. 656.

31. Belashov V.Yu. Theoretical and numerical study of effects in ionospheric plasma associated with earthquakes and volcano eruptions // Proc. Intern. Workshop on EM phenomena related to earthquake prediction, Tokyo, Japan, Sept. 6−8,1993. P. 90.

32. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional AlfVen waves // Proc. NEEDS'93, Italy, 1993. P. 242.

33. Belashov V. Yu. Nonlinear dynamics of fast magneto-sonic and Alfven waves propagating in magnetized plasma // Proc. 20th Conf. Fusion'93, Lisboa, Portugal, 1993. P. 467.

34. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves propagating in magnetized plasma // Plasma Phys. and Controlled Fusion, 1994. V. 36, issue 10. P. 1661−1668.

35. Belashov V.Yu. Dynamics of KP equation solitons in media with low-frequency wave field stochastic fluctuations // Physics Letters A, 1995, N 4. P. 282−286.

36. Belashov V.Yu. Dynamics of nonlinear waves and solitons in plasma with wave field stochastic fluctuations // Workshop on Theory and Observations of Nonlinear Proc. in Near-Earth Environment, Warsaw, Poland, 1995. Abstracts. Warsaw, Srace Research Center, 1995. P. 4.1.

37. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional AlfVen waves in plasma // Ibid. P. 5.2.

38. Belashov V.Yu. Structure and evolution of two-dimensional electron density solitary waves caused by internal gravity waves solitons at heights of ionosphere F layer // Ibid. P. 9.3.

39. Belashov V.Yu. Nonlinear dynamics of three-dimensional Alfven waves in magnetospheric plasma. // XX General Assembly of EGS, Kille, Germany, May 5−9, 1995. Annales Geophysicae Supplement, 1995. V. 13. P. 78.

40. Belashov V.Yu. Nonlinear effects for FMS waves beam propagating in the magnetosphere // Ibid. P. 79.

41. Belashov V.Yu. Soliton Evolution in Media with Variable Dispersion // XXI General Assembly of EGS, Hague, The Netherlands, May 6−10, 1996. Annales Geophysicae Supplement, 1996. V. 14. P. 147.

42. Belashov V.Yu. Theoretical and Numerical Study of Earthquake-induced Effects in Ionospheric Plasma // Ibid. P. 168.

43. Belashov V.Yu. Evolution of the 3D FMS Waves Beam in Plasma with Stochastic Fluctuations of Field // Ibid. P. 156.

44. Belashov V.Yu. The Problem of Evolution and Stability of 3D Alfven Waves Propagating in the Magnetosphere-Ionosphere Plasma along the Magnetic Field. Физика авроральных явлений, 19-й ежегодный Апатитский семинар. Тезисы докл. Препринт ПГИ № 96−01−99. Апатиты: Кольский научный центр РАН, 1996. С. 38.

45. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Magnetosphere-Ionosphere Plasma with Variable Dispersion // Там же. С. 37.

46. Belashov V.Yu. Evolution of the FMS Waves in Plasma with Variable Dispersion // XXV General Assembly of URSI, Lille, France, Aug. 28-Sept. 5, Abstracts. Lille, URSI, 1996. P. 475.

47. Belashov V.Yu. Theoretical Study of Seismo-Ionospheric Effects in Nearest and Farthest Zone of Earthquake Nidus // Ibid. P. 676.

48. Belashov V.Yu. Computer Simulation of the 3D FMS Waves Beam Dynamics in Plasma with Stochastic Fluctuation of Magnetic Field // Ibid. P. 474.

49. Belashov V.Yu. Dynamics of the 3D FMS Waves Beam in Plasma with Stochastic Fluctuations of Magnetic Field. Proc.1996 Int. Conf. on Plasma Physics, Nagoya, Japan, Sept. 9−13, 1996. Contributed Papers. Nagoya, 1997. V. l.P. 950−953.

50. Belashov V.Yu. Dynamics of the 3D Aliven Waves Propagating in Magnetized Plasma and Stability Problem // Ibid. P. 954−957.

51. Белашов В. Ю., Тюиина С. Г. Качественный анализ и асимптотики решений обобщенных уравнений КдВ-класса // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. Т. XL, N 1.С. 328−344.

52. Belashov V.Yu. Seismogenic Perturbations at Heights of Ionosphere F Layer// Intern. Workshop on Seismo Electromagnetics (IWSE-97), Tokyo, Japan, March 3−5,1997. Abstracts. Tokyo, NASDA, 1997. P. 225−233.

53. Belashov V.Yu. Numerical study of dynamics of 3D ion-acoustic and FMS nonlinear waves in plasma using spectral approach // Proc. 5th Int. School/Symp. for Space Simulation, Japan, Kyoto, March 13−19, 1997. RASC, Kyoto Univ., 1997. P. 118−122.

54. Belashov V.Yu. 2D and 3D Solitons in Plasma: Structure, Stability, Dynamics // 5th Symp. on Double Layers-Potential Formation and Related Nonlinear Phenomena in Plasmas. Sendai, Tohoku University, 1997. P. 337 342.

55. Белашов В. Ю. Специальные функции и алгоритмы их вычисления. Учебное пособие. Магадан, МПУ, 1997. 36 с.

56. Белашов В. Ю. Уравнение КП и его обобщения. Теория, приложения. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 158 с.

57. Белашов В. Ю., Чернова Н. М. Эффективные алгоритмы и программы вычислительной математики. Магадан: СВКНИИ ДВО РАН, 1997. 310с.

Основные научные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на 5 отечественных и 32 международных конференциях и симпозиумах (при личном участии в 12 международных симпозиумах: Болгария -1988, Алма-Ата — 1989, Самарканд — 1989, Польша — 1990, 1995, Дубна -1992, Япония — 1992 (в качестве председателя научной секции), 1996 (конференция и симпозиум), 1997 (совещание и симпозиум), Н. Новгород -1996). Кроме того, результаты докладывались на научных семинарах ряда ведущих институтов: ИЗМИРАН, ИПМ им. М. В. Келдыша, ОИЯИ (Дубна), ЛОМИ им. В. А. Стеклова, ИИ КазАН, ЛГУ, КГУ, ВЦ СО РАН и др. Апробация основных положений теории прошла также в период чтения лекций по проблемам динамики нелинейных волн в плазме в качестве приглашенного профессора в Университете электросвязи (Токио), Нагойском университете и Национальном институте термоядерных исследований (На-гоя) в 1992 г.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.