Диссертация посвящена исследованию интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом.
Под идеальной оптической системой понимается оптическая система, в которой сферические линзы, пространственные фильтры и другие оптические элементы пространственно не ограничены, а линзы — безаберрационные. Предполагается, что свет в системе когерентный и монохроматический, а его распространение описывается методами Фурье-оптики.
Актуальность темы
.
Среди оптических систем с кольцевым импульсным откликом наиболее эффективными в энергетическом смысле являются оптические системы с импульсным откликом в виде максимально узкого светового кольца. Наиболее известной изображающей оптической системой с узким кольцевым импульсным откликом является система с аксиконом [1] - стекляным конусом, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Аксикон, как правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка [2,3] или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света [4−6].
Одним из применений бездифракционного лазерного пучка является создание оптического пинцета для манипулирования микрочастицами [7].
Формирование узкого кольцевого распределения интенсивности света используется, например, для преодоления фундаментального ограничения на глубину резкости микроскопов. Раздел оптики, в котором используются изображающие оптические системы с кольцевым импульсным откликом, Сороко JI.M. предложил называть мезооптикой [8,9].
Использовать аксикон для формирования изображений прямолинейных объектов для подсчета треков частиц в ядерных фотоимульсиях впервые было предложено в [10].
В работе [11] рассмотрена одна из базовых оптических схем мезооптики, которая представляет собой Фурье-коррелятор с аксиконом в частотной плоскости. Такую оптическую схему нетрудно проанализировать с помощью методов Фурье-оптики.
Несмотря на широкую распространенность аксикона, до сих пор остается невыясненной аналитическая зависимость между входными и выходными световыми полями в базовой оптической схеме мезооптики.
Аксикон является широко распространенным благодаря простоте изготовления. Однако формируемое им кольцо не бесконечно тонкое (без учета дифракционного размытия), а имеет некоторую ширину.
Поэтому представляет интерес рассмотреть другие оптические системы с импульсным откликом в виде бесконечно узкого кольца и интегральные преобразования, связанные с ними.
С 1917 года известно преобразование Радона (ПР). Оно широко применяется в обработке изображений, томографии, геодезии, медицине [1216]. Двумерное преобразование Радона ставит в соответствие функции двух переменных средние значения этой функции на всевозможных прямых линиях, лежащих в плоскости.
ПР не является сверткой и не может быть оптически выполнено с помощью Фурье-коррелятора, а выполняется приближенно с помощью сферической линзы и голограммы [17] или дифракционного оптического элемента [18, 19]. В [17] используется матрица, состоящая из большого числа микро-голограмм, трудоемких для изготовления. В [18] рассматривается подход, осуществляемый с помощью набора пар скрещенных цилиндрических линз, фокусирующих прямые линии в точки. Недостатком является снижение отношения сигнал/шум всего устройства, так как для линий с определенной ориентацией будут участвовать все пары линз. Кроме того, изготовление фазового дифракционного элемента достаточно трудоемко. Подход, описанный в [19], предлагает использование коррелятора с пространственным фильтром, состоящим из набора угловых секторов. Недостатком подхода является ограничение на число угловых секторов (грубая дискретизация по углу).
Из-за указанных недостатков имеет смысл разработать альтернативный метод оптического выполнения ПР с помощью оптической системы с кольцевым импульсным откликом.
Обобщением ПР является преобразование Хоу [20], которое ставит в соответствие функции средние значения этой функции на всевозможных линиях (необязательно прямых). Преобразование Хоу также имеет достаточно много применений. Например, оно применяется для компьютерной обработки видеоизображений листьев растений с целью определения площади листовой поверхности [21]. В этой работе функции ставятся в соответствие интегралы по кривым, имеющим форму эллипса. Существуют также медицинские приложения преобразования Хоу. В работе [22] оно используется для выделения и подавления изображений ребер на флюорограммах. В работе [23] преобразование Хоу применяется для сегментации полутоновых изображений.
Частным случаем преобразования Хоу является преобразование, заключающееся в усреднении значений функции по окружностям (или сферам в трехмерном случае).
