Численные методы решения задач оптимального управления параболическими системами

Современные сложные, быстро протекающие и энергоемкие процессы неразрывно связаны с системами автоматического управления. Существуют такие процессы, которые в принципе не могут идти без соответствующей системы управления, так как по своей природе они являются неустойчивыми. В начале своего развития теория автоматического управления имела дело с наиболее простыми процессами, модель которых математически можно было описать обыкновенным дифференциальным уравнением или, по крайней мере, конечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Это так называемые системы с сосредоточенными параметрами.

Состояние таких систем в каждый момент времени иолиостыо описывается конечным набором чисел, а их изменение во времени соответственно описывается функциями времени. Системы автоматического управления объектами с сосредоточенными параметрами, особенно линейными объектами, уже относительно хорошо изучены [G5, 87, 94]. Практическая значимость решения задач оптимального использования ресурсов обусловила необходимость описания и управления системами, встречающихся на производстве. Например, проблема получения наилучших режимов работы агрегата (наивысшая производительность, минимальный расход сырья, энергии и т. д.) при заданных дополнительных ограничениях послужила причиной выработки надлежащего математического аппарата, который позволял бы определять оптимальные управляющие воздействия на объект. Наиболее существенными результатами в этом направлении для систем с сосредоточенными параметрами явились принципы максимума JI.C. Понтрягина [94] и метод динамического программирования Р. Беллмана [8].

Однако, в большинстве технических приложений суть объектов управления такова, что описание их небольшим конечным набором сосредоточенных переменных не соответствует той цели управления, которая поставлена применительно к каждому объекту. Основная особенность многих технических объектов состоит в том, что они имеют пространственную протяженность и их состояние невозможно характеризовать заданием изменения координат объекта лишь только во времени. Состояние таких объектов должно задаваться не только в каждый момент времени, но и в каждой точке той геометрической области пространства, которую занимает данный объект. Разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами является значительно более сложной проблемой, нежели аналогичная проблема для объектов с сосредоточенными параметрами. Такое положение дел объясняется следующими причинами.

Состояние объекта с распределенными параметрами описывается функциями нескольких переменных. Движение таких систем в широком смысле слова (динамика и статика) описывается дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений в частных производных, интегральными уравнениями, интегро-дифференциальными уравнениями, смешанными дифференциальными уравнениями в частных производных и более сложными функциональными уравнениями неограниченно сложного типа. Иногда управляемый объект или процесс может описываться системой уравнений различного математического типа. Управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами также могут носить самый разнообразный характер. Это могут быть отдельные точки, линии, поверхности, области и вообще многообразия довольно общего вида, сосредоточенные как на границе области задания объекта, т. е. входящие в граничные условия, так и внутри этой области. На управляющие воздействия и функции состояния объекта помимо основных уравнений объекта могут накладываться дополнительные ограничивающие условия типа равенств и неравенств гораздо более общего характера, но сравнению с сосредоточенными параметрами. Техническая реализация управляющих систем связана со значительно большими трудностями и проблемами новой технологии. Например, для создания системы стабилизации поля перемещений проводящей жидкости (плазмы) необходима специально сконструированная распределенная среда (распределительный регулятор), совмещающая в себе чувствительные элементы (датчики), преобразующие устройства и исполнительные органы в совершенно новом, необычном для систем регулирования сосредоточенными объектами виде. Также значительно более сложными являются проблемы оптимальности, управляемости и наблюдаемости, а также разработки методов и численного решения прикладных задач. По данной тематике опубликованы монографии и большое число научных статей отечественных и зарубежных авторов, среди которых [3, 4, 6, 7, 10, 15, 17, 20, 27, 30, 44, 45, 48, 49, 51−53, 59, 6365, 70, 71, 74, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 87, 94, 98,105,107,110,114−117]. Задачи управления для систем с распределенными параметрами даже в линейном случае недостаточно изучены, поэтому существующие работы по данному направлению посвящены исследованию конкретных задач оптимального управления [15,30,45,57,78,80,94,105]. При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления возникает проблема выяснения близости двух математических моделей, одна из которых рассматривается как возмущенная, но отношению к другой. При этом важно изначально знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям и иметь скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах [11, 20, 23, 25, 27, 30−36, 59, 74, 7G, 87, 89−92, 108,112| и многих других. Вопрос получения оценок и скоростей сходимости в настоящее время является актуальным. Для численного решения устойчивых задач важно выбрать, сконструировать эффективные методы и аппроксимации, с целыо сокращения времени вычисления. Последнее особенно актуально при разработке систем управления с обратной связью, работающих в режиме реального времени.

