Алгоритмы нахождения точек переключения кусочно-полиномиального управления в линейных механических системах

Основные результаты предлагаемой диссертации опубликованы в статьях [1—4] общим объемом «4 п.л. Они докладывались на XXXIV конференции факультета ПМ-ПУ (СПбГУ, С-Петербург, апрель 2003), на VIII Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Пу-щино, январь 2000 г.), а также на семинарах кафедры механики управляемого движения.

Диссертация состоит из пяти глав и приложения. О содержании каждой главы кратко говорится в её начале. Основные главы — вторая, третья, четвертая и пятая.

Настоящая, первая глава, состоит из трех параграфов. О содержании параграфов можно судить по их названиям.

1.1 Об отыскании оптимального по «расходу» управления.

В настоящей работе разрабатывается и применяется к практическим задачам механики метод нахождения управления как явной функции времени в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решений линейной системы с постоянными коэффициентами при функционале типа «расход топлива». Основным источником таких задач являются проблемы управления самолетами и космическими летательными аппаратами, начиная от простейших задач управления колебаниями спутника и включая такие сложные задачи, как задача встречи космических летательных аппаратов на орбите и задача «мягкой» посадки. Во всех этих случаях управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива или рабочего тела, запасы которых ограничены. Управление осуществляется механизмом, потребляющим топливо и производящим тяги или моменты.

Итак, в качестве оптимизируемого функционала рассматривается величина: т.

1.1) tok=l где ик являются компонентами вектора управления U. Такой функционал для механических систем обычно пропорционален с постоянным положительным коэффициентом величине расхода топлива [8−12]. Поэтому величина J называется функционалом типа «расход топлива» или просто функционалом расхода.

Оптимизация управления по расходу топлива была популярна в конце шестидесятых — начале семидесятых годов. Различные аспекты этой темы отражены в монографии М. Атанса и П. Фалба [12]. Тогда стало ясно, что различные постановки задачи оптимального управления по критерию расхода топлива оказались исключительно сложными и в теоретическом, и в практическом, и в прикладном аспектах даже для линейных систем с постоянными коэффициентами.

Поэтому постановки задач управления по такому критерию перестали быть предметом интенсивных исследований и авторы перешли, в основном, к исследованиям по оптимальному управлению в задачах с квадратичными функционалами.

Оптимизация по «расходу» естественна в тех задачах, где требуется удерживать механическую или другую систему в окрестности положения равновесия в течение длительного времени. Возмущающие факторы время от времени отклоняют эту систему недопустимо далеко от положения равновесия и требуется каждый раз гасить эти отклонения, расходуя на это топливо и/или другие ресурсы, запасы которых ограничены. Пока отклонения от положения равновесия малы, ее управляемое движение можно моделировать автономными линейными дифференциальными уравнениями с управлением.

Далее остановимся более подробно на тех результатах других авторов, которые непосредственно связаны с рассматриваемым методом, а затем кратко изложим результаты настоящей работы.

В работах [5−10] предлагается метод нахождения оптимального управления в виде явной функции времени, в постановках, где требуется погасить одну или несколько частотных компонент решения линейной системы с постоянными коэффициентами. В качестве оптимизируемого функционала рассматривается «расход топлива» на классе релейных кусочно-постоянных управлений с конечным числом импульсов.

Релейные импульсные управления в конкретных практических задачах могут быть единственно приемлемым дешевым вариантом управления. Кроме того, такие управления оказываются оптимальными при решении многих задач в различных других постановках [8—14].

В данной диссертации изложенный в работах [5−10] алгоритм обобщается и развивается на случай кусочно-полиномиального управления. Задачи, рассмотренные в работах [8−10] приводятся в качестве примеров как частный случай применения метода в пятой главе диссертации.

Все полученные в диссертации результаты объединяются единым подходом, используемым для их получения.

1. Пупышева Ю. Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. — СПб., 2003. 14 с. — Деп. ВИНИТИ от 17 апреля 2003 г., № 733 В 2003.

2. Пупышева Ю. Ю. Кусочно-полиномиальное управление по расходу. Труды XXXIV научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2003. С. 95−104.

3. Пупышева Ю. Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. Случай комплексных собственных значений. — СПб., 2003. 16 с. Деп. ВИНИТИ от 21 июня 2003 г., № 1195 В 2003.

4. Пупышева Ю. Ю. Кусочно-полиномиальное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. СПб., 2003. 15 с. — Деп. ВИНИТИ от 11 июля 2003 г., № 1363 В 2003.

5. Потоцкая И. Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Случай чисто мнимых собственных значений. Рук. деп. вВИНИТИ, № 3611,1999.

6. Бабаджанянц J1.K., Потоцкая И. Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах с комплексными собственными значениями. Вопросы механики и процессов управления. Вып.23: динамика, оптимизация, управление. СПб., Изд-во СПбГУ, 2000.

7. Потоцкая И. Ю. Кусочно-постоянное управление в задаче движения ИСЗ относительно центра масс на круговой орбите в пространственном случае. Процессы управления и устойчивость. Труды XXXI научной конференции. СПб., СПбГУ, ф-т ПМ-ПУ, 2000. С.232−242.

8. Бабаджанянц JI.K., Потоцкая И. Ю. Управление по критерию расхода в механических системах. СПб., 2003.

9. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М., «Машиностроение», 1968.

10. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., «Наука», 1969.

11. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М., «Наука», 1969.17.3убов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975.

12. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М., «Наука», 1972.

13. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М., «Наука», 1979.

14. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М., 1968.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц М., «Наука», 1967.

16. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск, «Вышэйшая школа», 1974.

17. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М., 1971.

18. Субботин М. Ф.

Введение

в теоретическую астрономию. М., «Наука», 1968.

19. Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. М., «Наука», 1972. тт. 1,11.

20. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс. М., «Наука». 1965.

21. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М., МГУ, 1975.

22. Голдстейн Г. Классическая механика. М., «Наука», 1975.

23. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. М.-Л., ОНТИ, 1937.

24. Архангельский Ю. А. Динамика быстровращающегося твёрдого тела. М., «Наука», 1985.

25. Arkhangelskii Yu.A. Construction of periodic solutions for the Euler-Poisson equations by means of series expansion containing a small parameter. Colloquia mathem. Societatis Ja’nos Bolyai, 15 Differential equations, Keszthely (Hungary). 1975.

26. Крылов И. А., Крутков Ю. А. Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений. Л., 1932.

27. Антончик B.C. Методы стабилизации программных движений. СПб., Изд-во СПбГУ, 1998.39.3убов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л., «Судостроение», 1970.

28. Харитонова О. И. Анализ устойчивости параметрически возмущенной гироскопической системы. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 17: математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. СПб., Изд-во СПбГУ, 1996, стр. 218−223.

29. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М., «Наука», 1980.

30. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. М., «Наука», 1973.

31. Крылов И. А. Численное решение задачи об оптимальной стабилизации спутника. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 8, № 1, 1968.

32. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 2, № 6, 1962.

33. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 6, № 2, 1966.

34. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления. — Ж. вычислит, матем. и матем. физ., т. 11, № 1, 1972.

35. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М., «Наука», 1976.

36. Ишлинский А. Ю. Механика гироскопических систем. М., Изд-во АН СССР, 1963.

37. Курош М. Г. Курс высшей алгебры. М., «Наука», 1968.

38. Чеботарев Н. Г., Мейман Н. Н. Проблема Рауса-Гурвица для полиномови целых функций. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1949, т. 26.

39. Сарычев В. А. Вопросы ориентации искусственных спутников. Исследование космического пространства. Итоги науки и техники. 1978, т.И.

40. Мгоян П. Б. Оценки в теории возмущенного движения. Диссертация, ЛГУ, 1987.

41. Павлов В. А. Теория гироскопа и гироскопических приборов. Л., «Судостроение», 1964.

42. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М., «Наука», 1984.