Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Численное моделирование статического и динамического напряженно-деформированного состояния пространственных систем «сооружение — основание — водохранилище» с учетом нелинейных эффектов открытия — закрытия швов и макротрещин

Диссертация: Численное моделирование статического и динамического напряженно-деформированного состояния пространственных систем «сооружение — основание — водохранилище» с учетом нелинейных эффектов открытия — закрытия швов и макротрещин
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

На уровне современных достижений вычислительной механики поставлены и решены актуальные задачи алгоритмического обеспечения статического и динамического расчета сложных пространственных комбинированных систем, характерных для гидротехнических и родственных энергетических сооружений и конструкций. Основу разработанного универсального алгоритма составляют ко-нечноэлементные (с использованием… Читать ещё >

Численное моделирование статического и динамического напряженно-деформированного состояния пространственных систем «сооружение — основание — водохранилище» с учетом нелинейных эффектов открытия — закрытия швов и макротрещин (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ ПОСТАНОВОК, ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ
    • 1. 1. Статические и динамические расчеты пространственных комбинированных систем
    • 1. 2. Динамические расчеты систем «сооружение — основание -водохранилище»
    • 1. 3. Статические и динамические расчеты систем «бетонное сооружение -скальное основание» с учетом нелинейных эффектов открытия-закрытия швов и макротрещин
    • 1. 4. «Промышленные» и исследовательские программные комплексы
    • 1. 5. Постановка задач диссертационной работы
  • Глава 2. РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДИК ЛИНЕЙНОГО И НЕЛИНЕЙНОГО СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
    • 2. 1. Постановка и конечноэлементная формулировка задач
    • 2. 2. Построение эффективных конечноэлементных моделей пространственных комбинированных систем
    • 2. 3. Решение несвязанных стационарных, нестационарных и динамических задач теории поля. Определение температурных, фильтрационных и гидродинамических нагрузок
    • 2. 4. Расчет линейно-упругих систем на статические нагрузки. Решение системы линейных алгебраических уравнений
    • 2. 5. Решение трехмерных статических задач линейной механики разрушения для систем с трещинами
    • 2. 6. Вычисление энергетически значимой части спектра собственных частот и форм колебаний. Решение частной проблемы собственных значений
    • 2. 7. Определение критических нагрузок и форм потери начальной устойчивости
    • 2. 8. Линейно-спектральный квазистатический расчет на сейсмические воздействия, заданные спектрами ускорений
    • 2. 9. Расчеты установившихся вынужденных колебаний
    • 2. 10. Интегрирование по времени линейных и нелинейных уравнений движения системы
    • 2. 11. Суперэлементная формулировка и реализация алгоритмов
    • 2. 12. Вариант метода суперэлементов для решения динамических задач
    • 2. 13. Решение геометрически нелинейных задач
    • 2. 14. Тестирование алгоритмов и программ
  • Глава 3. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ТРЕХМЕРНОГО ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА СИСТЕМ «СООРУЖЕНИЕ-ОСНОВАНИЕ-ВОДОХРАНИЛИЩЕ»
    • 3. 1. Конечноэлементные формулировки связанных задач гидроупругости
      • 3. 1. 1. Общие положения
      • 3. 1. 2. Формулировка в перемещениях (Лагранжев подход)
      • 3. 1. 3. Формулировка в смешанных неизвестных (Эйлеров подход)
      • 3. 1. 4. Схема матрицы присоединенных масс (несжимаемая жидкость)
    • 3. 2. Основные алгоритмы решения связанных задач гидроупругости
      • 3. 2. 1. Расчет собственных частот и форм колебаний. Спектральные динамические расчеты
      • 3. 2. 2. Расчет вынужденных установившихся колебаний
      • 3. 2. 3. Прямое интегрирование уравнений гидроупругости
    • 3. 3. Тестовые примеры
  • Глава 4. РАЗРАБОТКА СУПЕРЭЛЕМЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ СТАТИЧЕСКОГО И ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНЫХ СИСТЕМ «СООРУЖЕНИЕ-ОСНОВАНИЕ» С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ ОТКРЫТИЯ-ЗАКРЫТИЯ ШВОВ И МАКРОТРЕЩИН
    • 4. 1. Постановки трехмерных краевых задач с учетом односторонних связей и трения
      • 4. 1. 1. Постановки статической задачи
      • 4. 1. 2. Постановки динамических задач
      • 4. 1. 3. Вариационные постановки краевых задач
    • 4. 2. Алгоритмы нелинейных статических и динамических расчетов системы «сооружение — основание» со швами и макротрещинами
      • 4. 2. 1. Общие соображения
      • 4. 2. 2. Решение статических задач с односторонними ограничениями и задач с трением как задач математического программирования
      • 4. 2. 3. Суперэлементный подход к решению статических и динамических задач с локальными нелинейностями

Современный этап развития прикладной механики вообще, и задач расчета статического и динамического напряженно-деформированного состояния реальных пространственных гидротехнических конструкций и систем «сооружениеоснование — водохранилище» — в частности и в особенности, — немыслим без использования численных методов. Благодаря прогрессу в компьютерной технике и вычислительной математике изменилось соотношение аналитических, экспериментальных (модельных и натурных) и численных подходов к анализу сложных механических систем. Практика выдвигает задачи многовариантного и оптимизационного исследования трехмерных комбинированных систем, адекватное решение которых может быть получено только численным путем. Как правило, найти замкнутое аналитическое решение для таких задач не представляется возможным, а экспериментальные исследования — весьма дорогостоящи и неполны. Многолетний опыт показывает, что эффективность внедрения вычислительных подходов в практику расчетов конструкций, сооружений и комплексных систем «сооружение — основание — водная среда» зависит не только и не столько от мощности используемых ЭВМ, сколько от разработки рациональных моделей и алгоритмов.

Определяющими условиями успеха численного расчета произвольной системы является удачно выбранная механическая модель — расчетная схема, — и численная модель, т. е. численный метод решения соответствующей математической задачи и способ программной реализации алгоритма. При численном решении сложных задач строительной механики предварительное аналитическое и экспериментальное изучение различных локальных свойств проблемы может оказать большую помощь, а иногда являются решающими для успешного построения и реализации алгоритма. На всех стадиях исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) системы математическая теория, эксперимент и численный расчет должны применяться согласованно — всякое экстремистское противопоставление здесь неуместно и бессмысленно.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

.

Приведенный общий взгляд в полной мере подтверждается отечественной и зарубежной практикой расчетов сложных гидротехнических конструкций и сооружений. В последние годы при сворачивании нового строительства и проектирования в России «центр тяжести» исследований сместился к оценке реального состояния эксплуатируемых сооружений, которая обрела правовую форму в виде «Закона о безопасности гидротехнических сооружений» и потребовала тесного взаимодействия численного моделирования и натурных наблюдений: размещение, состав и характеристики контрольно-измерительной аппаратуры определяются предварительными расчетами, а математическая модель «калибруется» и совершенствуется по натурным данным. Современная концепция требует, чтобы численные модели сопровождали объекты гидроэнергетики на всех этапах их зарождения (проектирования и строительства) и жизни (эксплуатации, ремонта и реконструкции), обеспечивая адекватный и полный анализ и прогноз состояния в составе информационно-диагностических систем мониторинга.

Гидротехнические конструкции и сооружения, как объекты повышенной опасности со сложным многофакторным статическим и динамическим НДС, заслуженно и давно привлекали внимание механиков и вычислителей. Не случайно одним из первых и наиболее продуктивных «отраслевых приложений» методов конечных разностей и современных вычислительных лидеров — методов конечных элементов (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ) — были вначале двумерные, а затем и трехмерные расчеты арочных, гравитационных и контрфорсных бетонных плотин.

Вынужденно неполный перечень ученых-механиков, внесших существенный вклад в математические постановки, получивших важные аналитические решения и заложивших теоретический фундамент численных методов, используемых в задачах расчета гидротехнических (и родственных энергетических) конструкций и сооружений, включает имена Э. Л. Аксельрада [3], И. М. Бабакова [5], В. В. Болотина [51,52], А. С. Вольмира [62], Л. А. Галина [65], Р. В. Гольдштейна [72], Л. Д. Ландау [99], А. И. Лурье [102], Е. М. Морозова [107], Ю. Н. Новичкова [52],.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

.