В данной работе рассматривается задача оптимального управления процессом с распределенными параметрами, связанного с распределением тепла при заданных ограничениях. Она связана с диффузионными процессами, которые широко применяются в основных отраслях промышленности: металлургической, химической, машиностроительной (термообработка) — и в целом ряде других отраслей промышленности и технике вообще. Системы подобного рода применимы к широкому классу процессов: поточные производственные процессы, нагрев металла в методических и проходных печах перед прокаткой и в процессе термообработки, получение заданных распределений температуры в «толстых» слитках, выращивание монокристаллов, сушка и обжиг сыпучих материалов, агломерация и т. д.

В настоящее время актуальными являются такие задачи, как сушка и прокалка сварочных электродов большой длины (до 500 метров), длительного хранения их в подогретом состоянии (50° — 400°С) — управление нагревом образцов при проведении испытаний для космической промышленностиинтенсификация процесса прокаливания нефтяного кокса в камерных печахохлаждение труднодоступных деталей машинразличные задачи управления интенсификацией процесса прокаливания, которые широко применяются в промышленности для упрочнения и восстановления деталей, а также общепромышленной арматуры и т. д. Большое значение имеет задача нагрева тел большой массы. Одной из целей такого нагрева является получение заданного распределения температуры, но массе. В этом случае ограничения соответствуют тому факту, что в проходных нагревательных агрегатах недопустимы слишком большие значения амплитуды колебания температуры греющей среды и перепады температуры по длине печи. В этом случае нужно определить управление, удовлетворяющее ограничениям, так, чтобы несмотря на всевозможные возмущения процесса нагрева, вызванные как изменением скорости, так и изменением теплофизических параметров процесса, уклонение выходящего из печи материала от заданной температуры было бы минимальным.

Многие задачи автоматического управления, оптимального проектирования, математического программирования можно формулировать как задачи минимизации функционала, зависящего от управления и и от состояния системы w = Gu :

J (и) = Ф (С7и, и) inf, ueU С Я, где U— множество допустимых управлений из некоторого выбранного пространства Я, a G: Я -«• W— отображение из пространства управлений Я в пространство состояний системы. Возмущенные задачи представляются в виде аналогичной последовательности задач минимизации:

JN (u) = Фм (Сми, и) inf, и 6 UN С HN, N = 1,2,., где Un, N = 1, 2,.— приближенные множества из аппроксимирующих пространств #/v, N = 1,2,.- Gn ' Wn, N = 1, 2,. возмущенные отображения. Параметр N определяет возмущения, связанные с приближенностью модели и исходных данных задачи. Эти возмущения могут быть вызваны неточностью информации о коэффициентах уравнений, малостью некоторых параметров в уравнениях, аппроксимацией уравнений и функций, задающих множество допустимых управлений. В такой постановке охватываются возмущения и аппроксимации как одной природы Яjv С Я. Решением невозмущенной задачи является минимальное значение функционала и множество оптимальных элементов:

Г = inf J (u), U* = {ueU: J (u) = J*}. uGU.

Проблема устойчивости и аппроксимации заключается в исследовании условий сходимости приближенных решений возмущенных задач, т. е. u*N € Un, N = 1,2,. (приближенных оптимальных элементов): inf J (и) = J*N < Jn{u*n) ^ J*n + ?n, ?n -> 0, N -" 00, к решениям исходной, предельной задачи по функционалу:

JN (u*N) -" J* (Jh Л, N оо и по управлению: u]v -«?/*, iV оо.

