Аксиоматическая теория идентификации динамических систем

2.1. Вспомогательные построения.46.

2.2. Конструкции идентификационного пространства.51.

2.3. Геометрические свойства семейства сигнальных функций.56.

2.4. Структура идентификационного базиса.62.

2.5. Геометрия максимальных идентифицируемых подмножеств в (1(Н, Х), 3Л).69.

Основные результаты и выводы.73.

3.1-ПРОЦЕСС И ПРОБЛЕМА РЕАЛИЗАЦИИ В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ДИНА]УШЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ.

Введение

75.

3. Ь Постановки задач.76.

3.2. Эквивалентность представления моделей. Существование сильной неопровергнутой (АЗ)-модели.81.

3.3. Необходимые и достаточные условия идентифицируемости.90.

3.4. Существование и единственность сильной неопровергнутой (А, В)-модели с заданной формой аналитического представления.96.

3.5. Решение задачи регуляризации в классе пассивных стационарных моделей.105.

3.6. Анализ прямых алгоритмов параметрической идентификации с позиций выбора структуры идентификатора, геометрии 1-базиса и семейства сигнальных функций.107.

Основные результаты и выводы.112.

4. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ 1-ПРОЦЕССА В КЛАССЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ НОРМАЛЬНО-ГИПЕРБОЛИ.

ЧЕСКОГО ТИНА.

Введение

116.

4Л. Определения и основные положения. Формулировки стандартных" задач.117.

4.2. Вспомогательные построения.120.

4.3. Основные теоремы.133.

4.4. Спектральная наблюдаемость волнового динамического процесса.143.

Основные результаты и выводы.149.

5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ПОРЯДКОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВОЙСТВ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ.

Введение

152.

5.1. Постановка задач.153.

5.2. Вспомогательные построения.155.

5.3. Теорема о расширении (А, В)-множества. Некоторые следствия для множества наблюдений со специальной структурой.160.

5.4. Дополнительные определения и утверждения.170.

5.5. Характеризация обыкновенного пласта над счетным множеством наблюдений.177.

5.6. Некоторые свойства в случае суш, ествованмя обыкновенного пласта.180.

Основные результаты и выводы.184.

6. ПОСТРОЕНИЕ СИЛЬНЫХ {А, В)-МОДЕЛЕЙ С МИНИМАЛЬНОЙ.

ОПЕРАТОРНОЙ НОРМОЙ Введение.187.

6Л. Предельные представления реализаций сильных (А, В)-моделей.188.

6.2. Задача идентификационной аппроксимации линейной нестационарной конечномерной модели.195.

6.3. Представление реализации в классе C (T, L (R", R"))xC (T, L (R" ', R")).201.

6.4. Сходимость конечномерной аппроксршации.205.

6.5. Ослабление условий равномерной сходимости (А, В)-ААоделей с применением процедуры конечномерной аппроксимации.210.

Основные результаты и выводы.211.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

215.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 225.

0Д.

Актуальность темы

исследований. Общая теория идентификации в целом достаточно обширна и продолжает быстро расти [63]. В последнее десятилетие заметно повысился интерес специалистов по теории систем к глобальным и нелинейным аспектам двух основных задач, возникающих в качественной теории идешификации: задаче реализации и задаче классификации при расширении традиционных классов моделей, используемых для описания реальных объектов (системы на дифференцируемых многообразиях [10], системы над кольцами [4,81,83,88] и т. п.) с привлечением к ним классических результатов 5,39,43, 55]. Поворот этот, прежде всего, выразился в интенсивном привлечении современного математического аппарата геометрии гладких многообразий, векторных расслоештй, алгебры и топологии. Остановимся кратко на существе вьщеленных задач.

Проблема реализации — сравнительно недавно возникшее научное направление. Как самостоятельная ветвь «общей теории идентификации, она сформировалась за последние 20−30 лет и заняла [59] одно из центральных мест в качественных исследованиях математической теории систем. Сошлёмся в области автономных систем на работы Н. Еругина [44], Я. Виллемса [13], А. Шафта [10], Я, Шумахера [125], Э. Дружинина и А. Дмитриева [40,42], обзор Б. Якубчика [109,110], классическую монографию П. Эйкхоффа [91], а также литературу, указанную в них, и для неавтономных систем на монографию Р. Калмана, П. Фалба, М. Арбиба [47] и работы В. Солодовникова, В. Дмитриева и И. Егупова, обобщенные в их монографии [75]. Существо проблемы заключается в том, чтобы для заданного отображения «вход-выход» (ишогда определенного в виде ряда Вольтера [62,96,108] или в форме порождающего степенного ряда [103, 108]) построить некоторое многообразие, называемое (минимальным) пространством состояний, начальное значение (из указанного многообразия) и систему типа «вход-выход», эволюционирующую на этом многообразии и имеющую такое же отображение «вход-выход» как исходное. Таким образом, «задача реализации, это просто абстрактная формулировка научного подхода к построению моделей» [47, с. 21].

