Качественный анализ движения тела вращения на шероховатой плоскости

Задача о движении тела по некоторой поверхности является важной задачей аналитической механики. Интерес к ней не ослабевает уже в течение трех столетий. Этот интерес, по-видимому, обусловлен несколькими причинами. Во-первых, эта задача имеет тесную связь с прикладными задачами теоретической механики, посвященными качению колесных транспортных средств. Во-вторых, во многом благодаря исследованиям динамики тела, катящего по поверхности без проскальзывания, получил развитие целый раздел аналитической механики — механика неголономных систем. В-третьих, эта задача стимулирует развитие теории устойчивости, дифференциальной геометрии, численных методов. Наконец, доступность наблюдений за катящимися телами — детским волчком, юлой, упавшей монеткой, билльярдным шаром — и завораживающая красота их движения дает толчок к размышлениям об этой задаче. Возникшему интересу не дает угаснуть интуитивно неясное поведение некоторых из них (например, переворот волчка «тип-топ», упорное «нежелание» кельтского камня вращаться в одну из сторон). Для постановки этой задачи очень важным и непростым оказывается выбор модели взаимодействия между катящемся телом и опорной поверхностью. Полученное теоретически качественное описание движения тела по поверхности сравнивается с наблюдениямитем самым происходит верификация выбранной модели взаимодействия и определение ее области применимости.

Настоящая диссертация посвящена глобальному качественному анализу динамики тела вращения, катящегося по шероховатой горизонтальной плоскости, как без проскальзывания (неголономная модель), так и с проскальзыванием (с учетом силы трения скольжения). Исследования базируются на методах Пуанкаре — Четаева и Смейла исследования динамики консервативных систем с симметрией и их модификациях на случай диссипативных систем.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Задача о движении тела по твердой поверхности является классической задачей теоретической механики, внимание ученых к которой не ослабевает уже в течение многих лет. Постановкой и решением этой задачи занимались классики механики JL Эйлер [79], Ж. Даламбер [6], Г. Кориолис [42], Э. Раус [62, 88], П. Пэнлеве [61], П. Аппель [73, 74], С. Пуассон [83], Г. Герц [5], А. Пуанкаре [60], Д. К. Бобылев [1, 2], Н. Е. Жуковский [10], С. А. Чаплыгин [71, 72], а также многие другие ученые. В настоящем обзоре невозможно осветить все работы, посвященные этой задаче — подробная библиография и обзор литературы даны в книгах [13, 50, 59], а также в недавних обзорных статьях [3, 75]- здесь будут упомянуты лишь работы, в которых уделено внимание вопросам, рассмотренным в представленной диссертации.

Центральным местом в постановке данной задачи является задание модели взаимодействия тела и опорной поверхности. Здесь выделяется три разных подхода: рассмотрение абсолютно гладкой или абсолютно шероховатой поверхности, или задание явного выражения для силы трения. Первые две модели являются консервативными, в третьей же учитывается диссипация энергии. Обсуждение различных моделей трения, их преимуществ и недостатков можно найти в [11, 25, 41, 61, 69, 80, 82]. В настоящей работе в первых двух главах исследуется задача о качении тела по абсолютно шероховатой поверхности, в последней главе используется модель Контенсу [41] взаимодействия между опорной плоскостью и катящимся телом.

В модели абсолютно шероховатой плоскости постулируется, что контакт между телом и опорной плоскости происходит в одной точке, взаимодействие между плоскостью и телом сводится только к результирующей силе и скорость точки контакта — то есть той точки катящегося тела, в которой в данный момент происходит касание тела и опорной поверхности — равна нулю. Величина и направление силы реакции должны быть таковы, чтобы обеспечивать выполнение связи — равенство нулю скорости точки контакта — во все время движения. Эта связь дает три дифференциальных соотношения на шесть координат, задающих положение абсолютно твердого тела в пространстве. Одно из этих соотношений может быть проинтегрировано, а два оставшихся представляют собой неголономные связи, наложенные на систему.

