Объект исследования и актуальность темы. Роторные механизмы применяются во многих областях современной промышленности, от машиностроения до компьютерной и бытовой техники. Так как зачастую эти механизмы должны функционировать на высоких скоростях, сильные вибрации, вызванные смещением центра тяжести ротора, могут стать серьезной проблемой и, даже, привести к поломке механизма.
Исследования динамики роторов насчитывают более чем 140-летшою историю, о чем свидетельствует статья известного шотландского ученого У. Рэнкина [55] о вращательных движениях ротора написанная в 1869 году. Практическая ценность этой статьи заключалась в том, что в ней было впервые приведено описание влияния упругих и центробежных сил на вращение гибкого вала. Кроме того, в этой статье было показано как можно применить теорию Пуассона о поперечных колебаниях стержней к динамике роторов.
Значительный прогресс в этой тематике в конце 19 века произошел благодаря вкладу таких инженеров как К. Лаваль и А. Феппль. Лаваль в 1882 году создал первую импульсную паровую турбину, представляющую собой легкое колесо, на лопатки которого через несколько поставленных под острым углом сопел наводился пар. В 1889 году Лаваль усовершенствовал свое изобретение, дополнив сопла коническими расширителями. Это повысило КПД турбины и превратило ее в универсальный двигатель.
При высоких оборотах турбинного колеса даже незначительное смещение в центре тяжести вызывало сильную нагрузку на ось и перегрузку подшипников. Чтобы избежать этого, Лаваль предложил насадить колесо на тонкий вал, который при вращении мог слегка прогибаться. В этом случае было обнаружено, что при разгоне турбинного колеса оно самостоятельно занимало строго центральное положение и удерживало его при больших скоростях вращения. Впервые явление самоцентрирования ротора было описано А. Фёпплем [44], который теоретически обосновал возможность работы со сверхкритическими скоростями.
В 1919 году вышла фундаментальная работа Г. Джеффкотта [51], в которой были подтверждены результаты Феппля о возможности устойчивого вращения вала в закритической области. С той поры простейшую модель ротора в виде тонкого диска, закрепленного посередине невесомого гибкого вала, в зарубежной литературе называют ротором Джеффкотта.
В первых работах по динамике роторов основные усилия авторов были направлены на нахождение первой критической скорости, так как основной инженерной задачей того времени было сконструировать ротор таким образом, чтобы избежать резонанса. Следует отметить работу С. Дункер-лея [43], который первый экспериментально вывел формулу для вычисления минимальной критической скорости для систем с несколькими роторами. Также он впервые стал использовать термин критическая скорость для резонансной скорости вращения.
Вопросу определения критических скоростей и форм колебаний любого порядка посвящена работа А. Н. Крылова [24]. В ней описываются роторы в виде гибких упругих валов постоянного сечения с распределенной массой с насаженными на них одним и более плоскими дисками. Показано влияние на критические скорости распределенной нагрузки, а также сосредоточенных сил и моментов. Кроме того, в работе описано использование метода начальных параметров для приближенного расчета критических скоростей, суть которого сводится к разбиению вала на участки и экстраполяции значений прогиба и наклона оси вала с начала участка вала на его конец. Таким образом, значения произвольных констант, задающих функцию прогиба на каждом участке, можно выразить через наклон оси вала и ее прогиб в конечной точке вала.
Кроме того, следует упомянуть работу Г. Хользера [49], в которой был описан приближенный метод вычисления собственных частот и форм крутильных колебаний, а также работы Р. Граммеля [46], В. Я. Натанзона [31], Ю. А. Митрофанова [30].
Открытия, сделанные в исследовании динамики роторов в начале двадцатого века, подробно описаны в монографии А. Стодолы [58]. Эта книга охватывает большой класс паровых турбин. Помимо прочего в ней описывается динамика гибких валов с диском, динамика распределенных роторов без учета гироскопического момента, статическая балансировка твердых роторов и методы для определения приближенных величин критических скоростей.