Я.Г.Пановко [118], Ю. Н. Работнова [125], А. Р. Ржаницына [127], С. П. Тимошенко [145], К. Васидзу [58], Ж.-Л.Лионса [70,98], Р. Гудмана [74], Р. Клафа [91], Н. Ньюмарка и Э. Розенблюэта [111], Ж. П. Обена [113], А. Гриффита [184] и Вес-тергарда [208]. Общие теоретические и прикладные аспекты современных численных методов (МКР, МКЭ, МГЭ, алгебраические задачи большой размерности) отражены в работах Н. С. Бахвалова [7], М. В. Белого [46−48], В. Е. Булгакова [46,47,55], А. Б. Золотова [46,55], З. И. Бурмана [56,57], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [71], Е. Г. Дьяконова [78], В. П. Ильина [86], Г. И. Марчука [103], В. А. Постнова [122], Л. А. Розина [129,130], А. А. Самарского [135,136], Р. П. Федоренко [154], В. В. Шайдурова [162], Б. Айронса [1,2], К. Бате [6,167,199], П. Бенерджи и Р. Баттерфилда [49], К. Бреббия [53], Е. Вилсона [6,211], Р. Галлагера [66], А. Джорджа и Дж. Лю [76], О. Зенкевича [82,83,212], Дж. Одена [114], Дж. Ортега [116], Б. Парлетта [119], С. Писсанецки [121], Е. Пржеминицкого [123], Г. Стренга и Дж. Фикса [144], Р. Тьюарсона [148] и многих других отечественных и зарубежных авторов.

Среди отечественных специалистов, известных достижениями в расчетных исследованиях НДС и в программно-алгоритмических разработках численных методов применительно к гидротехническим конструкциям, бетонным сооружениям и скальным основаниям, выделим А. В. Вовкушевского [60,61], Л. А. Гордона [73], К. И. Дзюбу [77], В. Н. Ломбард о [100,101], В. Г. Орехова [115], Л. Н. Рассказова [124], Л. А. Розина [130], С. Б. Ухова [150], Б. В. Фрадкина [77,156], А. Л. Храпкова [161], Б. А. Шойхета [61] и С. Г. Шульмана [163−165]. Экспериментальные модельные исследования и натурные наблюдения в этой предметной области выполнены Г. Ю. Бердичевским [50], Г. М. Кагановым [87,128], Ю. Б. Мгалобеловым [104], В. Г. Ореховым [124], Н. П. Розановым [128], Л. П. Трапезниковым [147] и многими другими специалистами.

Актуальность темы

диссертационной работы, подтвержденная, в частности, тематикой российских отраслевых научно-технических программ и последних международных семинаров ICOLD [181], обуславливается следующим со.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

стоянием рассматриваемой проблемы статического и динамического расчета гидротехнических конструкций, сооружений и систем «сооружение-основание» :

1). В отечественной исследовательской и проектной практике не был разработан и не использовался универсальный подход к расчету сложных гидротехнических конструкций и сооружений как к задаче численного моделирования произвольных пространственных комбинированных (массивно-оболочечно-стержневых) систем, подверженных комплексу нормативно регламентированных статических и динамических нагрузок различной природы. Такая естественная и необходимая комплексная постановка требует совершенствования используемых и привлечения новых численных методов и алгоритмов, реализующих эффективные схемы дискретизации краевых задач и мощные современные «решатели» результирующих вычислительных задач большой размерности, характерных для рассматриваемой предметной области.

2). Сейсмическая реакция высоконапорных гидротехнических сооружений (плотин) существенным образом определяется динамическим волновым взаимодействием с водной средой (водохранилищем) и может быть воспроизведена численным решением трехмерных связанных задач гидроупругости для систем «сооружение-основание-водохранилище». Состояние же отечественных программно-алгоритмических разработок не позволяло использовать данные адекватные модели в практике расчетных исследований и проектирования объектов повышенной опасности в сейсмоактивных районах.

3). Реальная трехмерная система «бетонное сооружение — скальное основание» имеет дискретные (локальные) нарушения сплошности в виде строительных и (или) деформационных швов и макротрещин, нелинейные эффекты открытия-закрытия которых в значительной мере определяют статическое и динамическое напряженно-деформированное состояние системы. Как показывают данные натурных исследований, указанные эффекты проявляются, например, на ряде бетонных плотин (Братская, Усть-Илимская и, в особенности, Саяно-Шушенская [54]). До последнего времени численные методики, разработанные российскими.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

специалистами, не выходили за рамки плоских статических задач, а в зарубежных алгоритмах доминировали схемы с контактными элементами, требующие весьма проблематичного решения нелинейных задач большой размерности.

4). Отсутствие универсального и доступного отечественного программного комплекса, реализующего оптимизированные и вновь разработанные алгоритмы линейного и нелинейного статического и динамического расчета пространственных комбинированных систем большой размерности и развитое сервисное обеспечение и апробированного на задачах численного моделирования НДС сложных гидротехнических объектов, сдерживало исследовательские и проектно-конструкторские работы в отрасли.

5). Изучение ранее не исследованных закономерностей пространственного НДС типовых пространственных конструкций (например, тройниковых и других фасонных элементов трубопроводов) и уникальных трехмерных систем «бетонная плотина — скальное основание» при статических и динамических нагрузках с учетом нелинейных эффектов открытия-закрытия и трения в швах и макротрещинах представляет важное самостоятельное научное и практическое значение.

С учетом вышеизложенного основной целью работы является численное моделирование статического и динамического напряженно-деформированного состояния сложных пространственных конструкций и трехмерных систем «бетонное сооружение — скальное основание» с адекватным учетом сейсмического гидроупругого взаимодействия с водохранилищем и существенно нелинейных эффектов открытия-закрытия швов и макротрещин.

Для достижения указанной цели поставлены и решаются следующие задачи:

1). разработать универсальную методику статического и динамического расчета произвольных пространственных комбинированных (массивно-плитно-оболочечно-стержневых) систем, в том числе — гидротехнических систем «сооружение — основание» , — реализующую эффективные численные схемы дис.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

кретизации краевых задач и мощные современные «решатели» результирующих вычислительных задач большой размерности, характерных для рассматриваемой предметной области.

2). разработать численные схемы решения связанных задач гидроупругости применительно к динамическому (сейсмическому) расчету трехмерных систем «сооружение — основание — водохранилище» с учетом поверхностных гравитационных волн, демпфирующих свойств донных отложений и иных факторов.

3). разработать эффективный алгоритм статического и динамического расчета трехмерных систем «бетонное сооружение — скальное основание» с учетом нелинейных эффектов отрыва и кулоновского трения в произвольно ориентированных деформационных швах, макротрещинах и иных контактных поверхностях;

4). разработать комплекс программ широкого пользования, реализующий алгоритмы п.п. 1.2.3 линейного и нелинейного статического и динамического расчета пространственных комбинированных систем и развитое сервисное преи постпроцессорное обеспечение, верифицировать его на представительном множестве тестовых и практических задач, внедрить в проектно-конструкторских и исследовательских организациях отрасли.

5). с применением разработанного программно-алгоритмического комплекса решить сложные практические задачи численного моделирования статического и динамического пространственного напряженно-деформированного состояния реальных гидротехнических (и родственных энергетических) конструкций и систем «сооружение — основание» различного типа с раздельным и (или) совместным учетом существенных, в том числе — нелинейных факторов, рассматриваемых в данной работена основе выполненных исследовательских и практических расчетов выработать и внедрить в действующие нормативные документы рекомендации и инженерные методики.

Научная новизна работы состоит в:

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

.

— комплексной постановке задачи статического и динамического расчета сложных трехмерных конструкций и систем «сооружение-основание», характерных для гидроэнергетических объектов, с адекватным учетом факторов сейсмического гидроупругого взаимодействия с водохранилищем и локальных нелинейных эффектов открытия-закрытия швов и макротрещин;

— разработке и численном обосновании эффективных и гибко настраиваемых статических и динамических моделей произвольных пространственных комбинированных (массивно-оболочечно-стержневых) систем с внутренними связями на базе представительной библиотеки конечных элементов и различных процедур сборки фрагментов в единую конечноэлементную модель;

— разработке и оптимизации численных методов и схем решения результирующих конечноэлементных систем алгебраических уравнений, частных проблем собственных значений и уравнений движения большой размерности с полным использованием априорной блочно-редкозаполненной структуры матриц и адаптивных возможностей;

— реализации и исследовании вычислительных характеристик суперэлементного варианта динамического метода синтеза подконструкций для расчета неустановившихся колебаний сложных трехмерных систем большой размерности;

— распространении метода суперэлементов на решение статических и динамических задач расчета трехмерных систем «сооружение-основание» большой размерности с локальными нелинейностями в швах и макротрещинах;

— исследовании на модельных задачах и оптимизации вычислительных характеристик (точность, устойчивость, сходимость) разработанного суперэлементного алгоритма расчета систем «сооружение-основание» с учетом односторонних связей и трения в швах и макротрещинах;

— расчете трехмерного статического и динамического напряженно-деформированного состояния реальных комбинированных конструкций и систем.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

сооружение-основание", ранее не анализированных или рассматривавшихся в упрощенных постановках;

— выявленных многопараметрическими расчетными исследованиями закономерностях трехмерного распределения статических и динамических напряжений и перемещений в рассмотренных типовых конструкциях (тройниковые соединения) и уникальных сооружениях (арочные, гравитационные и контрфорс-ные плотины на скальном основании);

Практическая ценность работы заключается в разработанных на базе развитых конечнои суперэлементных схем численной методики и реализующего программного комплекса расчета напряженно-деформированного состояния произвольных пространственных комбинированных систем при полном наборе нормативно регламентированных статических и динамических нагрузок и воздействий и с учетом факторов, существенных для трехмерных систем «бетонное сооружение — скальное основание» и ранее рассматривавшихся в упрощенных постановках: сейсмическое взаимодеиствие с водохранилищем и нелинейные эффекты открытия-закрытия с трением в швах и макротрещинах. Использование разработанного программно-алгоритмического комплекса позволяет с большей достоверностью выявить реальные запасы прочности и устойчивости трехмерных конструкций и систем «бетонное сооружение — скальное основание» на стадиях их проектирования, строительства и эксплуатации, а также разработать конструктивно-технологические мероприятия, повышающие их надежность и безопасность.