В статье [71] С. А. Чаплыгин рассматривает задачу о движении динамически симметричного тела вращения с гироскопом по абсолютно шероховатой плоскости. В этой работе уравнения движения получены из основных теорем динамики, показано, что решение задачи сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных линейных уравнений с переменными коэффициентами. В случае отсутствия гироскопа система уравнений является однороднойесли собственный кинетический момент гироскопа не равен нулю — то неоднородной. Показано, что задача допускает интеграл энергии и два линейных по компонентам угловой скорости тела интеграла. Указано два случая, когда линейные интегралы могут быть получены в явном (хотя и весьма сложном) виде, — это шар и диск. В этой и последующей статье [72] решение задачи о движении неодноднородного шара по абсолютно шероховатой плоскости доведено до квадратур, проанализирована траектория точки контакта на опорной плоскости и на катящемся шаре. Указанные две работы являются основополагающими для всех работ, посвященных динамике тела вращения на абсолютно шероховатой плоскости.

Эти исследования были продолжены Х. М. Муштари [58]. Им были указаны новые формы тел вращения, для которых линейные интегралы могут получены в явном виде — это тело, образованное вращением дуги параболы относительно прямой, проходящей через фокус этой параболы и параллельной директрисе, и гиперболоид вращения. Обобщением этих результатов молено считать статью [45]: в ней указано семейство тел вращения, линейные интегралы в задаче о движении которых по абсолютно шероховатой плоскости могут быть получены как решение некоторого специального обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Получение явных форм интегралов задачи является безусловным продвижением в ее решении. Однако необходимо заметить, что коэффициенты этих интегралов весьма сложны (для диска это гипергеометрические ряды или функции Лежандра, для тел, указанных Х. М. Муштари — эллиптические интегралы первого и второго рода). Поэтому качественный анализ полученного, вообще говоря, в явном виде решения сопряжен с большими трудностями. В то же время оказывается возможным провести качественный анализ, не используя явный вид решения задачи.

Первым и необходимым пунктом качественного исследования задачи является выяснение условий существования и устойчивости равновесий и стационарных движений тела. Первыми работами в этой области являются работы Л. Эйлера и Ж. Даламбера (см., например, [6]), в которых исследуются плоские малые колебания тел, опирающихся о гладкую или шероховатую поверхность. Даламбером установлено, что если радиус кривизны поверхности твердого тела (плоской фигуры, полученной сечением плоскостью движения) в точке контакта меньше, чем расстояние от центра тяжести тела до опорной плоскости, то положение равновесия тела на гладкой плоскости является неустойчивыми.

В задаче о движении тела вращения по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости в работах [7, 22, 53] решена задача об устойчивости его вращения вокруг вертикали. Устойчивость произвольного стационарного движения катящегося по плоскости тела вращения исследовалась в работах [8, 23, 24, 51, 52] (в частности, рассматривались стационарные движения диска, тора и неоднородного шара). В. В. Румянцев [63−65] исследовал задачу об устойчивости стационарного вращения и, в частности, равновесия тяжелого гиростата на горизонтальной плоскости. Были получены условия, необходимые и достаточные для устойчивости равновесия или вращения гиростата вокруг вертикали, проходящей через центр тяжести и точку касания гиростата и плоскости.

Общая задача о существовании и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела на горизонтальной плоскости подробно изучена в работах А. В. Карапетяна [25−27]. Найдены все перманентные вращения и условия их существования и устойчивости, а также исследовано влияние характера взаимодействия тела с плоскостью на устойчивость перманентных вращений (рассматривается модель абсолютно гладкой, абсолютно шероховатой плоскости или плоскости с вязким трением). Эти результаты подробно изложены в диссертации [29].

Среди указанных работ по устойчивости перманентных вращений тела вращения необходимо отметить статью [53], в которой получено необходимое и достаточное условие устойчивости всех стационарных движений тяжелого тела, ограниченного произвольной поверхностью вращения при помощи функции Ляпунова — связки интегралов задачи. Однако выяснение условий знакоопределенности этой функции не потребовало явного вычисления линейных интегралов. Используется лишь задающая их система обыкновенных дифференциальных уравнений. Также следует отметить, что в указанной статье в качестве частного случая рассматривается тело, опирающееся о плоскость иглой.