С увеличением мощности и быстроходности машин возрастает степень обратного воздействия рабочей среды на ротор машины. Это приводит к тому, что, с одной стороны, ротор испытывает значительные силовые возмущения и совершает при этом вынужденные колебания, а с другой — становится менее устойчивым и, при определенных условиях, входит в режим, в котором помимо вынужденных колебаний присутствуют и автоколебательные компоненты. Впервые вопрос об автоколебаниях роторов был поставлен в работе М. Я. Кушуля [26], где были рассмотрены стационарные почти периодические колебания несбалансированного ротора, в котором причиной возникновения автоколебательной компоненты является внутреннее трение в материале ротора. Далее эту тему развил Г. И. Аникеев в своей работе [1], где в качестве причин возникновения автоколебаний рассматриваются также масленые пленки в опорах и наличие сухого трения. В работе K.M. Рагульскиса [35] помимо теоретического и экспериментального исследования вибраций роторов, рассматривается вопросы оценки неуравновешенности роторных систем по параметрам вибраций, а также описывается применение статистического подхода к исследованию вибраций. Вопросы исследования устойчивости колебаний роторов описаны В. И. Симоновским в работе [37]. В ней проанализировано влияние на устойчивость конструктивных и режимных параметров, предложены методы расчета устойчивости многомассовых роторов.
Большинство авторов, изучающих динамику роторных систем, ставили перед собой задачу подбора параметров ротора оптимальных с точки зрения уменьшения вибраций. Среди работ, в которых решаются задачи подобного рода, можно упомянуть работу В. Я. Кальменса [22], в которой описывается обеспечение вибрационной надежности машин путем обработки конструкций элементов на стадии их создания, а также получение критериев вибронадежности, соответствующих безопасным условиям эксплуатации. Аналогичный подход к уменьшению амплитуд вибрационного движения ротора путем подбора характеристик опор или профиля ротора описывается в работе A.C. Кельзона и JI.M. Малинина [23]. В ней приводятся решения оптимизационных задач, как для переходных, так и для стационарных режимов работы.
Существует два способа уменьшения нежелательных вибраций в механизме ротора — это ручная и автоматическая балансировка. Наибольшее распространение получила ручная балансировка, суть которой состоит в определении и устранении фиксированного статического, моментного или динамического дисбаланса на стадии создания ротора. Балансировку проводят на специальных балансировочных станках путем добавления корректировочных масс к «тяжелой» стороне ротора или удалением материала ротора с «легкой» стороны. Ручной балансировке роторов посвящено множество работ, среди которых особое место занимает двухтомная книга под редакцией В. А. Щепетильникова [36], в которой подробно изложены все наработанные на тот момент технологии балансировки. В книге приводятся методики определения дисбаланса и его уравновешивания для жестких и гибких роторов.
Этой же тематике посвящена другая книга под редакцией В. А. Щепетильникова [2], в которой основной упор делается на выявление причин, вызывающих погрешности при балансировке, таких как нелинейные процессы в опорах или зазоры и упругие деформации ротора на рабочей скорости вращения. Кроме того, в этой работе приведено описание автобалансирующих устройств применяемых на гибких роторах. Кроме того, следует упомянуть работы М. Е. Левита [28] и A.A. Гусарова [15], посвященные данной тематике.
Недостатком ручной балансировки является то, что при длительном использовании материал ротора деформируется и балансировку приходится проводить заново. Также ручная балансировка не приносит желаемых результатов, если центр тяжести ротора занимает нефиксированное положение, как это происходит, например, в стиральных машинах. Еще одним недостатком этого процесса является его трудоемкость для роторов сложной конструкции, особенно для гибких роторов, что было показано Ф. М. Диментбергом [18] и A.A. Гусаровым [14].
Применение автобалансирующих устройств (АБУ) решает большинство этих проблем. Однако, АБУ гасят колебания лишь в закритичной области скоростей, а при скоростях меньших первой критической применение АБУ зачастую вызывает увеличение амплитуды и усугубляет переход через резонанс. Это вынуждает проектировщиков роторных систем идти на дополнительные ухищрения, такие как фиксация корректирующих масс при малых скоростях и освобождение их при больших. Первая теоретическая модель ротора, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством, была предложена американским инженером Э. Сирлом [59] в 1932 году.
Автобалансирующие устройства делятся на пассивные — со свободным перемещением корректирующих масс, и активные — с их принудительным перемещением, присоединением или удалением. Как первые, так и вторые имеют преимущества и недостатки. Основным преимуществом пассивных автобалансирующих устройств является простота. Их работа осуществляется за счет энергии самого ротора. Главный недостаток заключается в том, что они не являются всережимными, то есть они балансируют ротор только в определенном диапазоне угловых скоростей. Иногда пассивные автобалансирующие устройства применяются в качестве чувствительных элементов активных устройств. В этом случае они имеют малые размеры и массу и практически не влияют на динамические свойства ротора. Основным недостатком активных автобалансирующих устройств является сложность их конструкции, но они являются всережимными.