Практическую ценность представляют также отдельные разделы диссертации, в которых:

— построены эффективные многоуровневые суперэлементные численные схемы, дающие существенную экономию вычислительных ресурсов и расширяющие область применения конечноэлементных алгоритмов и программ ;

— установлены закономерности пространственного распределения статических и динамических (сейсмических) напряжений и деформаций в реальных ти.

Диссертация Белостоцкого A.M.

Введение

повых и уникальных конструкциях и сооружениях, позволившие разработать рекомендации и инженерные методики и оптимизировать проектные варианты.

Внедрение работы состоит в использовании разработанных методов, алгоритмов, реализующего программного комплекса и его объектно-ориентированных подсистем и инженерных методик, а также результатов выполненных численных исследований проектируемых, строящихся и эксплуатируемых сооружений и конструкций в следующих организациях: отделения институтов «Гидропроект» и «Атомэнергопроект», АО НИИЭС (бывший НИС Гидропроекта), МГМИ, «Сельэнергопроект», ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, ВНИИ атомного машиностроения, ОКБ «Гидропресс», «Моспроект-2» и ряд других фирмах различных отраслей строительства и машиностроения.

На защиту выносятся:

— эффективные статические и динамические конечноэлементные и многоуровневые суперэлементные модели произвольных пространственных комбинированных массивно-плитно-оболочечно-стержневых систем, характерных для объектов гидроэнергетики;

— оптимизированные алгоритмы решения результирующих конечнои суперэлементных алгебраических систем уравнений равновесия (Холецкого, неполной факторизации), частных проблем собственных значений (итераций подпространства, блочного Ланцоша) и уравнений движения (Ньюмарка и Вилсона) большой размерности с полным использованием свойств симметрии, блочности и разреженности матриц и адаптивными возможностями;

— суперэлементный вариант динамического метода синтеза подконструкций для расчета неустановившихся колебаний сложных трехмерных систем большой размерности;

— модифицированные численные схемы решения связанных задач гидроупругости, позволяющие применить стандартный вычислительный аппарат методов конечных элементов и суперэлементов для симметричных матриц к динами.

Диссертация Белостоцкого A.M.

Введение

ческому (сейсмическому) расчету трехмерных систем «сооружение — основаниеводохранилище» ;

— альтернативный традиционно используемым алгоритм статического и динамического расчета трехмерных систем «бетонное сооружение — скальное основание» с учетом нелинейных эффектов отрыва и кулоновского трения в произвольно ориентированных деформационных швах, макротрещинах и других контактных поверхностях, сочетающий естественную многоуровневую суперэлементную редукцию исходной нелинейной задачи большой размерности к локальной задаче относительно только контактных пар узлов, модифицированные методы интегрирования по времени уравнений движения и численно обоснованные итерационные схемы.

— комплекс программ широкого пользования СТАДИО, реализующий разработанные конечнои суперэлементные алгоритмы линейного и нелинейного статического и динамического расчета пространственных комбинированных систем и развитое сервисное обеспечение, верифицированный на представительном множестве тестовых и практических задач и внедренный в проектно-конструкторских и исследовательских организациях отрасли.

— результаты выполненных (с применением разработанного программно-алгоритмического комплекса) многопараметрических расчетных исследований с раздельным и совместным учетом существенных, в том числе — локальных нелинейных факторов в швах и макротрещинах, позволившие выявить реальное статическое и динамическое пространственное напряженно-деформированное состояние сложных гидротехнических (и родственных энергетических) конструкций и систем «сооружение — основание — водохранилище» различного типа и обосновать важные проектные решения,.

— рекомендации и инженерные методики, разработанные, на основе выполненных численных исследований (тройниковые соединения и арочные плотины) и вошедшие в нормы и пособия по проектированию.

Диссертация Белостощого А. М.

Введение

.

Основная направленность работы, охватывающая математическую постановку, численные методы и реализующее программное обеспечение статического и динамического расчета пространственных комбинированных механических систем большой размерности, в том числе — в связанной («сооружение-основание-водохранилище») и локально-нелинейной (швы и макротрещины) постановках, характерных для объектов гидроэнергетики, определила содержание аналитического библиографического обзора, который представлен в первой главе.

Глава 2 содержит описание разработанных оптимизированных алгоритмов статического и динамического расчета пространственных комбинированных (массивно-оболочечно-стержневых) систем, сочетающих эффективные конечно-элементные и суперэлементные схемы дискретизации краевых задач и мощные современные «решатели» результирующих алгебраических уравнений равновесия, проблем собственных значений, уравнений установившихся колебаний, неустановившегося движения и нестационарной теории поля большой размерности, характерной для рассматриваемой предметной области.

В главе 3 представлены разработанные модифицированные численные схемы решения связанных задач гидроупругости, позволяющие применить стандартный вычислительный аппарат методов конечных элементов и суперэлементов для симметричных матриц к динамическому (сейсмическому) расчету трехмерных систем «сооружение — основание — водохранилище» с учетом поверхностных гравитационных волн, демпфирующих свойств донных отложений и иных факторов.

Глава 4 посвящена разработке алгоритма (альтернативного традиционно используемым) статического и динамического расчета трехмерных систем «сооружение — основание» с учетом нелинейных эффектов отрыва и кулоновского трения в произвольно ориентированных деформационных швах, макротрещинах и иных контактных поверхностях, сочетающего естественную многоуровневую суперэлементную редукцию исходной нелинейной задачи большой размерности к локальной задаче относительно только контактных пар узлов, модифицирован.

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

ные методы интегрирования по времени уравнений движения и эвристические итерационные схемы.

Основные принципы построения и количественные характеристики, модули вычислительного ядра и преи постпроцессорной обработки, а также опыт практического использования в различных отраслях универсального программного комплекса СТАДИО, реализующего разработанные конечнои суперэлементные алгоритмы статического и динамического расчета произвольных пространственных систем, представлены в пятой главе диссертации.

В главе б на примерах многопараметрических расчетных исследований, выполненных по разработанному программно-алгоритмическому комплексу, демонстрируются важные этапы развития в постановке, видах, методах и размерности решаемых задач, вновь выявленные закономерности статического и динамического пространственного НДС сложных гидротехнических и родственных энергетических конструкций и сооружений, а также различные аспекты приложения результатов численного моделирования:

— ортогональные тонкои толстостенные тройниковые соединения стальных трубопроводов при комплексном статическом нагружении ;

— трехмерные системы «водосбросная секция плотины — основание» при статическом и температурном нагружении.;

— трехмерные модели «арочная плотина — разномодульное основание» при учете дифференциальных подвижек основания и раскрытия контурного шва;

— разработка уточненной методики нормативного линейно-спектрального сейсмического расчета систем «сооружение-основание» ;

— система «водосбросная секция плотины — основание» при динамическом воздействии сбрасываемой воды;

— сложная пространственная система «строительные конструкции — оборудование» энергетического сооружения при статических и сейсмических воздействиях;

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

.

— трехмерная система «поэтапно возводимая бетонная плотина — скальное основание» с трением и отрывами на контакте при при статических и сейсмических воздействиях;

— трехмерная модель арочной плотины с нелинейными эффектами открытия-закрытия строительного шва при статическом и динамическом (сейсмическом) воздействии .

Приложение содержит основные сведения о библиотеке конечных элементов программного комплекса СТАДИО.

Разработка и апробация алгоритмов, создание и развитие реализующего комплекса программ и численные исследования, представленные в диссертации, проводились в периоды работы автора в НИСе Гидропроекта (1980;1987 гг.), НИЧе Атомэнергопроекта (1987;1991 гг.) и НИЦ СтаДиО (1991;1998 гг.), а также во время учебы в докторантуре МГМИ (1993;1996 гг.). Автор выражает искреннюю признательность:

— проф., д.т.н. М. В. Белому, Б. М. Чамову, И. К. Чамову, А. Е. Жаворонкову, А. В. Ермакову и Г. А. Вороновой (НИЦ СтаДиО), проф., д.т.н. Г. М. Каганову, к.т.н. И. М. Евдокимовой, к.т.н. В. А. Земнюкову, к.т.н. М. И. Зборовской и С. П. Курочкину (МГМИ), к.т.н. А. В. Нефедову, к.т.н. А. М. Прудовскому, к.т.н. М. Х. Каплану, к.т.н. И. Н. Иващенко и С. П. Новикову (АО НИИЭС), проф., д.т.н. В. Е. Булгакову (МГСУ), к.т.н. В. Г. Бельскому (ЦНИИСК им. Кучеренко) и многим другим, принимавшим деятельное и плодотворное участие в научно-исследовательских работах;

— специалистам проектно-конструкторских, научно-исследовательских и учебных институтов (отделения институтов «Гидропроект» и «Атомэнергопроект», АО НИИЭС, «Енергопроект» (Болгария), «Сельэнергопроект», «Моспроект-2», ЦНИИСК, ВНИИ Атомного машиностроения, ОКБ «Гидропресс», МГСУ и др.) и действующих электростанций (Загорская ГАЭС, Игналинская АЭС, АЭС «Козлодуй» и др.), способствовавших внедрению программно-алгоритмических разработок и результатов исследований;

Диссертация Белостоцкого А. М.

