Фильтр типа Калмана-Бьюси в случае вырождения шумов в наблюдениях

Как отмечено в решениях ХХУТ съезда КПСС и в раде постановлений ЦК КПСС и Совета Министров СССР, одним из важнейших направлений технического прогресса является разработка и практическое применение вычислительных систем автоматического управления техническими объектами и технологическими процессами, проведение теоретических исследований, направленных на развитие методов и средств автоматазащи и механизации. Основные выводы прикладных теорий должны быть научно обоснованы с применением аппарата фундаментальных наук.

Современное, состояние теории автоматического регулирования и оптимального управления, являющейся теоретической базой автоматизации технологических процессов и технических систем, характеризуется развитым аппаратом математических методов анализа и синтеза сложных динамических объектов и управляющих устройств.

Научный и технический прогресс в последние десятилетия выявил круг новых задач в области автоматизации и стимулировал интерес к современной статистической теории управления.

Современные теоретические методы анализа и синтеза автоматических систем довольно разнообразны, обладают различными возможностями, требуют различного уровня автоматизации. Среди этих методов всё большее значение приобретают теоретиковероятностные методы исследования, основанные на теории случайных процессов.

Теория фильтрации и управление динамическими системами в стохастической ситуации — один из наиболее интенсивно развиваю.

— sщихся за последние два десятилетия разделов современной теории управления.

В 60-х годах появились работы Р. Калмана и Р. Бьюси, посвящён-ные проблеме построения линейных оценок вектора состояния динамической системы, описываемой стохастическими дифференциальными уравнениями, со случайной аддитивной добавкой типа стандартного белого шума. Наряду с системой рассматриваются наблюдения, линейно зависящие от вектора фазовых переменных, со случайным шумом. В предположении положительной определённости матриц интенсивнос-тей шумов выведены уравнения оптимального фильтра Калмана-Бьюси. Оптимальность линейной оценки понимается в смысле минимума её.

Рассмотренная задача принадлежит области оценивания параметров стохастических систем и управления ими.

Новизна подхода Калмана к построению оценки состояния динамических систем при наличии случайных помех заключается в комбинации двух известных идей: динамическая система рассматривается как перемещение в пространстве наблюдений и линейная оценка строится как проекция в гильбертовом пространстве. Такой подход к задаче привёл к принципу двойственности (Ш ,[зе]), связывающему стохастическую теорию фильтрации с детерминированной теорией оптимального управления, который позволяет переносить результаты одной теории на другую.

В отличие от ранее предложенного фильтра БинераКолмогорова метод Калмана-Бьюси учитывает также свойства исследуемой системы путём введения в уравнения фильтра уравнения динамики системы.

Вычислительная ценность алгоритма фильтра Калмана-Бьюси среднеквадратичного уклонения.

— бобусловлена его реккурентной формой, что удобно для применения ЭВМ. Поступающие вновь результаты имзмерений обрабатываются сразу и не нуждаются в дальнейшем хранении в памяти машины.

Алгоритм Калмана-Быоси тесно связан с задачами предсказания и сглаживания, которые подробно изложены в .

К недостаткам метода можно отнести применимость его, в основном, к линейным системам, тенденцию к расходимости, довольно значительный обьём вычислений. Также для построения оценки требуется априорное знание статистических характеристик помех, что не всегда бывает доступно.

Важным аспектом решения задачи линейной фильтрации является обстоятельный анадиз статистических характеристик шумов. Большой практический интерес представляют исследования задач в случае окрашенных шумов, (LA Л 37], [32]).

Актуальную задачу представляет собой построение оптимальных линейных оценок в том случае, когда случайная аддитивная помеха в системе наблюдений имеет вырожденную корреляционную матрицу. Эта проблема рассмотрена, например, в [20], [37]. В этом случае многими авторами используется метод регуляризации Тихонова (l$] Однако представляет интерес получение максимально возможной информации для построения оценок вектора состояния системы по имеющимся точным значениям наблюдений, чему посвящена, в основном, настоящая диссертационная работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе рассмотрена задача построения оптимальной в смысле минимума среднеквадратичного уклонения линейной оценки ot (i), когда система x (-fc) описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением, и имеются наблюдения2fij, линейно связанные с вектором фазовых переменных.

Даётся интерпретация решений стохастических дифференциальных уравнений, доказывается существование и единственность решений.

В дискретном случае приводится вывод уравнений оптимальной линейной оценки геометрическим методом, основанным на построении оценки как ортогональной проекции в гильбертовом пространстве, в предположении, что корреляционная матрица шума наблюдений неособая.

Обоснована корректность предельного перехода при /гЬ^-О в уравнениях фильтра в непрерывном случае.

Рассмотрена задача стохастического линейного управления в задаче демпфирования вектора x (-fc).

Для стационарных систем приведена процедура построения оптимальной линейной оценки в случае, когда корреляционная матрица случайного шума в системе наблюдений вырождена. Случай вырождений рассмотрен как предельный при в возмущённой задаче.

Получена структура оценки в случае вырождения в нестационарной задаче.

Задача с переменными матрицами аппроксимируется случаем кусочно-постоянных матриц.

Рассмотрены примеры. Изучен пример наличия точки сгущения в множествах точек перемены рангов матриц — коэффициентов системы и наблюдений и корреляционных матриц.

Для нестационарного случая получено условие, при котором вектор оценки состоит из двух частей: одна часть совпадает с той группой переменных, которая является линейной комбинацией точных значений наблюдений, вторая часть есть линейная комбинация решений уравнений оптимального фильтра типа Калмана-Бьюси.