Простейшее пассивное шаровое АБУ представляет собой несколько металлических шариков, которые могут перемещаться внутри трубки заполненной вязкой жидкостью по концентрическим окружностям в плоскости диска. В основе принципа действия шарового АБУ лежит тот факт, что при достаточной угловой скорости шарики стремятся уравновесить имеющийся в роторе дисбаланс. Кроме шариков в автобалансирующих устройствах могут быть использованы кольца, маятники или жидкость. В некоторых случаях корректирующие массы являются составными, состоящие из катков и маятников. Подробно описаны все известные устройства для автоматической балансировки роторов в работе А. А. Гусарова [12].
Во многих работах рассматривались проблемы автоматической балансировки либо жестких роторов (Л. Шперлинг [57], Г. Д. Шекун [38] и А. А. Гусаров [13]), либо гибких, но без учета влияния распределенной массы вала (Д. Чунг [40]). В монографии Ф. М. Диментберга [17] решена задача о балансировке гибкого ротора с распределенным дисбалансом с помощью набора сосредоточенных грузов, расположенных вдоль осевой линии вала. В статье Ф. М. Детинко [16] исследована динамическая балансировка и устойчивость ротора с распределенным дисбалансом с помощью АБУ, установленных в нескольких сечениях.
В книге В. Н. Нестеренко [32], а также в статье К.-О. Олсона [53], рассмотрены вопросы устойчивости шаровых автобалансирующих устройств, используемых для балансировки роторов со многими степенями свободы, с учетом кулонова трения и ошибок изготовления беговых дорожек. Показано, что пассивные АБУ могут применяться как для устранения статической, так и моментной неуравновешенности. Подобный подход используется и в статье [56], где твердый ротор уравновешивается с помощью АБУ, расположенных в двух плоскостях.
В работах, вышедших за последнее время, большинство авторов используют новые технологии компьютерного моделирования для проведения бифуркационного анализа динамики АБУ. Среди них можно отметить работы К. Грина и А. Р. Чампнейса ([47] и [48]), в которых, помимо установившихся режимов, исследуются предельные циклы и хаотическое движение.
Фундаментальными работами, отражающими современное состояние теории жестких и гибких роторов, являются монографии Г. Генты [45] и Т. Ямамото [60].
В настоящей работе используется методика введения обобщенных лагранжевых координат, учитывающих формы колебаний упругого тела, которая была предложена в работах С. А. Зегжды и М. П. Юшкова [19] и [20]. Суть методики в том, что при задании положения упругого тела в качестве обобщенных лагранжевых координат берутся коэффициенты разложения деформаций тела по его главным формам колебаний. Эффективность использования подобного подхода продемонстрирована также в работе В. Н. Вернигора [7].
Цель работы. Целью настоящей работы является построение математической модели гибкого ротора с шаровым АБУ на основе обобщенных лагранжевых координат, пригодной для исследования различных режимов движения ротора. А также анализ этих режимов, их классификация и сравнение с результатами, полученными путем использования других моделей.
Методы исследований. Используются классические методы теории нелинейных колебаний и теории устойчивости движения, а также матричный анализ и элементы теории функции комплексной переменной. Кроме того, для численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений применяются алгоритмы компьютерного моделирования.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:
1. Разработана методика исследования динамики гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом на основе введения обобщенных Лагранжевых координат.
2. Получено новое трансцендентное уравнение для определения критических скоростей гибкого вала, а также приближенная формула для вычисления критических скоростей высоких порядков.
3. Построена математическая модель гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством. В рамках этой модели предложена классификация стационарных режимов, получены условия их существования и исследована устойчивость.
4. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием данной модели, с результатами, полученными путем использования других моделей.
Содержание диссертации.
Первая глава посвящена исследованию динамики гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом.
В 1.1 построена математическая модель ротора с помощью введения обобщенных лагранжевых координат, учитывающих формы колебаний упругого тела. Динамика системы описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранжа 2-го рода.