Усреднение по сферам введено в работе [24]. Усреднение по сферам используется в радарах с синтезированной апертурой (SAR) и в акустической навигации (SONAR — sound navigation and ranging). Связь между усреднением по сферам и обычным преобразованием Радона установлена в [25]. Для двумерного случая в [26, 27] получены формулы обращения усреднения по кривым, лежащим в плоскости, а в [28, 29] приведены теоремы о взаимнооднозначном соответствии между функцией двух переменных и всеми интегралами по окружностям, лежащими в плоскости. То есть в [28,29] введено в рассмотрение кольцевое преобразование Радона (КПР), хотя оно там так и не называется. Однако в этих работах КПР не являются преобразованиями типа свертки, а потому не известна их оптическая реализация.
Поэтому представляет интерес рассмотрение интегрального преобразования, сопоставляющего функции ее средние значения на окружностях, которое является сверткой и потому может легко быть реализовано оптически с помощью изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом.
Еще одной оптической задачей является визуализация фазы светового поля. Многие интересные для микроскопии объекты обладают высокой прозрачностью и поэтому совсем или почти совсем не поглощают свет (например, бесцветные бактерии). При прохождении света через такой объект основным эффектом будет появление сдвига фазы, величина которого различна в разных точках. Подобный эффект, конечно, нельзя наблюдать с помощью обычного микроскопа и приемника, реагирующего на интенсивность света.
Одним из подходов к визуализации фазовых неоднородностей является использование Фурье-коррелятора при размещении в частотной плоскости фазового фильтра Цернике (такое устройство называют теневым прибором [30]). Недостатком подхода является то, что линейная связь между наблюдаемой интенсивностью и фазой объектов имеет место в предположении о «слабости» фазового объекта.
Визуализировать фазу можно также с помощью малой дефокусировки, получаемой либо сдвигом выходной плоскости Фурье-коррелятора, либо использованием в качестве фильтра слабой параболической линзы. Недостаток метода дефокусировки в том, что интенсивность на выходе коррелятора пропорциональна не самой фазовой функции, а ее вторым производным.
Представляется интересным показать, что использование идеальной изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом не требует «слабости» фазового объекта, и позволяет получить линейную связь между наблюдаемой интенсивностью и градиентом фазы.
Из предыдущего анализа следует цель диссертационной работы. Целью работы является получение и исследование интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом и применение полученных результатов для решения некоторых оптических задач.* Под идеальной оптической системой понимается оптическая система, в которой сферические линзы, пространственные фильтры и другие оптические элементы пространственно не ограничены, а линзы — безаберрационные.
Задачи исследования.
• Получить интегральное преобразование, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра.
• Исследовать систему с идеальным кольцевым импульсным откликом, представляющим собой бесконечно узкое кольцо.
• Исследовать применимость изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для решения некоторых оптических задач.
Научная новизна работы.
• Получено интегральное преобразование типа свертки, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики л-го порядка).
• Введено в рассмотрение двумерное кольцевое преобразование Радона пго порядка, аналогичное традиционному преобразованию Радона, но интегрирование в котором производится не по прямым, а по всевозможным окружностям определенного радиуса. Кольцевое преобразование Радона связывает комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с бесконечно узким импульсным откликом и с пространственным фильтром, функция пропускания которого пропорциональна функции Бесселя. Аналитически исследованы основные свойства кольцевого преобразования Радона.
• Численно показана возможность применения изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для выполнения традиционного преобразования Радона, визуализации фазы и обнаружения точек и порядков фазовой сингулярности светового поля.
На защиту выносятся.
Прямое и обратное преобразования мезооптики, которые связаны с идеальной изображающей оптической системой с кольцевым импульсным откликом, пространственным фильтром которой является аксикон. Прямое и обратное кольцевые преобразования Радона, связанные с идеальной изображающей оптической системой с кольцевым импульсным откликом и с пространственным фильтром, функция пропускания которого описывается функцией Бесселя.
Применения кольцевого преобразования Радона и преобразования мезооптики для оптического выполнения традиционного преобразования Радона, визуализации фазы объектной функции и ее особых точек.
Выводы.
В данной главе получены следующие результаты.