Проблема классификации также является в настоящее время достаточно стащ1артной областью исследования. В точной формулировке проблемы клас-сификащщ существенно свойство эквивалентности, которое, как правило, определяется некоторой группой преобразований (соответствующие понятия вводятся и исследуются на языке современной алгебраической геометрии [43]). Множество классов эквивалентности при определенных ограничениях представляют собой так называемое многообразие модулей. В рамках теории систем некоторые аспекты проблемы классификации были сформулированы и изучены Р. Калманом [113] и М. Хазевинкелем [105,106] а затем К. Бирнсом [97,99,100], Н. Хартом [98], А. Таненбаумом [126] и др. Ясно, что само многообразие модулей систем зависит от определения эквивалентности, т. е. от действующей группы преобразований (полной линией группы преобразования координат [83], полной группы обратной связи [4] и т. д.).

Связать эти две проблемы, а именно, исследовать теоретико-прикладные задачи проблемы реализации методами классификации, составляет одну из основных целей данной диссертационной работы.

Другая цель работы — продвинуться в направлении решения следующей методологической проблемы. Она, по-видимому, впервые была поставлена на 2-ом симпозиуме 1РАС «Идентификация и оценивание параметров» в 1970 г. (Прага) в обзорной работе К. Острема и П. Эйкхоффа [93], в которой отмечалось, что широта предмета и количество разделов идентификации как теории стали приводить в замешательство даже специалистов в данной области теории систем. Авторы указали, что весьма желательно провести в этой области некоторую унификацию'. Эта мысль представлялась вполне уместной, поскольку излишняя разнородность усилий исследователей мало способствовала прогрессу практических приложений идентификации. Но даже более десяти лет спустя Эйкхофф в своей аннотации [76, с. 9] на работу В. Петерки [76, с. 278] был вынужден констатировать: «Автор доказывает, что данный метод оценивания можно рассматривать как средство, способное превратить идентификацию в самостоятельную теорию с формальными структурами. Когда такое состояние будет достигнуто и получено отчетливое представление о предмете, решение частных задач идентификации окажется возможным находить с помощью дедукции без каких-либо специальных методов. Очень воодушевляющая перспектива !» Через 5 лет (после этой констатации) автору диссертации удалось получить первые результаты [67−69] в этом направлении, причем в отличие от подхода, предложенного Петерки и основанного на построении универсального метода идентификации («Байесовской подход к идентификации» [76]), в [67] был предложен по суш-еству аксиоматический подход к данной проблеме. При этом основной принцип, заложенный в аксиоматику, состоял в использовании понятий пространства и структуры, как методологического средства, позволяющего формально пояснить вопросы, связанные с интуитивным пониманием слов идентификация и идентифицируемость. В соответствии с этим основное внимание автора было обращено, прежде всего, к рассмотрению теоретико-множественных конструкций с использованием структуры равномерности [6,50] как прототипа последующих, поскольку общая топология достигла того наиболее естественного уровня обпщости, который позволяет излагать топологические принципы, концепции и конструкции с наибольшей прозрачностью и одновременно обеспечивать им максимально широкое приложение в других специальных областях.

Здесь следует заметить, что аксиоматический подход в истории уже неоднократно зарекомендовал себя (аксиоматика, как результат индукции, обобщения примеров, дедукцией помогает «экономно обслуживать» не только ранее рассмотренные задачи, но и видеть новые [6,47,57,59,60]).

Существует также ряд сугубо практических соображений (помимо естественного стремления обобщить известный «конечномерный факт»), мотивировавших в диссертации углубленное развитие общей методологии идентификации математических моделей динамических объектов с уравнениями состоя 1шя в бесконечномерном векторном пространстве [92], хотя объекты в конечномерном варианте также интенсивно изучаются (см. обзоры [51,61,76]).

