Интегрируемые системы частиц во внешнем поле и нелинейные полевые модели

Хорошо известно, что как классическая, так и квантовая задачи трех и более частиц с реалистическим взаимодействием между ними (кулоновским или ядерным) не допускает точного решения, Этот факт объясняет устойчивый интерес к более простым, но допускающим точное решение многочастичным системам. Полученные явные решения можно использовать для проверки точности приближенных методов, используемых в ядерной физике. Кроме того, некоторые особенности таких систем могут сохраниться и в реалистических случаях.

В трехмерном случае была найдена только одна точно решаемая модель, в которой J/ частиц связаны осцилляторными силами. Од* нако, ее можно свести к модели) частицы, каждая из которых движется независимо в поле общей потенциальной ямы, и поэтому эта модель несущественно отличается от модели одной частицы ^ * В одномерном случае точные результаты были получены для гораздо более широкого класса систем. В последнее десятилетие появилось весьма большое число работ в этой области ^-9,13−18/ ^ В частности, для классических динамических систем Jf частиц с гамильтонианом вида.

7 Г? Р* (1) были найдены различные классы потенциалов 1/6^.,.,^), для которых такие системы обладают JF функционально независимыми интегралами движения, находящимися в инволюции (то есть классическая скобка Пуассона любых двух интегралов равна нулю)^" *^. Такие системы согласно теореме Лиувилля /25/ являются вполне интегрируемыми. Дальнейший прогресс в этой области был связан с применением к системам типа (I) метода изоспектральной дефорто/ мации, предложенного Лакеом Суть метода состоит в отыскании пары эрмитовых матриц (часто называемых i~.flпарой), элементы которых зависят от импульсов рк и координат Cj е системы так, что уравнения Гамильтона.

• Т>Н р.. Tfs ' Pj ~ ' 1'i—'ir эквиваленты одншу матричному уравнению dL г ы т1 (2) oi-t где L, J означает коммутатор* Собственные значения матрицы L не зависят от времени и, следовательно, являются интегралами движения рассматриваемой системы ^ Впервые к системам с гамильтонианом (I) этот метод был применен в ^ш.

В работе Ольшанецкого и Переломова ^^ была впервые установлена связь между классическими интегрируемыми системами с гамильтонианом (I) и полупростыми алгебрами Ли. Оказалось, что структура потенциала U определяется системой корней одной из классических алгебр Ли, обладающей подсистемами корней различной длины /1,6/ ^ дрИ этом в наИб0Лее общем случае потенциал интегрируемой системы имеет вид jT.

UC^.,^) = ^^{vqj-qj+vfyj+tfj].

J>k ^^ tf У.

2 V1 Л7Г Ъ i.

P L V (v} + ь L.

Здесь различный выбор констант g, gi.^z, соответствует корневым системам, С#, IV и ЬС^ Z1/, Там же был предложен анзац для Х-.М пары Лакса: матрицы L и Н должны быть построены по матричному неприводимому представлению алгебры, определяющей (3). Это позволило найти набор функций {Vj, соответствующих полной интегрируемости многочастичных систем с потенциалом (3) ^*.

Дальнейшее обобщение этих результатов привело к существенному расширению класса потенциалов, определяющих вполне интегрируемые системы /13−15/^ оказалось, что структура такого потенциала может определяться двумя, вообще говоря, различными, функциями тс/.

VJ W • Общее выражение для потенциала имеет вид ' J/ я.

VCq^qjr) = (4) j=l.

Аг f tUvty-v +v (к, г".

Обобщение найденного в /(э/ анзаца для матриц Лакса L, М позволило найти все возможные наборы функций {v, wj в W >16,17/ Доказательство инволютивности интегралов движения, построенных из собственных значений матрицы L, сводится к доказательству того факта, что скобка Пуассона любых двух собственных значений равна нулю^т Такое доказательство для случая ~V (f) = = fact (2рТ+$)+fad! рГ, где o (, fi, Yz S — произвольные постоянные, было проведено ь '.

Первая глава настоящей диссертации посвящена дальнейшему расширению класса интегрируемых динамических систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли в наиболее общем случае, когда потенциал имеет вид (4)#.

Для некоторых многочастичных систем свойство полной интегрируемости было первоначально установлено в квантовом случае /18−20,23/^ ряд точных результатов о виде волновых функций основного состояния был получен Сазерлендом /20−22/ и каЛ0дЖер0 /23/# j частности, были найдены условия, при которых волновая функция основного состояния факторизуется и может быть построена в явном виде* Исследованию волновых функций основного состояния для квантовых систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли, посвящена вторая глава настоящей диссертации..

Теорема Лиувилля, устанавливая критерий полной интегрируемости динамической системы, не дает практически приемлемого способа нахождения явного ввда решений уравнений движения. Для мноj } схг Ж2, al явное интегрирование уравнений движения удалось осуществить методом проектирования /29,30/^ -gro СущН0СТЬ состоит в проектировании свободного движения (по геодезическим) в некотором симметрическом пространстве большего, чем Jf числа измерений, на подпространство меньшей размерности В¹^ этим методом были получены явные решения для обобщенной модели /зр /.

Тода, в '- для систем, содержащих частицы двух типов притягивающиеся и отталкивающиеся. Интегрирование уравнений движения в случае Vff) — где ?(?) — функция Вейерштрасса, удалось выполнить методами алгебраической геометрии /35/ 9.

В относительно небольшем числе случаев удалось установить связь многочастичных динамических систем с нелинейными эволюционными уравнениями: Кортевега-де-Вриза, Буссинеска, Бюргерса—Хопфа, Оказалось, что решения уравнений движения интегрируемой системы связаны с движением полюсов специальных сингулярных решений таких уравнений /33,34,36/ e ц Третьей главе диссертации устанавливается связь между одним классом интегрируемых многочастичных систем и уравнением Бюргерса-Хопфа, Эта связь позволяет свести задачу явного интегрирования уравнений движения к более простой задаче отыскания специальных решений эволюционного уравнения..

Эволюционные уравнения, помимо отмеченной полезной связи с конечномерными динамическими системами, сами по себе также представляют значительный интерес. Он обусловлен прежде всего наличием специальных решений таких уравнений, имеющих форму локализованных возмущений, или импульсов. Такие решения, получившие название «солитоны», не меняют своей формы в процессах взаимодействия, т, е, в определенной степени ведут себя подобно частицам, В конце 50-х годов несколькими авторами /38>39/ было высказано предположение, что с каждым солитонным решением в квантовой нелинейной модели связана элементарная частица, В 1975;" 1976 годах в нескольких работах практически одновременно было показано, что это действительно так, Фаддеев и Тахтаджан ^^ получили переменные типа действие — угол для модели (Wi $), z что подтвердило наличие частицеподобных свойств у солитонных решений в этой модели, В /^3,44/ соответствие между квантовыми частицами и солитонами было продемонстрировано в рамках квази.

45/ классического метода, В ' ' это соответствие установлено на основе вариационного подхода..

Кроме того, все возрастающее количество элементарных частиц приводит к снижению ценности концепции фундаментального лагранжиана, в рамках которой каждой элементарной частице соответствует свое поле. Этот факт, в свою очередь, делает чрезвычайно привлекательной другую особенность нелинейных моделей, приводящих к эволюционным уравнениям: наличие богатого спектра частиц при ограниченном количестве исходных полей²^ Эти причины вызвали неослабевающий интерес к нелинейным полевым моделям отметим некоторые результаты* Коулмен^/ показал, что при определенном соотношении между константами связи квантовая модель (ь*^ У) эквивалентна массивной фермионс* ной модели Тирринга" В для модели получено точное выражение для матрицы рассеяния солитонов, В ^^ рассмотрено квантование другой популярной нелинейной модели.

Построение теории возмущений в окрестности классического солитонного решения сталкивается с определенными трудностями. Дело в том, что выделение из поля классической составляющей нарушает исходную инвариантность системы, и строгий учет законов сохранения становится самостоятельной проблемой. Для преодоления этих трудностей Н, Н, Боголюбовым в начале 50-х годов был предложен метод, известный впоследствии как метод коллективных /53 54 55/ координат, в дальнейшем метод Боголюбова успешно применялся в теории сильной связи /56−59/^ ^ /60/ содержится последовательное изложение метода коллективных координат в каноническом формализме, В ^^ построена ковариантная схема метода Боголюбова, позволяющая явно учесть инвариантность системы относительно группы Пуанкаре, В четвертой главе диссертации с помощью метода Боголюбова рассматриваются нелинейные модели теории поля, приводящие к эволюционным уравнениям..

Таким образом, тема диссертации является актуальной в свете следующих задач:.

I, Поиска новых классических многочастичных систем, обладающих парой Лакса и, как следствие этого, являющихся полностью интегрируемыми..

2, Доказательства полной интегрируемости таких систем в квантовом сдучае, получения информации о волновых функциях и исследования связанных состояний..

3. Установления связи таких систем с нелинейными эволюционными уравнениями в частных производных и явного интегрирования уравнений движения..

Исследования нелинейных моделей теории поля, приводящих к эволюционным уравнениям, и вычисления в рамках теории возмущений в окрестности классического солитонного решения различных квантовых поправок..

Настоящая диссертация посвящена изучению этих проблем. Она состоит из введения, четырех глав с приложениями и заключения..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации..

I. Получены новые случаи полной интегрируемости классических динамических систем, связанных с полупростыми алгебрами Ли. Найден явный вид соответствующих потенциалов взаимодействия..

П. Получены точные результаты для квантовых систем, связанных с полуцростыми алгебрами Ли. