Актуальность темы
Системный подход — направление методологии научного познания и социальной практики, в основе которого лежит рассмотрение объектов как систем. Особый интерес современной науки вызывает взаимодействие пары «внешний элемент» — «система». Одним из способов такого взаимодействия являются модели распределения и заполнения ресурсов. Модель распределения ресурсов основана на нахождения такого распределения некоторого ресурса в системе, которое обеспечивало бы фиксированную на некотором уровне отдачу от системы, минимизируя возможные от него отклонения. Такой вид моделей часто применяется в экономических, политических, педагогических и психологических приложениях. Одной из наиболее актуальных областей применения моделей распределения ресурсов служит портфельный анализ. Например, при работе с портфелем ценных бумаг, инвестору необходимо так распределить в нем свой капитал, чтобы получить некоторую среднюю доходность портфеля, сведя при этом риск убытков к минимуму.
Модели заполнения ресурсов в теории вероятностей практически не рассматривались ввиду их значительной сложности и многомерности, хотя область их применения не менее значительна. Суть таких моделей состоит в том, чтобы для наперед заданного распределения ресурсов внешнего элемента подобрать некоторую систему, в которой это распределение обеспечивало бы заданную на некотором уровне отдачу, минимизируя при этом всевозможные отклонения от нее. Данный вид моделей превосходно описывает маркетинговую политику банка, работу паевого инвестиционного фонда, маркетинг услуг, и т. д. Также стоит отметить, что вышеперечисленные модели касаются только нахождения оптимального распределения-заполнения ресурсов для одного внешнего элемента. На данный момент существует ограниченное количество достоверных математических моделей, описывающих оптимальное воздействие на систему множества внешних элементов, каждый из которых распределяет в ней некоторый ресурс.
В работе предлагается применить эвентологию — теорию случайных событий для построения эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов. Эвентология — новое направление теории вероятностей, изучающее движение случайных событий. Наряду с математическими, данная научная отрасль исследует также и экономические, общечеловеческие, социальные проблемы. Эвентология тем и отличается от теории вероятностей, что ее внимание сконцентрировано, главным образом, на непосредственном и систематическом изучении случайных событий и их взаимодействий. Эвентологические модели распределения-заполнения ресурсов позволили впервые получить аналитическое решение эвентологическому варианты обратной задачи Марковича — проблеме, решение которой до сих пор не удавалось получить методами классической теории вероятностей. Автором рассматриваются также нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов, которые находят применение в тех отраслях научного знания, где необходимо распределитьзаполнить ресурсы группы объектов в некоторой системе.
Результаты работы могут быть применены для нахождения распределения капитала в портфеле ценных бумагдля нахождения оптимальных долей премий для поощрения персонала, для осуществления выбора наилучших, с точки зрения банка, клиентовдля нахождения оптимального распределения портфеля ценных бумаг паевого инвестиционного фонда, и.т.д.
Цель работы. Основной целью работы является конструирование эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов. Для достижения данной цели, решаются следующие задачи:
• Разработка эвентологической модели распределения ресурсов и ее применение для получения аналитического решения прямой эвентологической задачи Марковица.
• Исследование свойств нового класса «зонтичных» отображений эвентологического симплекса па плоскость «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание»;
• Разработка эвентологической модели заполения ресурсов и ее применения для получения аналитического решения обратной эвентологической задачи Марковица.
• Разработка нечетких моделей распределения и заполнения ресурсов и их применение для нахождения оптимального алгоритма функционирования паевого инвестиционного фонда.
Методы исследования. Использовались методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, математического и функционального анализа, теории нечетких множеств и эвентологии.
Основные новые научные результаты диссертации. В работе построены эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов, которые могут являться базой для дальнейших исследований взаимодействия пар «внешний элемент» — «система», «система» — «система»:
1. Построена эвентологическая модель распределения ресурсов и получено аналитическое решение прямой эвентологической задачи Марковица.
2. Предложен новый способ «зонтичной» визуализации эвенто-логического симплекса плоскостью «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание».
3. Построена эвентологическая модель заполнения ресурсов и впервые получено аналитическое решения обратной эвентологической задачи Марковица.
4. Построены нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов.
5. Предложены применения разработанных в диссертации эвен-тол огических моделей в ряде экономических приложений.
6. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные эвентологические модели.
Теоретическая значимость. В работе впервые осуществлено применение эвентологических методов для получения аналитиеч-ским путем оптимальных значений параметров моделей распределения и заполнения ресурсов. Введен в рассмотрение новый способ визуализации эвентологического симплекса плоскостью. Впервые использован математический аппарат теории нечетких случайных событий для конструирования нечетких эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов.
Практическая значимость. Предложенный в работе аналитический способ нахождения оптимальных параметров эвентологических моделей распределения и заполнения ресурсов обеспечивает наибольшую точность в нахождении значений параметров моделей по сравнению с существующим на текущий момент времени методами.
Результаты работы были применены для нахождения распределения капитала в портфеле ценных бумагдля нахождения оптимальных долей премий для поощрения персонала, для осуществления выбора наилучших, с точки зрения банка, клиентовдля нахождения оптимального распределения портфеля ценных бумаг паевого инвестиционного фонда.
Результаты работы также могут найти применение в разнообразных экономических, социальных и психологических приложениях, требующих рассмотрения взаимодействия пар «внешний элемент» — «система» и «система» — «система».
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на IV Всерос. ФАМ'2005 конференции (Красноярск, 2005), Региональных VIII и IX эвентологических ФАМ конференциях (Красноярск, 2004, 2005), IV межвузовской научной конференции аспирантов «Актуальные проблемы современной науки и пути их решения» (Красноярск, 2004), Международной конференции «Automation, Control, and Information Technology» (Новосибирск, 2005), Всемирном конгрессе «IFSA-2005, Eleventh International Fuzzy Systems Association World Congress» (Китай, Пекин, 2005), Международной конференции «EUSFLAT'2005» (Испания, Барселона, 2005).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из которых: 2 статьи в периодических изданиях по списку ВАК- 3 статьи в периодических изданиях, не включенных в список ВАК- 3 работы в трудах всероссийских конференций- 3 работы в трудах международных конференций.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из 3 разделов, содержит основной текст на 124 е., -14 иллюстраций, 1 таблицу, список использованных источников из 52 наименований.
Портфельный анализ существует, пожалуй, столько же, сколько люди задумываются о принятии рациональных решений, связанных с использованием ограниченных ресурсов. Однако момент возникновения современного портфельного анализа можно датировать довольно точно, связав его с выходом в марте 1952 года пионерской работы Гарри Марковица [44].
Портфельная теория Марковица направлена на решение практической задачи о рассредоточении капитала по различным видам операций в условии неопределенности. Основные положения этой теории были разработаны Г. Марковицем при подготовке его докторской диссертации в 1950 — 1951 годах. На основе диссертации им была написана книга [45], до сих пор остающаяся важным учебником по портфельной теории. Центральной проблемой в теории Марковица является выбор портфеля, то есть набора операций. При этом в оценке как отдельных операций так и их портфелей учитываются два важнейших фактора: доходность и риск операций и их портфелей. Риск при этом получает количественную оценку. Такой подход многомерен и по числу вовлекаемых в анализ операций, и по учитываемым характеристикам. Существенным моментом в теории оказывается учет взаимных корреляционных зависимостей между доходностями операций. Именно этот учет позволяет проводить эффективную диверсификацию портфеля, приводящую к существенному снижению риска портфеля по сравнению с риском включенных в него операций. Наконец, количественная характеристика основных инвестиционных характеристик позволяет ставить и решать задачу выбора оптимального портфеля в виде задачи квадратичной оптимизации.
Существенный вклад в данную теорию был сделан другим американским математиком — Дж. Тобином [48], который установил существование оптимального портфеля среди множества эффективных портфелей. Работы Г. Марковица привлекли внимание многих математиков и специалистов по ценным бумагам и вызвали большое число обсуждений и публикаций. Особое внимание заслуживает монография У. Шарпа [47], который предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля на основе од-нофакторной модели рынка капиталов, позволяющий сводить задачу квадратичной оптимизации к линейной.
Со времен Марковица портфельный анализ существенно продвинулся, в его рамках были построены модели рыночного равновесия, предложены разнообразные способы измерения риска, учитывались все новые и новые рыночные инструменты. Успехи теории стимулировали создание новых рыночных инструментов, которые без сложившийся солидной расчетной базы просто не могли бы возникнуть. Задачи портфельного анализа являются также иллюстративным материалом для применения теории финансовых рисков [31]. Модель Марковица активно применяется в практических расчетах для фондовых рынков. Впоследствии портфельный анализ Марковица был использован для рынка инвестиций, валютного, денежного рынка и для других рынков.
До сих пор отдельные группы статистических зависимостей в социально — экономических, экологических, медицинских и других системах анализировались, и довольно успешно, методами многомерного статистического анализа, которые, однако, всегда были направлены на моделирование и измерение статистических зависимостей, в основном, между случайными величинами, векторами или функциями.
Вместе с тем, подавляющее большинство событий, которые происходят в природе и обществе, имеют случайный и множественный характер и, поэтому могут быть статистически измерены полностью только случайными множествами. Разумеется, количественные характеристики подобных случайных и множественных событий измерялись, измеряются и будут измеряться случайными величинами, векторами и функциями — иначе говоря классическими методами многомерного статистического анализа. Но использовать классические количественные методы для анализа случайно-множественной информации — это заведомо обрекать себя на потерю наиболее важной её части — информации о полной структуре зависимостей случайных событий, как случайных множеств.
Идея использовать результаты эвентологии для анализа статистических взаимодействий позволяет взглянуть с общих позиций на структуру взаимодействий во всех подобных системах. Это не только открывает путь к построению общей статистической теории таких систем, но и предлагает новые эффективные на практике методы их статистического анализа. Эвентоло-гия — новое направление теории вероятностей, изучающее движение случайных событий. Наряду с математическими и эвен-тологическими вопросами, эвентология затрагивает социально-экономические, общечеловеческие и социальные вопросы. Эвентология тем и отличается от теории вероятностей, что ее внимание сконцентрировано, главным образом, на непосредственном и систематическом изучении случайных событий и их взаимодействий. Одним из основных результатов эвентологии можно считать, во первых, выделении теории случайных событий в самостоятельное направление теории вероятностей, во-вторых, поскольку язык случайных событий является довольно универсальным, то эвентологический аппарат может быть применен к довольно широкому спектру различных задач.
Полных аналогов эвентологических методов анализа, измерения и генерации структур зависимостей и взаимодействий событий в мировой статистической практике пока не существует. Есть лишь отдельные разрозненные результаты, не объединенные общей теорией. Причина отсутствие хорошо разработанной теории дыижения случайных событий, соединенной с эффективными методами статистических оценок распределений и генерации случайных множеств. Разумеется, следует указать на существование общепризнанных мировых центров по исследованию случайных множеств, а также интегральной геометрии, во Франции (Ж.Серра и Ж. Матерон, Фонтенбло под Парижем), Аргентине (Л.Сантало, Буэнос-Айрес), Германии (Д.Штойян, Фрайберг в Саксонии), Нидерландах (Х.Хейманс, Амстердам), Великобритании (Д.Кендалл, Лондон, и И. Молчанов, Глазго), и Австралии (А. Бэдцли, Сидней). Однако, исследования, проводимые во всех этих центрах, тяготеют к математической морфологии — науке, которая изучает форму, в том числе, и случайную форму пространственных объектов. Основные объекты в этой области — случайные множества элементов числовой природы — например, случайные подмножества евклидова пространства. Поэтому в анализе таких случайных множеств можно на полную мощность использовать традиционные методы работы с числовыми объектами — классические методы, что и делается повсеместно. Принципиальное отличие методов, предлагаемых в работах по случайным событиям, от методов математической морфологии заключается в том, что они направлены на изучение случайных событий — случайных множеств, состоящих из произвольных абстрактных элементов, не принадлежащих пространствам с привычной линейной или любой другой структурой. Эти так называемые случайные конечные абстрактные множества событий требуют для своего изучения особой теории и специальных методов статистических оценок распределений и генерации, что составляет основное содержание данного направления и отличает его от других исследований по случайным множествам, проводимых в настоящее время в мире.
Развитие эвентологии и теории случайных конечных абстрактных множеств имело место в последние десятилетия. Первые монографии по случайным конечным абстрактным множествам были опубликованы О. Ю. Воробьевым в 1978 и 1984 годах. Затем в 1993 году вышла его же монография по сет-суммированию, посвященная математическому аппарату, который используется в теории случайных множеств и событий. Довольно полное представление о современном состоянии теории случайных множеств и их статистических оценок можно сделать по ряду статей (И.В. Баранова, А. О. Воробьев, Е. Е. Голденок, Т. В. Куприянова, Е. Г. Тяглова, АЛО. Фомин, Д.В. Семенова), опубликованных в трудах восьми ежегодных городских ФАМ — конференций (1997;2005) и в трудах I-IV Всероссийской ФАМ конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам.
Теория случайных множеств и эвентологии находит применение в работах по анализу товарных рынков. В работах Воробьева О. Ю. и Голденок Е. Е. [17], [18], [20], [21], [22], [23] были предложены методы построения статистической модели потребительского выбора, опирающейся на разработанные методы моделирования и измерения структур зависимостей и взаимодействий событий в статистических системах, дана математическая интерпретация таких важных экономических понятий как взаимодополняемость и взаимозаменяемость товаров. Идеи, высказанные в этих работах дали новый толчок в применении случайно-множественных методов при анализе рыночных систем и позволили дать новую интерпретацию классической задаче Марковица.
Основные результаты диссертации.
1. Построена эвентологическая модель распределения ресурсов и получено аналитическое решение прямой эвентологической задачи Марковица.
2. Предложен новый способ «зонтичной» визуализации эвенто-логического симплекса плоскостью «среднеквадратичное отклонение» — «математическое ожидание».
3. Построена эвентологическая модель заполнения ресурсов и впервые получено аналитическое решения обратной эвентологической задачи Марковица. 4. Построены нечеткие эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов.
5. Предложены применения разработанных в диссертации эвен-тологических моделей п ряде, экономических приложений.
6. Разработан комплекс компьютерных программ, реализующий построенные эвентологпческие модели! публикации по диссертационной работе.
1. Клочков, С.В. «Зонтичное» отображение и его свойства / С. В. Клочков // Труды IV Всерос. ФАМ-2005 конференции. Часть первая / Под ред. Олега Воробьева. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. — С.284−292.
2. Клочков, С. В. Нечеткие постановки эвентологических задач Марковица / С. В. Клочков // Труды IV Всерос. ФАМ-2005 конференции. Часть первая / Под ред. Олега Воробьева. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2005. — С.293−300.
3. Клочков, С. В. Нечеткие события в эвентологических задачах Марковица / С. В. Клочков // Труды IX Эвентологиче-ской ФАМ-2005 конференции. — Красноярск: ИВМ СО РАН, КГТЭИ, КрасГУ, 2005. — С. 129−134.
4. Klochkov Svyatoslav. Inverse evenl ological Markovitz' problem: the analytical solution / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the II Intern. Conf. ACIT'2005. — Novosibirsk: Institute of Computational Technologies of RAS. — P. 390−392.
5. Klochkov Svyatoslav. On analytical solving the inverse Markovitz' problem / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the 11-th World Congress IFSA'2005. — Beijing: T.-inghua University. — P. 327 329.
6. Klochkov Svyatoslav. On inverse Markovitz' eventological problem / Svyatoslav Klochkov // Proceedings of the 11-th Intern. Conf.
EUSFLAT'2005. — Barcelona: Polytechnical Institute of Catalunya.
— P. 474−476.
7. Воробьев, О. Ю. Эвептологический «зонтик» Марковица и «зонтичная» визуализация эвентологического симплекса / О. Ю. Воробьев, Е. Е. Голдепок, С. В. Клочков // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. — 2005. — Вып. 2. — С. 174−182.
8. Воробьев, О. Ю. Эвентология вербальных ассоциаций / О. Ю. Воробьев, А. В. Дедова, С. В. Клочков, О. Ю. Тарасова // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. — 2005. — Вып. 1. — С. 183−194.
9. Воробьев, О. Ю. Эветттологическтте модели вербальных ассоциаций / О. Ю. Воробьев, А. В. Дедова, С. В. Клочков, О. Ю. Тарасова // Экономика. Психология. Бизнес. — Декабрь 2004.
— N 5. — С. 77−98.