Одно из них заключается в том, что появляется возможность (есть надежда) выявить дескриптивный характер качественного отличия идентифицируемых математических моделей конечнои бесконечномерных динамических объектов от неидентифрпщруемых, опираясь исключительно на алгебраические и топологические свойства их фазовых траекторий. Это важно, так как даже для автономных объектов [40−42] такое различие играет определяющую роль при выделении класса моделей, идентифицируемых на одном частном решении (траектории), и алгоритмизации процедуры формального (в смысле определения работы [67]) идентификационного процесса (1-процесса).

Другое соображение, далеко не столь очевидное, состоит в том, что язык то-полого-алгебраических структур семейств сигнальных функций и 1-базисов, развитый в диссертации, делает возможным подход к тому, что, без преувеличения, можно было бы назвать первой проблемой общей теории идентификации: нахождение наиболее сильной неопровергнутой модели, объясняющей заданное множество наблюдений (моделируемых явлений). Иными словами, концептуальная сторона проблемы заключается в построеьши (в заданном классе динамических систем) характеристического признака «принципа Поппера"Л [121], так как в большинстве приложений отсутствие согласованности между данными и моделью возникает, прежде всего, не по причине случайности или шума измерения, а благодаря сознательному использованию «удобной» моде.

Поппер (Popper) Карл Раймонд — философ, логик, социолог, представитель аналитической философии. Выдвинул принцип фальсификации «опровержимости», согласно которому критерий научности теории определяется возможностью ее опровержения опытом. ли, структура которой, как правило, априори не позволяет охватить природную сложность наблюдаемого физического процесса. Таким образом, аксиоматический подход к теории идентифжации для динамических систем позволяет строго (в рамках математического формализма) ставить и решать задачи «структурной идентификации» [18- 91, сс. 7,26].

0.2. Краткое содержание диссертации. В диссертации 6 глав, каждая из которых начинается с введения, разделяется на параграфы и заканчивается кратким подведением итогов с указанием возможных перспектив развития рассмотренных в ней вопросов.

Результаты работы и перспективы дальнейших исследований.

1. В рамках концепции «черного ящика» предложены и исследованы элементы математических основ теории идентификации сложных динамических систем. При этом особое внимание уделено анализу структур типа топологии и равномерности, возникающих в пространстве отображений, содержащем модель исследуемой динамической системы. Пол5Д1енные теоремы позволяют в терминах этих структур формулировать необходимые и достаточные условия для существования модели входных воздействий, разрешающей вопрос об апостериорном распознаваьши математической модели исследуемой динамической системы.

В круг проблем, требующих (на взгляд автора) своего развития в рамках то-пологЕиеской концепции «черного ящика», можно включить:

— построение теории 1-процессов в предположении, что Л-модель является многозначным отображением;

— развитие теории вдентификационной размерности на основе использования аппарата кардинальиых функций и конструкций топологического веса, характера и плотности пространства 2,-моделей;

— исследование поведений факторных отображений на фактор-пространствах максимальных идентифицируемых подмножеств.

2. Построены основные математические конструкции геометрического универсума качественной теории идентификации математических моделей линейных управляемых динамических систем с уравнениями состояния в бесконечном банаховом пространствепри этом:

— показано, что семейства сигнальных фзпкций характеризуются классами обычных лебеговых функциональных пространств Ьр;

— доказаны теоремы о сепарабельности рефлексивности и замкнутости максимальных 1-базисов в топологии пространств входных сигналов;

— описана тополого-алгебраическая структура максимальных идентифицируемых подмножеств в идентификационном пространстве, как семейств топологических векторных пространств с топологиями поточечной сходимости на I-базисах.

К проблемно-методологическим задачам, ожидающим своего решения в рамках общей теории 1-процессов в классе линейных непрерывных управляемых динамических систем с уравнениями состояния в общем банаховом пространстве (не обязательно сепарабельном и равномерно выпуклым), следует отнести:

— развитие теории в предположении, когда наблюдается выход у (1)=С (1)х (1), где С — оператор «наблюдателя», а х — вектор состояния;

— построение теории сильных (А, В)-моделей;

— определение идентификационных инвариантов на семействах максимальных идентифицируемых фактор-пространствах (А, В) — и л-моделей.

3. Установлено, что общепринятая классификация методов и алгоритмов апостериорного построения моделей в рамках предложенной в диссертации теории 1-процессов сводится к заданию той или иной структуры 1-базиса, а также выбора того или иного подмножества семейства сигнальш>1Х функцийпри этом:

— сформулированы и доказаны необходимью и достаточные условия существования сильной неопровергнутой (А, В)-модели;

— для заданного характеристического элемента 1-процесса и произвольного фиксированного конечномерного подпространства А-моделей определены и доказаны необходимые и достаточные условия псевдо-идентифицируемости точек этого подпространства;

— для фиксированного класса конечномерных подпространств пространства А-моделей определены и доказаны необходимые и достаточные условия существования характеристического элемента 1-процесса, для которого все точки данного подпространства псевдо-идентифицируемы.

В области качественных исследований теории 1-процессов в классе непрерывных конечномерных динамических систем остаются нерешенными многие интересные постановки и проблемы, к числу самых привлекательных из которых, автор отнес бы следуюпще:

— описание аналитических условий существования характеристического элемента 1-процесса порожденного нестационарной (А, В)-моделью, и такого, что данная (А, В)-модель будет идентифицируемой в содержащем ее фиксированном конечномерном подпространстве пространства (А, В)-моделей с 1-базисом, индуцированным элементом х;

— построение признака, характеризующего произвольный набор пар «траектория, управление» как подмножества из класса допустимых решений некоторой (А, В)-модели, принадлежащей фиксированному, в частности, конечномерному, собственному подпространству пространства (А, В)-моделей;

— развитие теории 1-процессов для нелинейных дифференциальных систем с линейно-параметрической правой частью.

4. В терминах конструкций 1-процесса поставлена и исследована задача о нахождении конечного числа элементов спектра эллиптического оператора управляемого объекта, динамика которого описывается линейной моделью нормально-гиперболического типапри этом:

— получены теоремы, характеризующие тополого-алгебраическую структуру 1-базиса в идентификационном процессе 5,-моделей линейного управляемого объекта с уравнениями состояния в пространстве Фреше, из которых, в частности, следует, что время любого прямого вычислительного метода идентификации спектральных характеристик модели динамического объекта нормально-гиперболического типа в принципе ограничено по продолжительности лишь техническими возможностями измерительной и вычислительной аппаратуры;

— в терминах конструкций 1-базиса дж заданного целого Пщах и фиксированной линейной нормально-гиперболической модели определены условия существования волнового динамического процесса, спектрально наблюдаемого до шдекса пЛах;

— для волнового динамического процесса, представляющего обобщенное решение нормально-гиперболической модели и спектрально наблюдаемого до некоторого индекса, определена численная процедура вычисления величин этого индекса Пшах и Пщах различных собственных чисел элементов спектра эллиптического оператора данной модели.

В плане дальнейших продвижений в решении общей проблемы идентификации спектральных характеристик динамического объекта нормально-гиперболического типа, не вызывает сомнений актуальность рассмотрений следую-пщх вопросов:

— учет влияьшя диссипации;

— определение аналитических характеристик волнового динамического процесса а-наблюдаемого в спектре;

— выбор геометрии идеальных измерителей, гарантирующей свойство спектральной наблюдаемости с индексом п (или а-наблюдаемости).

5. Изучены геометрические и порядковые характеристики свойств существования сильных (А, В)-моделей, идентифицируемых над множеством наблюдаемых динамических процессов (набором пар «траектория, управление») со счетным числом элементовпри этом:

— получены достаточные условия для элементарного алгебраического расширения линейного (А, В)-множества со счетным базисом Гамеля с сохранением (А, В)-свойства;

— доказана эквивалентность математических конструкций распределенного и обыкновенного пластов над множеством наблюдений со счетным числом в классе пассивных решений линейных непрерывных управляемых конечномерных динамических систем;

— в терминах конструкций максимальных вполне упорядоченных гнезд получены теоремы существования сильных (А, В)-моделей.

Автор считает, что дальнейшие возможные шаги в области исследований геометрических и порядковых характеристик свойств существования сильных (А, В)-моделей могут быть сделаны в направлении;

— построения в терминах семейств сигнальных функций, индуцированных конструкцией некоторого порождающего элемента 1-процесса х, характеристического признака для элементарного алгебраического расширения элементом % произвольного, фиксированного, линейного (А, В)-множества со счетным базисом Гамеля с сохранением (А, В)-свойства;

— выделения классов алгебраически замкнутых множеств наблюдаемых дина-Аfflчecкиx процессов (пар «траектория, управление»), для которых конструкции обыкновенных и распределенных пластов эквивалентны;

— определения аналитической структуры для вида правой части дифференциальной системы, порождаемой (в задаче реализации) конструкцией произвольного фиксированного распределенного пласта.

