Численное решение прямых динамических задач для неупругих сред

Решение прямых динамических задач — важная и актуальная проблема сейсмики. Её актуальность в практическом смысле определяется прежце всего недостаточной степенью разработки обратной динамической задачи — задачи определения свойств среды по наблвдаемому волновому полю. Интерпретация сейсмических наблюдений производится методом подбора модели, для которой расчетное волновое поле в целом или его характерные признаки согласуются с экспериментальными данными, что приводит к необходимости дальнейшего развития физических основ сейсмических методов, к учету многообразия и сложности реальных сред.

При изучении законов распространения сейсмических волн фундаментальное значение имеет выбор модели, описывающей основные сейсмические явления. Широкое распространение в сейсмологии и сейсморазведке получила модель упругих сред, математическим описанием которой является система динамических уравнений теории упругости. Эта физическая идеализация оправдана во многих случаях при описании сейсмических волновых процессов, но требует усовершенствования при качественном и количественном изучении таких важных динамических особенностей волновой картины в реальных средах, как изменение спектрального состава колебаний в процессе распространения, различия формы, спектрального состава и затухания колебаний в различных типах волн. В реальных средах часть упругой энергии переходит в тепловую — происходит диссипация. Среда, в которой учитывается явление поглощения, — не идеально-упругая.

В последние годы явление непругого затухания сейсмических волн широко изучалось экспериментально и теоретически. Параметры поглощения в последнее время привлекли особое внимание исследователей при решении литологических задач, так как они более чувствительны в некоторых случаях к изменению свойств среды, чем скорости. Если скорости волн в сейсмической среде варьируются в пределах одного порядка, то дифференциация коэффициентов поглощения гораздо больше (два порядка). Ярким примером этого, в частности, служит обнаружение повышенного поглощения сейсмических волн в газонефтенасыщенных пластах[il, t2l — проведенные на этой основе исследования по прямым поискам позволили обнаружить и подтвердить наличие залежей нефти и газа в районах Прибалтики и Тюмени 3 .

Для исследования неупругих свойств реальных сред очень важен вопрос о механизме поглощения сейсмической энергии. Строгая теория позволила бы объяснить характер поглощения на различных глубинах Земли для разных регионов и зависимость поглощения от частотного состава сейсмических колебаний. Однако в настоящее время нет единого мнения о точной природе физического механизма поглощения и соответствующей математической модели [41. Немногочисленные экспериментальные исследования характеристик поглощающих свойств среды [53—181. приводят, в основном, к независимости декремента поглощения от частоты и линейности коэффициента поглощения в широком диапазоне частот. Эти два факта взяты в основу при исследовании динамики волн в неупругих средах В настоящей работе в качестве модельной при изучении затухания взята модель среды Больщана с упругим последействием [91, дающая наиболее общую линейно-неупругую среду. Напряжение здесь связано с деформацией не только в данный момент времени, но и во все предыдущие, которые строятся по типу упругой среды. Закон Гука заменяется следующими соотношениями: х — А (ех + еу + ег) + тех,.

Lxy ®-ху.

Аналогично для <�бу, 6 г, стхг, ятуг .

Л и М — здесь интегральные операторы следующего вида:

•t ооfc.

Ax (i) = A x (-t)-Л jx (qr)g (-t-cr)dcL .

— co.

Зцесь A, ju — упругие константы Лямэ, X у! — параметры неидеальности, характеризующие уровень поглощения энергии, fi (-fc), cj (t) функции последействия, характеризующие спектральный состав поглощения.

Данная модель при различных конкретных функциях последействия дает разнообразные уравнения состояния с различными сложными спектральными характеристиками поглощающих свойств среды [4], [101. В частности, например, широко распространеннная в геофизике модель 1уревича [11,1 входит в класс линейно-неупругих сред с довольно сложными функциями последействия [ 121. Широко используется модель Больцмана в механике. Там оказалось удобным рассматривать слабосингулярные функции последействия (с интегрируемой особенностью в нуле) Г13]. Однако, при всей своей общности, как уже отмечалось, линейно-неупругая среда Больцмана все же не дает универсальной модели поглощения, адекватной современным геофизическим представлениям. Поэтому при динамическом исследовании волновых полей параметры неупругости выбирались таким образом, чтобы обеспечить практически постоянное значение декремента поглощения и линейность коэффициентов затухания различных типов волн в пределах полосы поглощения, включающей заданные сейсмические частоты (см. § 8).

Математическое моделирование распространения волн в неупругих средах Больцмана с последействием сводится к решению ин-тегро-дифференциальных уравнений, которые получаются из уравнений теории упругости заменой постоянных Лямэ, А и р интегральными операторами, А и М .

Данные задачи настолько сложны с математической точки зрения, что даже простейшие задачи о распространении волн в линейной вязкоупругой среде решены аналитически только для частных видов функций последействия.