Введение

.

— сотрудникам НИЦ СтаДиО Т. Г. Обидиной, Л. В. Коновицкой и Г. И. Трофимовой, помогавшим в оформлении диссертационной работы и много претерпевшим от автора.

Заключительные и главные слова благодарности обращены моей семье и друзьям, моральный нажим и постоянная поддержка которых не оставили автору шансов уклониться от написания диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. На уровне современных достижений вычислительной механики поставлены и решены актуальные задачи алгоритмического обеспечения статического и динамического расчета сложных пространственных комбинированных систем, характерных для гидротехнических и родственных энергетических сооружений и конструкций. Основу разработанного универсального алгоритма составляют ко-нечноэлементные (с использованием представительного набора прямои криволинейных, изои ортотропных, однои многослойных стержневых, плитно-оболочечных и трехмерных КЭ, совместимых в единой модели) и развитые многоуровневые суперэлементные схемы дискретизации и решения краевых задач, гибко настраиваемые на объект расчетных исследований и включающие мощные современные «решатели» результирующих алгебраических уравнений равновесия, проблем собственных значений, уравнений установившихся колебаний, неустановившегося движения и нестационарной теории поля большой размерности: оптимизированые методы Холецкого, неполной факторизации, блочного Ланцо-ша, итераций подпространства, Ньюмарка, Вилсона и Кранка-Николсона. Реализован также эффективный вариант динамического метода суперэлементов (развитая численная трехмерная интерпретация подхода, предложенного В. В. Болотиным для расчета рам), позволяющий определять собственные частоты и формы колебаний и неустановившуюся реакцию всей системы через соответствующие динамические характеристики подсистем-суперэлементов.

2. Построены конечноэлементные модели и разработаны модифицированные численные схемы решения связанных задач гидроупругости для формулировок Эйлера («смешанные» неизвестные — перемещения в упругом теле и давление в жидкости) и Лагранжа (перемещения — во всей системе) применительно к динамическому сейсмическому расчету трехмерных систем «сооружение — основаниеводохранилище» с возможным учетом поверхностных гравитационных волн, демпфирующих свойств донных отложений и иных факторов. Для теоретически естественной формулировки со смешанными неизвестными показано, что реализация идеи декомпозиции сводит практически не решаемую несимметричную проблему собственных значений большой размерности к двум симметричным задачам для подсистем («сооружение-основание» и «водохранилище») и несимметричной задаче малой размерности, определяемой числом учитываемых собственных форм колебаний подсистем. Приведение задач о вынужденных установившихся и неустановившихся колебаниях гидроупругой системы к симметричному виду путем простых матричных преобразований также позволяет в полной мере использовать разработанный мощный вычислительный аппарат МКЭ и МСЭ. Основное внимание при реализации однородной модели уделено процедурам обоснованного устранения низкочастотных паразитических форм колебаний без изменения объема жидкости, свойственных формулировке в перемещениях. Использование двух разработанных альтернативных алгоритмов динамического расчета связанной гидроупругой системы делает возможной сильную апостериорную оценку достоверности численного решения.

3. Предложена, реализована и апробирована альтернативная «традиционно» используемым численная методика статического и динамического расчета трехмерных систем, в том числе — систем «сооружение — основание», с учетом нелинейных эффектов отрыва и кулоновского трения в произвольно ориентированных деформационных швах, макротрещинах и иных контактных поверхностях. Алгоритм сочетает: процедуру гибкой многоуровневой суперэлементной редукции исходной нелинейной задачи большой размерности к локальной задаче относительно только контактных пар узловэвристические итерационные схемы, включающие на каждом цикле решение задачи квадратичного программирования — точное определение нормальных компонент контактных перемещений с возможностью отрывов, — и приближенное установление тангенциальных составляющих, удовлетворяющих условиям равновесия с учетом трениямодифицированные неявные разностные методы интегрирования по времени уравнений движения — для динамических задач. Показана возможность распространения динамического метода суперэлементов на рассматриваемые задачи с локальными нелинейностями. Серия вычислительных экспериментов позволила обосновать диапазон параметров численных схем, обеспечивающий устойчивое и быстро сходящееся решение, и подтвердила его существенно неконсервативный характер, зависящий от истории нагружения и, что особенно важно для гидротехнических сооружений — от реальной последовательности возведения.

4. Создан комплекс программ широкого пользования СТАДИО, реализующий разработанные алгоритмы линейного и нелинейного статического и динамического расчета пространственных комбинированных систем и развитое сервисное преи постпроцессорное обеспечение. Комплекс СТАДИО детально верифицирован на представительном множестве тестовых и практических задач, его версии и объектно-ориентированные подсистемы внедрены в ведущих проектно-конструкторских и исследовательских организациях гидрои атомной энергетики, промышленного и гражданского строительства и машиностроения. Открытая модульная архитектура комплекса позволяет пополнять его новыми конкурентными типами КЭ, численными схемами и моделями поведения материалов, развивать на решение новых и более сложных задач механики.

5. С применением разработанного программно-алгоритмического комплекса решены сложные практические задачи численного моделирования статического и динамического пространственного НДС гидротехнических (и родственных энергетических) конструкций и систем «сооружение — основание — водохранилище» с раздельным и (или) совместным учетом существенных, в том числе — нелинейных факторов, рассматриваемых в данной работе. Результаты выполненных расчетных исследований позволили на новом научном уровне обосновать и оптимизировать проектируемые и реконструируемые объекты и системы мониторинга строящихся и эксплуатируемых сооружений: арочные и гравитационные плотины Ингури, Худони, Курпсайского, Катунского, Хоабинь, Капанда и других гидроузлов, здание Плявиньской ГЭС, водоприемник и поэтапно возводимая бетонная плотина гидроузла Танг-Е-Дук, подземные сооружения Рогунской ГЭС, ледостойкая платформа по добыче нефти и газа на шельфе, многочисленные и разнообразные типовые конструкции и уникальные системы «сооружение — основание» особо ответственных объектов энергетики, промышленного и гражданского строительства и машиностроения. Рекомендации и инженерные методики, разработанные на основе исследовательских и практических расчетов, внедрены в действующие нормативно-методические документы, ведомственные руководства и пособия по проектированию.

6. Впервые детально изучено пространственное упругое напряженное состояние широкого класса ортогональных тройниковых соединений, характерных для стальных трубопроводов энергетических установок, при действии не только внутреннего давления, но и полной системы значимых торцевых сил и моментов. Достоверность предложенной численной методики, сочетающей пространствен-но-оболочечные и трехмерные конечноэлементные схемы дискретизации с идеей суперпозиции упругих решений для расчетного фрагмента четверти тройника, подтверждена соответствием результатов с опубликованными расчетными и экспериментальными данными. В частности, подтверждена достаточная точность однослойной (по толщине) аппроксимации с использованием криволинейных оболочечных КЭ суперпараметрического типа даже для толстостенных тройников.

Выявленные закономерности существенно пространственного распределения напряжений в равнои неравнопроходных, равнои неравнопрочных, тонко-и толстостенных, сварных, с накладками и штампованных тройниках, качественно и количественно отличные от простых аналитических зависимостей, принятых ранее в нормативных методиках для энергомашиностроения и других отраслей, положены в основу вновь разработанной инженерной методики. Методика вошла в действующие «Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных энергетических установок. ПНАЭ Г-7−002−86» и реализована в объектно-ориентированном программном комплексе АСТРА-АЭС, аттестованном в Госатомнадзоре РФ и широко применяемом для расчета на прочность трубопроводных систем. Разработана также объектно-ориентированная подсистема уточненного автоматизированного расчета пространственного НДС и оценки статической и циклической прочности типовых элементов трубопроводов: тройников, колен и гибов, конических переходников, линзовых компенсаторов и зон сварных соединений.

Предложенный и реализованный подход к расчетному определению НДС ортогональных тройниковых соединений естественным образом обобщается на родственные фасонные элементы трубопроводов гидротехнических сооружений (тройники и развилки неортогональные, нерадиальные и нецилиндрические, с наружными воротниками и внутренними диафрагмами, железобетонные и сталебетонные) и типовые элементы оборудования (зоны патрубков сосудов, задвижек и клапанов).