6. В терминах конструкций 1-процессов исследованы вопросы существования и построения сильных неопровергнутых (А, В)-моделей с минимальной операторной нормой в пространстве А-моделейпри этом:

— получены теоремы о необходимых и достаточных условиях существования реализаций с минимальной операторной нормой в зависимости от аналитических структур пространств входтгх и выходных сигналов;

— найдены необходимые и достаточные условия, определяющие для произвольного конечномерного подпространства л-моделей отклонение конечномерной аппроксимации (в структуре этого подпространства) в норме пространства л-моделей от реализации л-моделей с минимально нормой;

— сформулированы и доказаны теоремы сходимости конечномерной аппроксимации (А, В)-модели к физически реализуемой (А, В)-модели.

Теоретико-прикладными задачами следующего этапа развития теории 1-про-цессов применительно к проблеме аппроксимации конечномерными идентификационными моделями могут стать различные обобщения и интерпретации задачи конечномерной аппроксимации л-моделей в рамках теории полиномиальных операторов, интервальных алгебраических (операторных) уравнений, быстрых преобразований Фурье, Уолша, Хаара.

Следует также отметить, что на Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» 81СРК0'2000 (Москва, 2000 г.) [63] в рамках построеьпюго в диссертации аксиоматического подхода к ОТИ выдвинут проект [73], ставящий целью формализацию идентификационных процессов, связанных с понятиями апостериорного моделирования структуры исследуемой динамической системы (система трактуется экзогенно, т. е. в конструкциях определения 1.8 [47, с. 20], термин структура понимается в смысле Бурбаки). Предложенный в проекте теоретико-модельный подход «дифференцирует» проблему структурной вдентификации на пять областей исследований, упорядоченных (между собой) дедуктивным процессом «принятия решений». Сами области, в соответствии с указанным порядком, терминологически можно обозначить так: первая — «анализ типов», вторая — «синтез типов», третья — «анализ представлений», четвертая — «синтез представлений», пятая — «конструирование»:

— задачи «анализа типов» должны в терминах математических дефиниций ключевых признаковых универсалий определять тип структуры, имманентной дршамической системе, «обслуживающей» предъявленные наблюдения в виде пар «траектория, управление» (в интерпретации Бурбаки типу структуры отвечает ее род);

— задачи «синтеза типов» обязаны выявлять условия сохранения ранее установленного типа структуры моделируемого динамического объекта при расширении апостериорной информации;

— задачи «анализа представлений» призваны определять вид структуры (этот термин необходимо воспринимать, как сужение типа структуры на фиксированный класс математических моделей с конечной идентификационной размерностью);

— задачи «синтеза представлений» предназначены описывать инвариантность идентифицированного вида структуры по отношению к расширению апостериорной информации;

— постановка «конструирование» предполагает манипулирование (в идеалеоптимизацию) численными значениями свободных параметров в рамках той структуры, которая зафиксирована результатом решений четырех предыдуш, их задач.

Все перечисленные выше результаты и возможнью перспективы их развития указывают на наличие тесной взаимосвязи между глобальными тополого-алгеб-раическими свойствами пространств непрерывных управляемых систем, а также их реше1шями и важнейшими теоретическими вопросами идентификации математических моделей этих систем. Автор надеется, что намеченный в диссертации путь фундаментальных исследований по теории 1-процессов перекинет новый мост между общей и прикладной теориями систем в области математического моделирования сложных динамических объектов.

Таким образом, в диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. В рамках концепции «черного ящика» предложены и исследованы математические основы общей теории идентификации динамических систем. При этом особое внимание уделено анализу структур типа топологии и равномерности, возникающих в пространстве отображений, содержащем математическую модель исследуемой динамической системы, и позвол5пощих формулировать необходимые и достаточные условия существования множества входных сигналов, разрешающего вопрос об апостериорном распознавании математической модели указанной динамической системы.

2Т—г и и О Построен универсальный математический аппарат качественной теории идентификации математических моделей линейных динамических систем управления с уравнениями состояния в банаховом пространствепри этом:

— показано, что семейства сигнальных функций характеризуются классами лебеговых функциональных пространств Ьр;

— доказаны теоремы о сепарабельности, замкнутости и рефлексивности максимальных 1-базисов в топологии пространства входных сигналов идентификационного процесса, порождённого его характеристическим элементом;

— описана тополого-алгебраическая структура максимальных идентифицируемых подмножеств, как семейств топологических векторных пространств с топологиями поточечной сходимости на 1-базисах.