Методы решения таких задач являются обобщением классических методов теории упругости, таких как метод неполного разделения переменных, асимптотический, лучевой, численные методы. Наиболее часто для решения задачи применяется принцип соответствия [14], [15], [16]. Суть его в том, что после применения преобразования Лапласа по временной переменной получается краевая задача стационарной теории упругости, в которой постоянные модули упругости заменены на модули, зависящие от параметра преобразования Лапласа. Далее она решается методами теории упругости, к трудоемкости которых добавляется сложность обращения преобразования Лапласа, что заставляет прибегать к значительным упрощениямзадачи решаются либо для частных видов функций последействия, либо при существенных ограничениях на строение среды (реальная среда заменяется простой с небольшим числом параметров) [17−20] .

Ряд интересных физических выводов о протекании процессов в линейной вязкоупругой среде получен асимптотическими методами [21−23]. Успешно, как у нас, так и за рубежом, развивается метод вычисления интенсивности волновых полей в вязко-упругих средах [24l-[25].

Обобщением принципа соответствия является метод расчета волновых полей в однородных (слоисто-однородных) средах, предложенный Е. И. Шемякиным [9], [26]. Для расчета волновых полей в тонкослоистых поглощающих средах эффективно используется комбинирование лучевого метода и метода синтетических сейсмограмм [27].

Наиболее универсальными методами решения задач математической физики являются численные методы.

Из-за описанных выше трудностей, возникающих при решении вязкоулрутих задач, часто рассматриваются постановки для элементарных моделей вязкоупругости. В этом случае постановки задач являются дифференциальными, что облегчает построение численных методов.

В работах [28]-[31] построен ряд алгоритмов численного решения разностными методами вязкоупругих задач в основном в дифференциальной постановке.

Сейсмические задачи имеют свою специфику. Для исследования динамических характеристик сейсмических волн требуется рассматривать волновые поля на больших удалениях от источника и для больших времен распространения, так как вычисление полей в ближней зоне не позволяет разделить суммарное интерференционное колебание на отдельные волны, что затрудняет динамический анализ. А это предъявляет к ресурсам современных ЭВМ непомерно большие требования. Поэтому для изучения динамики волн в неоднородных поглощающих средах необходимо создавать алгоритмы расчета полного волнового поля, приспособленные к специфике сейсмических задач.

Цель и задачи тэаботы. Целью диссертации является разработка эффективных алгоритмов решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих полупространства и шара и проведение на их основе численного исследования динамических характеристик сейсмических волн в неоднородных неупругих средах с целью дальнейшего развития теории интерпретации в сейсморазведке и сейсмологии.

В соответствии с этим в диссертации рассматриваются следующие задачи.

1. Пространственная задача Лэмба для вертикально-неоднородного полупространства, заполненного средой Больцмана с экспоненциальными и произвольными функциями последействия для различных типов поверхностных и заглубленных источников (вертикальное воздействие, горизонтальная сила, диполь, центр давления, центр вращения, источники конечных размеров).

2. Задачи распространения сейсмических волн в произвольной радиально-неоднородной модели Земли, заполненной средой Больцмана с произвольными функциями последействия, для различных типов точечных источников, моделирующих землетрясения.

На основе разработанных численных алгоритмов составлен комплекс программ для ЭВМ БЭСМ-6 и проведено исследование физики распространения волн в неоднородных неупругих средах. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Г 321-[36]и приведены в отчете ВЦ СО АН СССР [371.

Научная новизна работы. В диссертации предложен и реализован численно-аналитический алгоритм решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред Больцмана с широким классом функций последействия, основанный на отделении пространственной и временной переменных и численном решении двупараметрического семейства краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений.

На основе данного подхода проведено численное моделирование для некоторых типичных сейсмологических моделей неоднородных неупругих сред.

Разработанные алгоритмы и программы решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред Больцмана чистично внедрены в Горьковском научно-исследовательском радиофизическом институте АН СССР.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном совещании «Численные методы обработки сейсмических наблюдений» (сентябрь 1979 г., Новосибирск), Международной школе «Численные методы интерпретации сейсмических данных» (октябрь 1980 г., Суздаль), Международном семинаре «Точные асимптотические и стохастические методы в геофизике» (март 1981 г., Ленинград), на семинарах Вычислительного центра СО АН СССР, ИГГ СО АН СССР, ИФЗ АН СССР.

Основные результаты численного моделирования кратко можно сформулировать следующим образом:

I. Исследованы нестационарные волновые поля, возбуждаемые различными типами поверхностных (вертикальная сила, горизонтальнал сила) и заглубленных (центр давления) источников для неупругого полупространства, дня различных моделей поглощения (Гуревича, Максвелла, Дерягина), а также для моделей сред с внутренней границей раздела и тонким слоем.

2. Исследована корреляционная зависимость доминирующих частот поперечных и продольных волн в зависимости от декрементов поглощения этих волн. Показано, в частности, что при д&/др> I доминирующие частоты поперечных волн ниже, чем у продольных.

3. Исследованы нелучевые явления, связанные со свободной поверхностью и границей раздела двух неупругих сред. При этом было обнаружено, что как в упругой, так и неупругой средах спектр нелучевой волны S* монотонно сдвигается в сторону низких частот при удалении источника от свободной поверхности или границы раздела двух сред.

4. Рассчитаны теоретические сейсмограммы для классической модели Земли (Буллена) и сложной неоднородной неупрутой модели среды, характерной для Восточной Сибири.

Заключение

.