Первые результаты по общим условиям сходимости, в том числе для конечпоразностных аппроксимаций, были получены в работах Б. М. Будака, Е. М. Берковича, Е. Н. Соловьевой [11,13] и Ю. М. Ермольева, В. П. Гуленко, Т. И. Царенко [33−30]. В них были иолучеиы общие условия сходимости по функционалу, а для сходимости по аргументу использовался метод регуляризации А. Н. Тихонова [107]. В дальнейшем эта методика развивалась во многих работах [5, 9, 12, 16, 21, 22, 88, 95, 122] Условия устойчивости и аппроксимации применительно к различным конкретным системам с сосредоточенными и с распределенными параметрами исследовались в работах [1,42,46,50,62,77,79,95,100]. Для параболических систем данные исследования проводились в работах [18, 26, 42−44, 57, 60, 61, 69, 77−79, 93,114,118]. В теории бесконечномерной оптимизации, в частности, в задачах оптимального управления, известные методы, например, градиентные, дают обычно слабую сходимость по управлению. Поэтому одной из важных проблем является разработка устойчивых численных методов с сильной сходимостью по управлению. С этой целью применяются различные регуляризирующие методы (см., например, [3, 6, 20, 27, 59,107, 117]). В настоящей работе этой проблематике уделено большое внимание, в ней предлагаются методы решения класса выпуклых задач с ограничениями типа неравенств с сильной сходимостью по аргументу. Отметим, что в случаях некоторых практических задач, даже при естественных аппроксимациях, сходимости по функционалу или по управлению может и не быть.

В прикладных задачах, которые являются неустойчивыми, некорректными, приближенность информации о задаче и ее входных данных дает отрицательный ответ, но вопросам этих сходимостей. Поэтому для численного решения таких задач является актуальной разработка специальных аппроксимаций с использованием метода регуляризации [3, 6, И, 23, 36, 65, 73, 92, 93, 107, 108]. В этих случаях с успехом можно применять методы коиечиоразиостной аппроксимации для уравнений в частных производных. Одним из эффективных методов решения задач оптимального управления является метод моментов. Впервые он был применен Н. Н. Красовским к задачам перевода системы в заданную точку для систем, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями [G5-G8]. В дальнейшем метод моментов был развит и применен к решениям задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в работах А. Г. Бутковского [15], А. И. Егорова [30], М. М. Потапова [20] и др. Следует заметить, что во многих практических задачах точных перевод в заданное конечное состояние невозможен. В таких случаях естественно ставить задачу о переводе системы, как можно ближе к заданному конечному состоянию. Для решения такого рода задач в работах А. З. Ишмухаметова [45,48,49,52,53] был разработан новый метод решения задач оптимального управления, а именно: двойственный метод как обобщение проблемы моментов.

Данная диссертационная работа посвящена рассмотрению численных методов, направленных на решение этих вопросов, для задач оптимального управления процессами, описываемыми уравнением теплопроводности с управлением на границе и в правой части при заданных ограничениях на управления.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1) Построены устойчивые методы для решения задач минимизации терминального квадратичного функционала на решениях параболической системы с двумя управлениями на границе и в правой части уравнения при ограничениях на управления типа неравенств. В частности, для задачи с целевым квадратичным функционалом применяется регуляризованный двойственный метод. Выведены условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

2) Разработаны конечношаговые методы проекции и условного градиента с использованием копечиоразностных аппроксимаций. Построенные численные методы связаны с методом проекции градиента с конечношаговыми внутренними процедурами. Для вычисления проекции применяется двойственный регуляризованный метод.

3) Для решения задач, связанных с уравнением теплопроводности и его конечноразностной аппроксимацией построен метод на основе регуляризации, обобщенного метода моментов и двойственного метода. Выведены условия и оценки сходимости решений разносного уравнения к решению исходного уравнения, условия и оценки сходимости по функционалу и по управлению.

4) Разработанные методы апробированы вычислительными экспериментами.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируются на известных достижениях в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами. Все доказательства теорем являются строгими и основаны на математическом и функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений и выпуклом анализе.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы в математической теории управления и ее приложениях. Предлагаемые в работе методы могут служить эффективными методами решения конкретных прикладных задач оптимального управления параболическими системами. Быстрота сходимости и малость времени счета говорят о применимости предложенных в данной работе методов в реальных системах автоматического управления с обратной связью.

Результаты, полученные в настоящей работе обсуждались на семинаре отдела методов нелинейного анализа ВЦ им. Дородницына РАН. Основные результаты диссертации содержатся в работах [24,38−41].

Автор выражает признательность за руководство данной работой и благодарит д.ф.м.н., проф. А. З. Ишмухаметова, а также участников семинара отдела методов нелинейного анализа: гл. научного сотрудника Гребепикова Е. А., д.ф.м.н., проф. Дикусара В. В., д.ф.м.н. Березнева В. А. и др.

Также автор искренне благодарит оппонентов данной работы: д.ф.м.н. Знаменскую JI.H. и д.ф.-м.н. Дикусара В.В.

Заключение

.