10. Клочков, С. В. Компьютерная модель логического анализа категорий многомерпо]1 сложности / С. В. Клочков // Экономика. Психология. Бизнес. — Декабрь 2003. — N 1. — С. 109−121.
11. Клочков, С. В. Эвентология частотных и ассоциативных словарей / С. В. Клочков // Экономика. Психология. Бизнес, Красноярск. — Декабрь 2004. — N 5. — С. 221−228.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
В работе рассмотрены эвентологические модели распределения и заполнения ресурсов и на их основе впервые получено аналитическое решение обратной эвентологической задачи Марковица. Также предложен новый способ визуализации эвентологического симплекса плоскостью. Рассмотрены особенности решения прямой эвентологической задачи Марковица для различных структур зависимостей событий. Впервые использован математический аппарат теории нечетких случайных событий для конструирования нечетких эвсптологических моделей распределения и заполнения ресурсов.
В первой главе рассмотрена модель Марковица распределения ресурсов. В рамках э той модели анализируется задача распределения единичного капитал в портфеле ценных бумаг и рассмотрены некоторые методы ее решения — методы множителей Jla-гранжа и Монте-Карло минимизации квадратичной формы по ограничениям типа «равенство». Рассмотрены основные понятия эвентологии: множество избранных событий, события-терраски, сет-функции, классическом вероятности и классического вероятностного пространства, случайного элемента, случайного множества событий, эвентологичсского распределения (Э-распределения), 2^-вершинного эвентологичсского симплекса (Э-симплекса), арной ковариации Множества событий, неравенств Фреше iV-плета событий.
Произведено применение эвентологического аппарата к модели распределения ресурсов, г, следствии чего вводятся в рассмотрение две эвентологические модели: распределения и заполнения ресурсов.
Во второй главе диссертационного исследования рассматривается эвентологическая модель распределения ресурсов на примере прямой эвентологической задачи (Э-задачи) Марковица. Для вышеозначенной проблемы приведен алгоритм нахождения аналитического решения, по сути своей представляющий собой методом множителей Лаграижа минимизации квадратичной формы по ограничениям тина «равенство». В рамках решения прямой эвентологической задачи Марковица. предложена визуализация отображения iV-мерпого симплекса па двумерную плоскость — эвентологическая пуля (Э-пуля) Марковица, заданная по формулам (1.28) — (1.29). Сформулировано утверждение 2 о форме Э-пули Марковица и произведем ее анализ для различных структур зависимости событии: максимально удаленной, независимой и вложенной.
Построено «зонтичное» отображение 52дт-вершинного Э-симплексг на плоскость «среднеквадратичное отклонение"-«матема-тическое ожидание» и рассмотрены его основные свойства, сформулированные в виде теорем. Особенности данного отображения были использованы для построения эвентологической модели заполнения ресурсов, которая, в свою очередь, послужила основой для нахождения аналитического решения обратной Э-задачи Марковица.
Приводятся основные понятия эвентологической теории нечетких событий, такие как матрица, избранных случайных событий, операторы «создания множества событий», вероятностные пространства нечетких событий, нечеткие эвентологические собы-гтия-терраски первого и второго вида., нечеткие индикаторы события, эвентологические распределения (Э-рас-пределения) нечеткого множеств событий, арная коварпация нечеткого множеств •событий.
На основе эвентологической теории нечетких событий сконструированы нечеткие модели распределения и заполнения ресурсов, в рамках которых были сформулированы нечеткие прямая и обратная эвентологические зада, чи Марковица и предложены пути их решения.
В третьей главе рассматривается применение полученных эвен-тологических моделей в ряде прикладных задач. Так поставлена задача’о выплате премии производственному коллективу некоторой организации, руководство которой выделяет единичный капитал на поощрение персонала. Рассмотрена проблема нахождения оптимального распределения единичного капитала в порт-'.феле ценных бумаг. С 'формулирована, проблема штрафования сотрудников некоторой фирмы, руководство которой взимает в виде штрафов в единичный капитал. Рассмотрена задача о заполнении ресурса услуг, которым располагает компания, стремясь в идеале, чтобы весь ресурс был заполнен полностью. Сформулирована проблема нахождения оптимальной стратегии действий для «теневого» акционера. Рассмотрена модель работы паевого инвестиционного фонда.