7. Результаты выполненных расчетов упругой системы «секция водосливной плотины — скальное основание» гидроузла Хоабинь (Вьетнам) и модельных экспериментов вполне удовлетворительно совпадают между собой как в качественном, так и в количественном отношениях, и подтверждают существенно трехмерный характер реального НДС для рассмотренных вариантов нагрузок и граничных условий. В частности, выявленное сжатие нижней грани фундаментной плиты вдоль и поперек потока при всех расчетных сочетаниях статических и температурных воздействий не требует армирования этих зон. Между тем, согласно предварительным расчетам водосброса как рамной конструкции на винк-леровском основании, не учитывающим совместную работу бетона и скалы в касательных направлениях, для восприятия растягивающих напряжений на нижней грани фундаментной плиты необходима установка 320 т арматуры. Приведенные сопоставительные данные свидетельствуют о надежности и эффективности разработанного программно-алгоритмического обеспечения расчетов, позволяющего при умеренных затратах времени с достаточной степенью подробности воспроизводить особенности трехмерного упругого напряженного состояния весьма сложного гидротехнического сооружения при статических и температурных воздействиях.

8. На трехмерных расчетных моделях системы «арочная плотина — контурный шов — седло — ослабленное разномодульное скальное основание» Худонского гидроузла получены многопараметрические количественные оценки влияния на НДС дифференциальных подвижек основания при варьируемых величинах сдвигаемого массива и условиях контакта плотины с седлом. Расчетами установлено, что возможная подвижка скального массива по плоскости геологического разлома величиной 10 см, значимо изменяя напряженное состояние в примыкающей локальной зоне, не приводит к разрушению тела плотины. Выявленные существенные касательные напряжения в седле могут быть устранены, в частности, устройством низкомодульного контурного шва, что было численно подтверждено серией расчетов для упругих моделей сомкнутого и частично раскрытого шва. Полученные результаты упругих расчетов с учетом контурного шва, при всей очевидной практической значимости, подтвердили необходимость применения развитых нелинейных моделей реальной работы швов и макротрещин.

Результаты расчетного обоснования статической работы двухарочного варианта, проведенного на комбинированной трехмерной массивно-оболочечной модели системы «большая плотина — устой — малая плотина — основание» и интересные в методическом плане, показали удовлетворительное соответствие данным модельного эксперимента и позволили установить диапазон соотношений между жесткостью устоя и деформативностью относительно мягкого скального основания, обеспечивающий возможность осуществления данной оригинальной конструкции.

9. Многопараметрические расчетные исследования показательной системы «плотина-основание» Курпсайской ГЭС, выполненные в плоской постановке, позволили разработать и программно реализовать численную методику и сформулировать рекомендации по адекватному учету сейсмического взаимодействия гидротехнических сооружений с основанием в рамках нормативного, регламентируемого действующим СНиП II-7−81* линейно-спектрального подхода: модель должна содержать инерционный блок основания с характерными размерами не менее 2Н-4Н (Н — высота сооружения), учитывать все собственные формы колебаний в энергетически значимом диапазоне частот (до 20−25 Гц) и их корреляцию по формуле суммирования Ньюмарка, отражать специфику инерционных вкладов элементов сооружения и основания при определении коэффициентов формы 77. Установлено также, что линейно-спектральный расчет существенно трехмерных систем по предложенной методике практически нереализуем, т.к. требует учета такого большого числа собственных частот и форм (не менее 1000), вычисление которых для задач большой размерности (характерное число неизвестных — порядка 10 000−100 000) если и теоретически возможно, то сводит «на нет» преимущества изначально упрощенной JICT по сравнению с более корректным динамическим волновым подходом. Этот вывод подтверждает как необходимость дальнейшего поиска и обоснования приемлемого линейно-спектрального подхода, так и целесообразность развития и применения динамических методов сейсмического расчета трехмерных систем «сооружение-основание» .

10. Рассмотрена задача о динамике системы «водосливная секция плотиныоснование» при воздействии сбрасываемой воды (на примере Катунской ГЭС). На трехмерной упругой расчетной модели системы с неотражающими границами продемонстрировано влияние частоты и амплитуды гидродинамического давления на неустановившиеся и установившиеся динамические перемещения и напряжения характерных зон плотины. Полученные результаты, даже при малом вкладе данного фактора в общее НДС, обладают практической ценностью, т.к. могут послужить математической основой подсистемы динамической диагностики, функционирующей в составе информационно-диагностических систем мониторинга и оценки безопасности эксплуатируемых сооружений.

11. Многовариантные статические и сейсмические расчеты сложной пространственной системы «строительные конструкции — гибкие опорные конструкции — массивное оборудование» энергетического сооружения, выполненные в естественной суперэлементной постановке с учетом эффектов трения качения и скольжения в опорах оборудования, позволили определить реальное НДС и оценить прочность проектного варианта, обосновать дополнительные конструктивные антисейсмические мероприятия. В частности, подтверждена необходимость рассмотрения связанной системы при температурных воздействиях, вызывающих значительные взаимосвязанные перемещения элементов, и, на основании анализа парциальных собственных частот, установлена возможность раздельного сейсмического расчета подсистем-суперэлеметов.

12. Проведен комплекс расчетных исследований трехмерного НДС проектных вариантов системы «многосекционная плотина — скальное основание» гидроузла Танг-Е-Дук (Иран) при статических, температурных и сейсмических воздействиях. Разработанная нелинейная суперэлементная модель позволила учесть эффекты отрыва и трения на контакте бетона со скалой в процессе поэтапного возведения плотины, качественно меняющие трехмерное распределение напряжений в системе по сравнению с линейно-упругой постановкой. Данная нелинейная задача, решенная на пределе вычислительных возможностей для линейно-упругих идеализаций еще 5-и летней давности, символизирует необратимый приход новой «эры» численного моделирования НДС гидротехнических сооружений: не только декларация необходимости, но и практическая осуществимость нелинейного расчетного анализа реальных трехмерных систем со швами и макротрещинами.

13. Разработанный суперэлементный алгоритм применен и для трехмерных расчетов «эталонной» арочной плотины с вертикальным строительным швом на статические и динамические (сейсмические) воздействия, заданные акселерограммой, в нелинейной постановке, предложенной участникам 4-го семинара ICOLD (тема А1, Мадрид, 1996 г.). Полученное численное решение отражает качественные нелинейные статические и динамические эффекты открытия-закрытия шва и согласуется с заявленной современной проблематикой — необходимостью совершенствования действующих и привлечения новых алгоритмов, обоснованно демпфирующих и (или) подавляющих паразитические высокочастотные осцилляции при динамических расчетах сооружений со швами и трещинами.