В 1.2 для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью, найдены стационарные решения, при которых осевая линия вала сохраняет постоянное положение во вращающейся системе координат. При этом происходит переход от рассмотрения фиксированного числа собственных форм колебаний вала без диска к рассмотрению всех форм. Поэтому найденное решение является точным решением уравнений Лагранжа. Получены аналитические формулы для нахождения амплитудно-частотных и фазо-частотной характеристик, положения осевой линии, а также трансцендентное уравнение для определения критических скоростей и приближенная формула для критических скоростей высокого порядка.
В 1.3 ищется решение однородной части уравнений Лагранжа. Полученное решение суммируется с найденным ранее решением неоднородной части уравнений Лагранжа и на основании вида полученного таким образом полного решения уравнений Лагранжа делаются выводы о характере нестационарных решений.
В 1.4 проводится компьютерное моделирование динамики роторов различной конфигурации. Представлены собственные формы вала с диском и значения критических частот. Проведено сравнение полученных амплитудно-частотных и фазо-частотной характеристик с аналогичными характеристиками, полученными для моделей, не учитывающих вес вала. Показана зависимость амплитуды угловой прецессии ротора от частоты вращения. Численно исследованы режимы нестационарного прохождения через критические скорости.
Во второй главе математический аппарат, представленный в первой главе, применяется для построения математической модели гибкого ротора с сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым АБУ. В качестве шарового АБУ рассматривается произвольное число шариков разной массы, которые могут перемещаться в плоскости диска по концентрическим окружностям разного радиуса с центром в центре диска. Предположительно шарики движутся внутри трубок, заполненных вязкой жидкостью. В 2.1 определены уравнения Лагранжа 2-го рода описывающие динамику ротора с шаровым АБУ.
В 2.2 ищутся возможные стационарные режимы движения ротора, вращающегося с постоянной скоростью. Полученные режимы делятся на три группы:
1. Сбалансированные режимы — режимы, при которых осевая линия сохраняет с течением времени неискривлепное положение;
2. Псевдосбалансированные режимы — режимы, при которых осевая линия искривлена, но положение центра диска совпадает с его положением на неискривленном валу;
3. Несбалансированные режимы — режимы, при которых центр диска отклоняется от своего положения на неискривленном валу;
Найдены условия существования каждой группы режимов. Построены амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики несбалансированных режимов.
В 2.3 проводится исследование устойчивости стационарных режимов путем анализа уравнений возмущенного движения. Аналитически доказывается неустойчивость псевдосбалансированного режима и некоторых подгрупп несбалансированных режимов для любых конфигураций ротора. Для оставшихся режимов строятся двухпараметрические диаграммы устойчивости, показывающие области параметров при которых данные режимы устойчивы. Проводится сравнение с аналогичными диаграммами устойчивости для моделей ротора с невесомым валом, полученными в [3].
В 2.4 представлены результаты численного интегрирования уравнений, описывающих динамику системы. Строятся графики, отображающие динамику процесса выхода на стационарный режим при вращении ротора с постоянной угловой скоростью. Экспериментально обнаружен установившейся предельный цикл для значений параметров лежащих в области неустойчивости стационарных режимов. Кроме того, моделируется нестационарный переход через резонансные частоты с целью оценки работы автобалансирующего устройства.
Заключение
.
1. Исследована динамика модели гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом. Получены амплитуднои фазо-частотные характеристики стационарных режимов с учетом всех форм колебаний вала. Описан характер нестационарных режимов. В рамках исследования выведены формулы для вычисления обратной матрицы и упрощения выражения для определителя, при работе с матрицами специального вида.
2. Получено трансцендентное уравнение для определения критических скоростей гибкого ротора2, а также приближенная формула для вычисления критических скоростей высокого порядка.
3. Построена математическая модель гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством. Для данной модели ротора предложена классификация стационарных режимов и получены условия существования сбалансированного и несбалансированных стационарных режимов.
4. Исследование устойчивости стационарных режимов проведено с помощью критерия Рауса и метода Б-р азбиений. Кроме того, для проверки результатов был выведен интегральный критерий устойчивости, позволяющий исследовать устойчивость трансцендентных характеристических уравнений.
5. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием данной модели, с результатами, полученными путем использования других моделей. Проведена серия численных экспериментов, подтверждающих полученные результаты.