Показано, что при изменении значения параметра КПР решаются совершенно различные задачи: при больших по сравнению с объектом значениях — это традиционное преобразование Радонапри значениях, сопоставимых с размером объекта — это обнаружение окружностей определенного радиусапри малых значениях это визуализация фазы светового поля и обнаружение точек фазовой сингулярности.
Предложен способ оптического выполнения преобразования Радона с помощью КПР. Для избежания энергетических потерь показана сингулярности от их порядков возможность реализации ПР с помощью бинарного (фазового) КПР и с помощью преобразования мезооптики.
Численно показана возможность использования КПР для визуализации фазы и для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей.
Показано, что использование энергетически эффективного БКПР для визуализации фазы световых полей дает нехудшие результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР: в окрестностях контуров контраст БКПР-образа практически не отличается от контраста КПР-образа.
Показано, что использование энергетически эффективного преобразования мезооптики или БКПР для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей не ухудшает результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР — в окрестностях точек фазовой сингулярности контраст для всех трех преобразований практически одинаковый.
Показано, что площади «оврагов» функции, полученной после выполнения КПР от светового поля с «вихрями», в окрестностях точек фазовой сингулярности пропорциональны квадратам порядков сингулярности.
Заключение
.
В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты:
• Получено интегральное преобразование типа свертки, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики). Получено также обратное преобразование мезооптики.
• Получено преобразование мезооптики для идеальной изображающей оптической системы с винтовым аксиконом в качестве пространственного фильтра.
• Аналитически получены преобразования мезооптики от осевой точки, поперечной линии, окружности и от наклонной плоской волны (от Фурье-гармоники).
• Исследовано преобразование аксикона, ставящее в соответствие осевому точечному источнику коническую волну, которое также можно рассматривать как разложение комплексной амплитуды света по коническим волнам. Получено обратное преобразование аксикона.
• С помощью численного моделирования показано, что Фурье-коррелятор с аксиконом формирует преобразованнное изображение исходного объекта. Вид преобразованного изображения зависит от параметра «силы» аксикона: подчеркиваются точки излома контура и формируется внутренний и внешний контуры объекта.
• Рассмотрено кольцевое преобразование Радона как среднее по всем окружностям фиксированного радиуса на плоскости.
Исследованы основные свойства кольцевого преобразования Радона, а также аналитически получены КПР-образы для некоторых функций. Получены формулы для обратного кольцевого преобразования Радона. Показано, что для однозначного восстановления функции двух переменных должны быть известны два КПР-образа при двух разных параметрах.
Получена формула, связывающая дисперсии искаженных шумом выходных функций и восстановленной входной функции Фурье-коррелятора с пространственным фильтром.
Численное моделирование показало, что ошибка восстановления объекта на входе Фурье-коррелятора по данным изображениям с шумом на выходе с использованием амплитудного фильтра (КПР) на два порядка больше, чем с использованием фазовых фильтров.
Численное моделирование также показало, что ошибка восстановления для любых типов пространственных фильтров пропорциональна дисперсии шума на выходе Фурье-коррелятора и обратно пропорциональна числу используемых для восстановления фильтров, это также показано аналитически.
Численно показано, что при изменении значения параметра КПР решаются различные задачи: при больших по сравнению с объектом значениях — это традиционное преобразование Радона, при значениях, сопоставимых с размером объекта — это обнаружение окружностей определенного радиуса, при малых значениях — это визуализация фазы светового поля и обнаружение точек фазовой сингулярности.
Предложен способ оптического выполнения преобразования Радона с помощью. КПР. Для избежания энергетических потерь показана возможность реализации ПР с помощью бинарного (фазового) КПР и с помощью преобразования мезооптики.
Численно показана возможность использования КПР для визуализации фазы и для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей. Численно показано, что использование энергетически эффективного БКПР для визуализации фазы световых полей дает нехудшие результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР — в окрестностях контуров контраст БКПР-образа практически не отличается от контраста КПР-образа.
Численно показано, что использование энергетически эффективного преобразования мезооптики или БКПР для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей не ухудшает результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР — в окрестностях точек фазовой сингулярности контраст для всех трех преобразований практически одинаковый.
Численно показано, что площади «оврагов» КПР-образа от светового поля с «вихрями», в окрестностях точек фазовой сингулярности пропорциональны квадратам порядков сингулярности.