Показать весь текст

Список литературы

  1. . Задачи о собственных значениях матриц конструкции, исключение лишних переменных.- Ракетная техника и космонавтика, 1965., т. 3, № 5, с.207−209.
  2. . Роль частичного обращения в задачах со смешанными переменными о поведении системы жидкость-конструкция. Ракетная техника и космонавтика, 1970., т. 8, № 3, с.239−241.
  3. Э.Л. Гибкие оболочки. -М.: Наука, 1976. 376 с.
  4. Н.И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Наука, 1966.- с. 544.
  5. И.М. Теория колебаний.- М.: Наука, 1965.-c.559.
  6. К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. -М.: Стройиздат, 1982. с. 446.
  7. Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения).- М.: Наука, 1975.- с. 632.
  8. A.M., Жинжер Н. И. Асимптотическое распределение собственных частот оболочек вращения. Труды МЭИ. Механика деформированного твердого тела и теория надежности, вып.280,1976, с. 13−28.
  9. A.M. Петушков В.А Моделирование на ЭЦВМ поведение тонкостенных произвольных оболочек вращения при конечных смещениях и различных уравнений состояния. В кн. «Исследования задач машиноведения на ЭВМ», М.: Наука, 1977, с.147−157.
  10. A.M., Петушков В. А. К анализу напряженного состояния оболочек вращения, подверженных термоупруго-пластическому деформированию и ползучести при конечных смещениях.- М.: «Машиноведение», № 5, 1978, с.65−73.
  11. A.M. Алгоритм, программы и результаты расчетов конструкций энергетических сооружений, подверженных сейсмическим воздействиям.
  12. Тезисы Докладов 1 Всесоюзной конференции молодых ученых «Традиционные и новые вопросы сейсмологии и сейсмического строительства» (Душанбе, МСССС АН СССР, 12−14 сентября 1978), Душанбе, 1978, с.225−228.
  13. A.M. Модификация и применение численных методов к расчету плитно-оболочечных систем на сейсмические воздействия.- В кн. «Динамические характеристики и колебания элементов энергетического оборудования», М.: «Наука», 1980, с.41−58.
  14. A.M. Расчет пространственных массивно-оболочечных конструкций АЭС на статические и динамические (сейсмические) воздействия. Библ. Указатель ВИНИТИ «Депонированные рукописи», вып. 11, 1981, с. 15, ДОП.
  15. A.M. Расчет пространственных упруго-пластических комбинированных систем на динамические (сейсмические) воздействия. -Тезисы докладов Всесоюзного научно-технического совещания «МИРСС-81» (Нарва, 2−4 июня 1981 г.), ВНИИГ, Л., с. 142−144.
  16. A.M., Малявин В. П., Дикарев А. И. и др. Экспериментальные и численные исследования напряженного состояния тройниковых соединений при действии моментных нагрузок. Сб. трудов МИСИ им. В. В. Куйбышева, № 188, 1982, с.35−49.
  17. A.M. Расчет упругих и упруго/вязкопластических пространственных конструкций на широкополосные динамические воздействия. Научно-техн. сборник «Вопросы судостроения», вып. ЗЗ, ЦНИИ «Румб», Л, 1983, с.38−49.
  18. A.M., Геча В. Я., Камзолкин B.JI. и др. Расчетно-экспериментальное исследование частот собственных колебаний трансформаторов. Труды Всесоюзного НИИ электромеханики, т.68, Динамика и прочность электрических машин, М, 1983, с. 118−125.
  19. A.M., Камзолкин B.JL, Рипп Н. Е., Юдин В. М. Расчетно-экспериментальное исследование сейсмостойкости емкостных аппаратов АЭС. «Энергомашиностроение», 1983, № 8, с.28−30.
  20. A.M. Комплекс программ «СТАДИО-81» на ЕС ЭВМ: расчет пространственных физически нелинейных систем на статические и динамические воздействия. Сб. научных трудов Гидропроекта, вып. 85, 1983, с.25−35.
  21. A.M., Камзолкин B.JI. Расчет пространственных колебаний энергетического оборудования с жидкостью при сейсмическом воздействии. -«Энергомашиностроение», № 10, 1984, с.23−26.
  22. A.M., Вашуров Е. А., Воронова Г. А., Якубович Н. И. Расчет на прочность трубопроводных систем АЭС с учетом динамических воздействий. Сб. научных трудов Гидропроекта, вып. 93, 1984, с.89−94.
  23. A.M., Головин В. В., Фрадкин Б. В. К определению напряженно-деформированного состояния тройниковых соединений трубопроводов. Рукопись депонирована во ВИНИТИ, 1984, № 1497 эн-Д84.
  24. A.M. Конечноэлементные модели пространственных многослойных пластин, оболочек и массивов: построение, программная реализация и исследования. Сб. научных трудов Гидропроекта, вып. 100, 1985, с.24−36.
  25. A.M., Головин В. В., Фрадкин Б. В. Методика расчета напряженного состояния тройниковых соединений труб при комплексном нагружении.- Сб. научных трудов Гидропроекта, 1985, вып. 100, с.83−93.
  26. A.M., Михайлов О. В., Анютина Р. И., Ляпин О. Б., Чамов Б. М. Расчетно-экспериментальное обоснование конструкции резервуара давления с листовой арматурой. Бетон и железобетон, 1985, № 9, с.9−10.
  27. A.M. Руководство по расчету и конструированию тройников технологических трубопроводов (П-816−84). Гидропроект, М., 1984, с. 48.
  28. A.M., Чамов Б. М. Расчет напряженно-деформированного состояния сталежелезобетонных защитных оболочек АЭС при статических и динамических воздействиях. Сб. научных трудов Гидропроекта, 1986, вып. 120, с.76−84.
  29. A.M., Нефедов A.B. Трехмерный расчет железобетонной конструкции контрфорсного типа и сопоставление его с модельным экспериментом. Сб. научных трудов Гидропроекта, 1986, вып. 120, с.76−84.
  30. A.M. Моделирование взаимодействия сооружения с основанием и жидкой средой в рамках трехмерного динамического расчета методом конечных элементов. Сб. научных трудов Гидропроекта, 1987, вып.123, с.108−119.
  31. A.M., Кириллов А. П., Прудовский A.M. и др. Изучение вибрации трубопроводов сброса пара на АЭС и оценки их долговечности. -Тяжелое машиностроение, М., 1990, № 10, с.28−31.
  32. A.M. Построение эффективных пространственных конечноэлементных моделей для динамического расчета систем «основание-сооружение». Труды ЦНИИСК им. Кучеренко, Методы расчета и оптимизации строительных конструкций на ЭВМ, М., 1990, с.175−180.
  33. A.M. Пособие по проектированию арочных плотин (к разделу 9 СНиП 2.06.06−85) П-892−92, п. 9.5.12. Гидропроект, М., 1992, с.169−174.
  34. A.M. Современные математические модели и методы оценки состояния эксплуатируемых энергетических сооружений. Сб. научных трудов АО НИИЭС, 1998. с.10−15.
  35. A.M., Блинов И. Ф., Ермаков A.B., Лобач A.A. Компьютерные системы сбора, хранения и анализа информации о состоянии энергетических сооружений. Сб. научных трудов АО НИИЭС, 1998. с.40−46.
  36. A.M., Белый М. В. Численное решение трехмерных задач об одностороннем контакте с трением для упругих систем. Сб. научных трудов МГСУ, М., 1998, с. 15−34.
  37. A.M. Программный комплекс СТАДИО для линейных и нелинейных статических и динамических расчетов пространственных комбинированных систем. Опыт разработки и эксплуатации и перспективы развития.- Сб. научных трудов МГСУ, М., 1998, с.4−11.
  38. М.В., Булгаков В. Е., Золотов А. Б. Пакет программ для расчета конструкций в трехмерной постановке. Сб. трудов МИСИ и ВТШ г. Лейпциг (Германия): Развитие методов возведения, расчета и проектирования строительных конструкций, 1989, с.24−29.
  39. М.В., Булгаков В. Е., Крат Т. Ю. Расчет арочной плотины Чиркейской ГЭС с использованием пакета программ РКТП //Санкт-Петербург, Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. ЭнергоатомиздатЩ
  40. Санкт-Петербургское отд.), 1991, с.56−60.
  41. М.В. Численные методы статического и динамического расчета конструкций на основе многоуровневых подходов. Автореферат на соиск. уч. степени докт. техн. наук. — М.: МГСУ, 1994. — 34 с.
  42. П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках.- М.: Мир, 1984.- 494 с.
  43. Г. Ю., Бронштейн В. И., Мгалобелов Ю. Б. и др. Двухарочная плотина некоторые особенности статической работы. — Сборник научных трудов Гидропроекта, вып. 123. — М.: 1987, с. 59 — 65.
  44. В.В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980.-376 с.
  45. К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов.- М.: Мир, 1987.- 524 с.
  46. В.И., Епифанов А. П., Булатов В. А. и др. Опыт инъецирования фильтрующих трещин в напорной грани плотины Саяно-Шушенской ГЭС. -Гидротехническое строительство, 1998, № 2, с. 2−8.
  47. В.Е., Золотов А. Б., Белый М. В. Полуитерационный метод решения пространственных краевых задач расчета сооружений. Строительная механика и расчет сооружений, #6, 1985, с.38−40.
  48. З.И., Аксенов О. М., Лукашенко В. И., Тимофеев М. Т. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек.- М.: Машиностроение, 1982.- 256 с.
  49. З.И., Артюхин Г. А., Зархин Б. Я. Программное обеспечение матричных алгоритмов и метода конечных элементов в инженерных расчетах.- М.: Машиностроение, 1988.- 256 с.
  50. К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.- М.: Мир, 1987. 542 с.
  51. Вибрации в технике: Справочник.- т.2. Колебания нелинейных механических систем (под ред. Блехмана И.И.).- М.: Машиностроение, 1979, — 351 с.
  52. A.B. Вычислительная программа для расчета сооружений с односторонними связями методом конечных элементов. Известия ВНИИГ, т. 120, 1978, с-43−46.