Качественное исследование движения твердых тел на горизонтальной плоскости (гладкой, шероховатой и с малым вязким и сухим трением) в статьях [9, 47, 48] проводилось различными методами осреднения и методами теории возмущений гамильтоновых систем. Рассматривались возмущения в форме поверхности тела, а также возмущения в характере взаимодействия тела с плоскостью (движение по плоскости с малым трением) [56, 66].

Также методами осреднения проведено исследование качение твердого тела, опирающегося на шаровую поверхность малого радиуса, по произвольной шероховатой поверхности [70]. Слабое возмущение голономной задачи о волчке Лагранжа — замена неподвижной точки («острия») на малый шар — приводит к неголономной задаче.

Анализ фазовой топологии движения твердого тела вращения на абсолютно гладкой и шероховатой поверхности проведен в статьях [49, 57]. Во второй из указанных статей качественный анализ опять же не использует явный вид линейных интеграловтем не менее удается дать исследование характера изменения угла нутации (угла между осью симметрии тела и вертикалью), проанализировать движение точки касания на поверхности тела и на опорной плоскости. Показано, что в фазовом пространстве имеются трехмерные торы с условно-периодическими движениями.

Здесь также необходимо упомянуть работу [86], в которой отмечена связь двух задач о качении диска по шероховатой и гладкой плоскости. В обеих задачах исходная система сводится к гамильтоновой системе с одной степенью свободы (соответствующая координата — угол нутации). Даны сечения бифуркационных диаграмм — зависимость угла нутации на стационарном движении от констант линейных интегралов — и характерный вид фазовых портретов редуцированной системы. Аналогичные результаты, полученные независимо от указанных выше, дополненные анализом устойчивости стационарных движений на основе модифицированной теории Рауса — Сальвадори и Пуанкаре — Четаева [33, 38] опубликованы в статьях [43, 44].

Другой тип бифуркационных диаграмм — диаграмма Смейла — для стационарных движений диска впервые получен в [4]. При построении бифуркационных диаграмм авторы статей [4, 44, 86] использовали явное представление линейных интегралов в задаче о движении диска в виде гипергеометрических рядов. Опираясь на вид полученных с помощью численных алгоритмов диаграмм, можно говорить о количестве и устойчивости прецессионных движений диска при каждой паре констант линейных интегралов.

В статьях [4, 40], большое внимание уделено численному интегрированию уравнений движения тела и демонстрации разных типов траекторий точек контакта на плоскости и поверхности тела.

Численное интегрирование уравнений движения часто применяется для анализа движения по плоскости волчка тип-топ, или китайского волчка. Волчок тип-топ — небольшая игрушка, состоящая из шарового сегмента и цилиндрической ножки на плоской части сегмента, используемой для запуска волчка с большой угловой скоростью. Положение равновесия волчка с опорой на сегмент (ножкой вверх) является устойчивым, но если сильно закрутить его в этом положении, то происходит быстрый переворот волчка на ножку и в этом положении волчок вращается некоторое времядалее скорость вращения падает и волчок постепенно возвращается к опоре на шаровой сегмент. Задача о перевороте волчка привлекает внимание исследователей, так как, во-первых, волчок демонстрирует интуитивно неясное поведение, а во-вторых, потому что на этом модельном примере можно верифицировать разные модели взаимодействия между плоскостью и телом (сухое трение, вязкое трение, модель трения Контенсу-Журавлева [12] и др.).

По-видимому, первой работой, в которой дан анализ движений волчка с переворотом, является [88]. В этой работе показано, что без учета диссипации энергии, происходящий из-за силы трения скольжения, возникающей между плоскостью и телом, невозможно объяснить описанный выше эффект переворота.