3. Установлено, что общепринятая классификация методов апостериорного построения линейных конечномерных дифференциальных систем управления в рамках теории 1-процессов сводится к заданию структуры 1-базиса, а также выбора подмножества семейства сигнальных функцийпри этом:

— определены и доказаны необходимью и достаточные условия существования сильной неопровергнутой (А, В)-модели;

— для характеристического элемента 1-процесса и произвольного фиксированного конечномерного подпространства Л-моделей получены необходимые и достаточные условия псевдо-идентифицируемости этого подпространства;

— доказана теорема о существовании конечного числа пар «траектория, управление», обеспечивающих идентифицируемость пространства Л-моделей.

4. В терминах конструкций 1-процесса исследована задача о нахождении конечного числа элементов спектра эллиптического оператора объекта управления, динамика которого описывается линейной моделью нормально-гиперболического типапри этом:

— получены теоремы, характеризующие тополого-алгебраическую стрзтстуру 1-базиса в идентификационном процессе Л-моделей линейного объекта управ-лершя с уравнениями состояния в пространстве Фреше;

— в терминах конструкции 1-базиса для заданного целого пЛах определены условия существования волнового динамического процесса, спектрально наблюдаемого до индекса Пищ;

— для волнового динамического процесса, представляющего обобщенное решение нормально-гршерболической модели и спектрально наблюдаемого до некоторого индекса, определены численные процедуры вычисления величины этого индекса Пщк и Пщк различных собстве1шых чисел элементов спектра эллиптического оператора данной модели.

5. Изучены геометрические и порядковые характеристики свойств существования сильных (А, В)-моделей, реализуемых над множеством наблюдаемых динамических процессов со счетным числом элементовпри этом:

— доказана эквивалентность математических конструкций распределенного и обыкновенного пластов в классе траекторргй с нулевым управлением;

— в терминах конструкций максимальных вполне зпорядоченных гнёзд получены теоремы существования сильных (А, В)-моделей;

6. Исследованы вопросы существования и построения сильных неопровергну-тых (А, В)-моделей с минимальной операторной нормой — при этом:

— получены необходимые и достаточные условия существования реализаций (А, В)-моделей с мршимальной операторной нормой в зависимости от метрических структур пространств входных и выходных сигналов 1-процесса;

— построена аналитическая оценка ошибки при конечномерной аппроксимации Л-модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе изложен аксиоматический подход в теории идентификации, позволяющий с позиций едЕпных предположений и единого понятийного базиса ставить и решать задачи общей теории идентификации (ОТИ), ориентированные на качественный анализ методов и алгоритмов апостериорного построения математических моделей сложных динамических систем по результатам наблюдения их функционирования. Предложенный подход, названный теорией I-процессов, отличается от известных (ориентированных, в основном, на систематизацию и унификацию существующих в ОТИ методов) универсальностью своей теоретико-множественной модели, охватывающей основной класс проблемно-методологических задач ОТИ и допускающей весьма компактную форму их постановки. Разработанная в работе теория 1-процессов позволила осуществить в рамках строгого математического формализма принципиальное решение следующих центральных задач ОТИ:

A. Выбор множества входных воздействий, гарантирующего, что математическая модель любой исследуемой динамической системы из фиксированного класса моделей будет идентифицируема при определенных предположениях о возможностях наблюдения их реакций.

Б. Формирование диагностического теста для заданной динамической системы.

B. Построение максимальных идентифицируемых подмножеств, как топологических или линейных топологических пространств, в фиксированном семействе математических моделей при заданном множестве входных воздействий.

Г. Определение для динамической системы, представленной апостериори обобщенным графиком (набором пар «траектория, управление») в произведении пространств входных и выходных сигналов, ее соответствия фиксированному классу математических моделей динамических систем («структурная идентификация»).

Д. Разработка эффективных методик идентифшсационных процессов.

Для систематического изложения математических основ ОТИ (на примере решения задач А-Д) предложены унифицированные теоретико-множественные конструкции, отражающие основные понятия и свойства известных идентифицированных процессов: 1-процесс, 1-классификация, идентифицированное пространство, 1-базис, идентификационная размерность, Л-модель, (А, В)-модель, семейство сигнальных функций, сильная (А, В)-модель (сильная не опровергнутая (А, В)-модель), распределенный и обыкновенный пласты над множеством и и и и -1—г наблюдений, реализация с минимальной операторной нормой. При этом в приведенных выше терминах и конструкциях сформулированы и изучены такие общие методики построения идентификационных процессов как, технология «вход-выход» и конечномерная аппроксимация 2,-модели.