  53. A.B., Шойхет Б. А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов. М.: Энергоиздат, 1981, — 136 с.
  54. A.C., Куранов Б. А., Турбаивский А. Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. М.: Машиностроение, 1989.- 248 с.
  55. Р. Приведение матриц жесткости и массы.- Ракетная техника и космонавтика, т. З, # 2, 1965, с.277−278.
  56. Галин JLA. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. -303 с.
  57. Р. Метод конечных элементов. Основы.- М.: Мир, 1984.- 428 с.
  58. Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1988.- 552 с.
  59. A.A. Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем.- М., 1927.
  60. И.М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Вып. 1.- М.: Физматгиз, 1958.- 439 с.
  61. Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. -М.: Мир, 1979. -576 с.
  62. С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию).- М.: Наука, 1977.- 440с.
  63. Р.В., Спектор A.A. Вариационные методы решения и исследования пространственных контактных и смешанных задач с трением. -В кн.: механика деформируемого тела. М.: Наука, 1986, с. 52−73.
  64. Л. А., Готлиф A.A. Статический расчет бетонных и железобетонных гидротехнических сооружений. М.: Энергоиздат, 1982, 240 с.
  65. Р. Механика скальных пород. М.: Стройиздат, 1987, 232 с.
  66. К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. — 510 с.
  67. А., Лю Дж., Численное решение больших разрешенных систем уравнений.- М.: Мир, 1984.- 333 с.
  68. К.И., Фрадкин Б. В. Исследование плотины Курпсайской ГЭС на основе численного решения пространственной теории упругости. М.: Гидротехническое строительство, 1983, № 2, с. 19−25.
  69. Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач.- М.: Наука, 1989.- 272 с.
  70. И.М. Влияние деформативности и прочности основания и его особенностей на работу бетонных плотин. Автореф. дисс. на сосиск. уч. степени канд. техн. наук. -М.: МГМИ, 1993.- 29 с.
  71. Зарубежные библиотеки и пакеты программ по вычислительной математике (под ред. Кауэлла У.). -М.: Наука, 1993. 344с.
  72. Ю.В. Моделирование деформаций и прочности бетона методом механики разрушения. М.: Стройиздат, 1982.
  73. О.С. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир, 1975.- 541 с.
  74. О.С., Морган Н. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.- 318 с.
  75. М.Г., Толстиков В. В. Учет упруго-пластической работы бетонных плотин и скальных оснований в расчетах с использованием МКЭ. М.: Гидротехническое строительство, № 8, 1988, с. 33−36.
  76. В.И., Чубань В. Д., Расчет частот и форм свободных колебаний конструкций методом многоуровневой динамической конденсации.- Ученые записки ЦАГИ. Т. XV. #4, 1984, с. 81−82.
  77. В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, Физматлит, 1995. — 288 с.
  78. Г. М., Нуршанов С. А. Методика оценки долговечности гидротехнических сооружений на основе моделирования. Материалы конференций и совещаний по гидротехнике, Л.: Энергоиздат, 1981, с. 65−68.
  79. Л.В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. -М.: Гостехиздат., 1950.- 695 с.
  80. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978.- 520 с.
  81. Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений.- М.: Стройиздат, 1979.-320 с.
  82. А.В. Вычисление собственных значений и векторов в сеточных задачах: алгоритмы и оценки погрешности. М.: ОВМ АН СССР, 1986.
  83. Комплекс программ АСТРА-АЭС (версия 6.2). Расчет на прочность пространственных разветвленных трубопроводных систем АЭС в соответствии с требованиями Норм ПНА Г-7−002−86. Верификационный отчет.- М., НИЦ СТАДИО, 1994.
  84. Ю.А., Стасенко И. В. Расчет тройникового соединения тонкостенных труб методом конечных элементов. В кн.: Расчеты на прочность. — М.: Машиностроение, 1977, вып. 18, с. 141−152.
  85. .А., Гусев С. С. Применение метода суперэлементов для расчета сложных машиностроительных конструкций. Расчеты на прочность.- М.: Машиностроение, Вып.26, 1985, 174−182 с.
  86. Р., Гильберт Д. Методы математической физики.- М.-Л.: том 1, 1961.- 476 с.
  87. .Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.- М.: Мир, 1971.-372 с.
  88. В.Н., Фрадкин Б. В. Расчет арочной плотины на основе решения пространственной задачи теории упругости и по теории оболочек. -Гидротехническое строительство, 1987, № 6, с. 36−42.
  89. ЮЗ.Марчук Г. И. Методы вычислительной математики,-М.: Наука, 1980.-536 с.
  90. Ю.Б. Прочность и устойчивость скальных оснований бетонных плотин. М.: Энергия, 1979, — 216 с.
  91. К. Алгоритм многоуровневого объединения для метода жесткостей структурного анализа.- Ракетная техника и космонавтика, # 11, 1968.
  92. Юб.Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике.- М., Л.: Гос. издат. технико-теоретической лит-ры, 1950.- 428 с.
  93. Е.М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. -М.: Наука, 1980, — 256 с.
  94. Навайи Нейа Бахрам. Математическое моделирование реакции бетонных гравитационных плотин на сейсмические воздействия. Автореферат дисс. на соиск. уч. степени канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1998, 26с.
  95. Ю9.Натариус Я. И. Повышение сейсмостойкости плотин из грунтовых материалов. -М: Энергоатомиздат, 1984, -88с.
  96. Ю.Новацкий В. Волновые задачи теории пластичности. М.: Мир, 1979. — 380с.
  97. Ш. Ньюмарк Н., Розенблюэт Э. Основы сейсмостойкого строительства. М.: Стройиздат, 1980. — 344 с.
  98. В.Г., Шимельмиц Г. И., Захаров В. Ф., Толстиков В. В. Напряженно-деформированное состояние бетонной плотины гидроузла Капанда с учетом работы ослабленных строительных швов. М.: Энергетическое строительство, № 1, 1983, с. 26−29.
  99. Пб.Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991.- 376 с.
  100. П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии: — М.: Мир, 1989.- 494 с.
  101. Я.Г. Введение в теорию механических колебаний,— М.: Наука, 1980.- 272 с.
  102. . Симметричная проблема собственных значений. Численные методы.- М.: Мир, 1983.- 384 с.
  103. C.B. Контактная прочность и сопротивление качению.- М.: Машиностроение, 1969.- 243 с.
  104. С. Технология разреженных матриц. -М.: Мир, 1988.- 410 с.
  105. В.А., Дмитриев С. А., Елтышев Б. К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. JL: Судостроение, 1979.- 288 с.
  106. Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур. Ракетная техника и космонавтика, 1963, # 1.
  107. JI.H., Орехов В. Г. и др. Гидротехнические сооружения. -М.: Стройиздат, 1996. -344 с.
  108. Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.- 774 с.
  109. К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Мир, 1985.- 590 с.
  110. А.Р. Строительная механика. М.: Высш. школа, 1982.- 400 с.
  111. Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем.- Д.: Изд. ЛГУ, 1978.- 224 с.
  112. Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.-М.: Стройиздат, 1977.- 129 с.
  113. РТМ 24.038.08−72. Расчет трубопроводов энергетических установок на прочность. М.: Энергоатомиздат, 1972.
  114. РТМ 108.020.01−75. Расчет трубопроводов атомных электростанций на прочность. М.: Энергоатомиздат, 1975. — 65 с.
  115. РТМ 38.001−94. Указания по расчету на прочность и вибрацию технологических стальных трубопроводов. -М.: ВНИПИНефть, 1994, 120с.
  116. О.Д., Лисичкин С. Е., Шакарс И. Э. Расчетная оценка НДС левого блока здания Плявиньской ГЭС с учетом данных натурных наблюдений. -Гидротехническое строительство, М., 1998, № 2, с. 47−53.
  117. A.A. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука, 1971.-552 с.
  118. A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978.- 592с.
  119. М., Миёси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения. -М.: Мир, 1986, 334с.
  120. В.Н. Исследование напряженного состояния радиально пересекающихся цилиндрических оболочек. Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 2, с. 15−19.
  121. А.Ф., Александров A.B., Лащеников Б. Я., Шапошников H.H.
  122. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений.- М.: Стройиздат, 1984.- 416 с.
  123. СНиП 11−7-81*. Строительные нормы и правила, Глава 7. Строительство в сейсмических районах, Госстрой СССР. М.: Стройиздат, 1982, — 49 с.
  124. СНиП 2.06.06−85. Строительные нормы и правила. Плотины бетонные и железобетонные. М.: Стройиздат, 1986, 37 с.
  125. СНиП 2.06.08−87. Строительные нормы и правила. Бетонные и железобетонные конструкции гидротехнических сооружений. М.: Стройиздат, 1996, 29 с.
  126. Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977, 349 с.
  127. С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.- М.: Мир, 1975.-576 с.
  128. В.В. Математическое моделирование статической работы бетонных плотин с учетом нарушений сплошности и упруго-пластической работы материала. Автореферат дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук, МГСУ, М., 1994, 18 с.
  129. Л.П. Температурная трещиностойкость массивных бетонных сооружений. М.:Энергоатомиздат, 1986.- 272 с.
  130. Р. Разреженные матрицы,— М.: Мир, 1977.- 190 с.
  131. В.И. Строительная механика конструкций космической техники.-М.: Машиностроение, 1988.- 392 с.
  132. С.Б. Скальные основания гидротехнических сооружений. М.: Энергия, 1975,263 с.
  133. Учет сейсмических воздействий при проектировании гидротехнических сооружений, (пособие к разделу 5: Гидротехнические сооружения СНиП II-7−81). П 17−85, Л.:ВНИИГ, 1986. — 310с.
  134. А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. М.: Недра, 1987, 221с.
  135. Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений. УМН, т.23, #2, 1973, с. 121−182.
  136. .В. Исследование совместной статической работы арочно-гравитационной плотины и основания. Энергетическое строительство, 1977, № 6, с. 25−36.
  137. .В. Вычислительный комплекс для решения пространственной задачи теории упругости методом конечных элементов. Сб. трудов Гидропроекта, вып. 85, 1983, с. 116−127.
  138. А.Р., Хохарин А. Х., Шор A.M. Стальные трубопроводы гидроэлектростанций. М.: Энергоиздат, 1982. — 246 с.
  139. Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы.- М.: Мир, 1986.-448с.
  140. P.A., Кепплер X., Прокопьев В. И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. М.: Изд. Ассоциации строительных вузов, 1994.-352 с.
  141. Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- М.: Мир, 1989.- 655 с.
  142. A.A., Пигалев A.C., Цыбин A.M., Зейлигер В. А. Исследование напряженно-деформированного состояния плотины Катунского гидроузла в строительный и эксплуатационный периоды. Сборник научных трудов Гидропроекта, вып. 123,1987, с. 65−73.
  143. В.В. Многосеточные методы конечных элементов.- М.: Наука, 1989.- 288 с.
  144. С.Г. Сейсмическое давление воды на гидротехнические сооружения. JL: Энергия, 1970, 166 с.
  145. С.Г. Расчеты гидротехнических сооружений с учетом последовательности возведения. -М.: Энергия, 1975, 168 с.
  146. С.Г. Расчеты сейсмостойкости гидросооружений с учетом влияния водной среды— М.: Энергия, 1980, 336 с.
  147. Bank R.E. Analysis of a multilevel inverse iteration procedure for eigenvalue problems SIAM J. Numer. Anal, 1982, vol.19, No 5, p.886−898.
  148. Bathe K.J., Hahn W.F. On transient analysis of fluid-structures systems. Compt. Strut., v. 10, 1979, p. 383−391.
  149. Beer G. An isoparametric joint/interface element for finite element analysis.- Int. J. Num. Meth. Eng., v. 21, 1985, p. 585−600.
  150. BeIyi M.V. Superelement method for transient dynamic analysis of structural systems.- Int. J. Numer. Meth. Eng., 1993, vol. 36, p.2263−2286.
  151. Belyi M.V. A Methodology for dynamic analysis of concrete structures with macrocracks and unilateral joints using substructuring.- Proceedings of the int. conf. Computational Modelling of Concrete Structures, Austria, Innsbruck, 1994, p.669−678.
  152. Benfield W.A., Hruda R.F. Vibration analysis of structures by component mode substitution. Am. Inst. Aeronaut. Astrunaut. J., 1976, vol. 9, p. 1255−1261.
  153. Bhattacharjee S.S., Leger P. Seismic cracking and energy dissipation in concrete gravity dams.- Earthquake Eng. Struct. Dyn., 1993, vol. 22, p. 991−1007.
  154. Brandt A. Multigrid Adaptive Solutions to Boundary Value Problems. Math. Сотр., 1977, vol.31, p.333−390.
  155. Bulgakov V.E., Belyi M.V. Fast Agorithms for Multi-Grid Solver of 3-D Boundary Value Problems in Structural Analysis. Computers and Structures, 1992, vol. 44, No 4, p. 869−875.
  156. Chandrashaker R., Humar J.L. Fluid-founation interaction in the seismic response of gravity dams.- Earthquake Eng. Struct. Dyn., 1993, vol. 22, p. 10 671 084.
  157. Computational Modelling of Concrete Structure. Proceedings of EURO-C 1994 International Conference (Edited by Mang H., Bicanic N., Borst de R.), vol.1, vol.2.-Austria, March, 1994.
  158. Craig R.R.Jr., Bampton M.C. Coupling of substructures for dynamic analysis -Am. Inst. Aeronaut. Astrunaut. J., 1968, vol.7, p. 1313−1319.
  159. Elwi A.E., Murray D.W. Skyline algorithms for multilevel substructure analyses Int. J. Numer. Methods Eng., 1985, vol.21, p. 465−479.
  160. Fenves G., Chopra A.K. Effects of reservoir bottom absorption on eartquake response of concrete gravity dams.- Earthquake Eng. Struct. Dyn., 1983, v 11, p. 809−829.
  161. Fok K.-L. and Chopra K. Earthquake analysis of arch dams including dam-water interaction, reservoir boundary absorbing and foundation flexibility.- Earthquake Eng. and Structural Dynamics, 1986, vol. 14, p.155−184.
  162. Fourth ICOLD Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams. Theme Al. Earthquake response of arch dam including the nonlinear effects of contraction joints opening. Madrid, Spain, 1996.
  163. Gantayat A.N., Powell G.H. Finite element analysis of thin and thic walled tubular joints.- Nucl. Eng. Des., 46, 1978, p.381−394.
  164. Goodman R.E., Dubois J. Duplication of dilatancy in analysis of jointed rocks. -Journal of the soil mecanics and fondations division, ASCE, 1972, SM4, p. 399 422.
  165. Griffith A.A. The Phenomena of Rupture and Flow in solids. Phil. Trans. Rog. Soc., London, A221, 1920, p. 163−197.
  166. Hackbusch W. Multi-Grid Methods and Applications.- Berlin- N.Y.: SpringerVerlag, 1985.
  167. Hale A.L. and Meirovitch L., A general procedure for improving substructures representation in dynamic synthesis.- Journal of Sound and vibration, 1982, vol 84, No2, p. 269−287.
  168. Hurty W.C. Dynamic analysis of structural systems using component modes.-Am. Inst. Aeronaut. Astronaut. J., 1984, vol.4, p.733−738.
  169. Jagawa G., Hirayma H. A finite element method for contact problems ulated to fracture mechanics. Int. J. Num. Meth. Eng., 1984, v.20, p. 2175−2195.
  170. KauseI E. Local transmitting Boundaries.- J. Eng. Mech. Div., ASCE, 1988, vol. 114, p. 1011−1027.
  171. Leick R.D., Potvin A.B. Automated mesh generation for tubular joint stress analysis. Int. J. Computer & Struct., v.7, № 1, 1977, p.73−93.
  172. Leung Y.T. Dynamic substructure response// Journal of sound and vibration, 1991, vol. 149, # 1, p.83−90.
  173. Lysmer J. and Kuhlemeyer R.L. Finite dynamic model of infinite media.- J. Eng. Mech. Div., ASCE, 1969, vol. 95, p. 859−877.
  174. MacNeaI R.H. A hybrid method of component mode synthesis. Computers and structures, 1971, vol. 4, p. 591−601.
  175. Mahmoud F.F., Salamon N.J., Marks W.R. A direct automated procedure for frictionless contact problems. Int. J. Num. Meth. Eng., 1982, v. 18, p. 245−257.
  176. Martins J.A.C., Oden J.T. and Simoes F.M.F. A study of static and kinetic friction.- Int. J. Engng. Sci., 1990, vol. 28, p.29−92.
  177. Mazurkiewicz M., Ostachowicz W. Theory of finite element method for elastic contact problems of solid bodies. Comput. and Struct., 1983, v. 17, N1, p. 51−59.
  178. McCormic S.F. A mesh refinement method for Ax=lBx. Math. Comput., 1981, vol. 36, No3,p.485−498.
  179. Meirovitch L. and Hale A.L. A general dynamic synthesis for structures with discrete substructures. Journal of sound and vibration, 1982, vol. 85, No4, p.445−457.
  180. Owen D.K., Shantaram D., Zienkiewicz O.C. Dynamic transient behaviour of two- and three dimensional structure including plasticity, large deformation effects and and fluid interaction. Earthq. Eng. Struct. Dyn., 1976, vol.4,p. 561−578.
  181. Przemieniecki J.S. Theory of matrix structural analysis.- McGraw-Hill Book Company, New York, N.Y., 1968.
  182. Richards Т.Н., Wood P.C. Fracture analysis data for partially opened crack. -Num. Meth. Fract. Mech. Proc. 2-nd Int. Conf., Swansea, 1980, p. 179−193.
  183. Sharan S.K. Finite element modeling of infinite reservoirs. -Journal of Eng. Mechanics, v. 111, N12, December 1985, p. 1457−1469.
  184. Skrikerud P.E., Bachmann H. Discrete crack modelling for dynamicaly loaded, unreinforced concrete structures. -Earthquake Eng. Struct. Dyn., v. 14, 1986, p. 297−315.
  185. Sotiropoulos G.H. Comment on the substructure synthesis methods. Journal of Sound and vibration, 1984, vol.94, Nol, p.150−153.
  186. Wang J.H., Chen H.R., Substructure modal synthesis method with high computation efficiency. Computer methods in applied mechanics and engineering, 1990, vol.79, No. 2, p.203−217.
  187. Westergaard H.M. Water pressure on dams during earthquakes. Proc. Am. Soc. Civ. Engrs., 1931, v. 57, N9, p. 1303−1318.
  188. Wilson E.L. and Dovey H.H. Solution or reduction of equlibrium equations for large complex structural system.- Advances in Eng. Software, 1978, vol.1, p. 19−25.
  189. O.Wilson E.L., Khalvati M. Finite elements for dynamics of fluid system.- Int. J. Num. Meth. Eng., 1983, v. 19, p. 1657−1668.
  190. Wilson E.L. and Ibrahimbegovic A. A methodology for dynamic analysis of linear structure-foundation systems with local non-linearities.- Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1990, vol. 19, p.1197−1208.
  191. Zienkiewicz O.C., Betess P. Diffraction and refraction of surface waves using finite and infinite element.- Int. J. Num. Meth. Eng., 1977, v. 11.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!