Условия существования и устойчивости стационарных вращений волчка (в том числе и вращений с наивысшим и наинизшим расположением центра масс), ограниченного сферической поверхностью, на плоскости с трением исследовались в работах [22, 28, 33, 46, 54, 55, 63, 84].

Наиболее полный анализ существования и устойчивости стационарных движений на основе модифицированной теории Рауса дан в статьях А.В. Ка-рапетяна и В. Н. Рубановского [33−35], а также в монографии [37]. Волчок тип-топ моделируется динамически симметричным шаром со смещенным центром масс, опоре на ножку соответствует положение шара, при котором ось динамической симметрии вертикальна, а центр масс занимает наивысшее положение. Замечательно, что анализ не требует конкретизации закона трения, возникающего между волчком плоскостью. На закон трения накладываются лишь некоторые естественные условия (выполненные и для вязкого трения, и для модели Контенсу — Журавлева [11]). Исследование проводится на основе модифицированной теории Рауса: исследуется существование и характер критических точек эффективного потенциала — минимума полной механической энергии на фиксированном уровне интеграла Желле [80]. На плоскости характерных параметров (расстояние от центра масс до геометрического центра, отношение моментов инерции) выделены области, в которых бифуркационные диаграммы имеют существенные качественные различия, для каждой области построена характерная бифуркационная диаграмма.

Вслед за этими работами появились работы зарубежных авторов [78, 87], в которых также исследуются стационарные движения волчка тип-топ путем составления функций Ляпунова из убывающей функции энергии и интеграла Желле, то есть по смыслу тем же методом, что и в цитированных выше работах А. В. Карапетяна и В. Н. Рубановского. Однако надо отметить, что в работе [78] условия устойчивости вращений вокруг вертикали и прецессионных вращений волчка были получены лишь для больших значений интеграла Желле.

Численное интегрирование уравнений движения волчка тип-топ с разными моделями взаимодействия проводилось во многих работах: было продемонстрировано существование траекторий, отвечающих быстрому перевороту волчка на ножку [12, 77, 81, 82, 85].

Аналитически существование переворотных траекторий показано в работах [66, 76]. Глобальное качественное исследование, демонстрирующее как переворот на ножку, так и. возврат к исходному устойчивому положению равновесия волчка на плоскости с трением скольжения и трением верчения (ненулевой момент сил реакции плоскости, как, например, в модели Контен-су — Журавлева), дано в совсем недавней работе [39]. Опираясь на бифуркационные диаграммы и основываясь на характере дрейфа величины полной механической энергии и величины интеграла Желле невозмущенной задачи, автор ясно описал поведения волчка на плоскости с реальным трением. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем.

• В классической неголономной задаче о качении тела вращения по шероховатой плоскости разработан алгоритм построения поверхностей стационарных движений в случае, когда линейные интегралы задачи неизвестны в явном видеэти поверхности построены для семейства однородных эллипсоидов вращения. Их свойства и структура исследованы аналитически. Показано, что они существенно зависят от того, сплюснут или вытянут эллипсоид вдоль оси симметрии. В пространстве констант первых интегралов выделены области различных типов областей возможности движения и фазовых портретов приведенной системы.

• В задаче о движении тела с острием выполнена стыковка линейных интегралов, в предположении отсутствия проскальзывания между телом и опорной плоскостью. Показано, что эффективный потенциал системы является непрерывно дифференцируемой функцией. Построены бифуркационные диаграммы, которые позволяют дать качественный анализ движения волчка.

• Рассмотрен вопрос об осуществимости качения тела по плоскости без проскальзывания. В пространстве констант первых интегралов выделены области безотрывных движений и движений без проскальзывания.

• В задаче о качении с проскальзыванием китайского волчка (моделируемого двумя шаровыми сегментами, соединенными ножкой) по шероховатой плоскости построен полный атлас бифуркационных диаграмм стационарных движений. Показано, что кривые стационарных движений на этих диаграммах всегда разрывны (в отличие от ранее исследованных более простых моделей китайского волчка). Основные результаты опубликованы в статьях [14−21].

Заключение

.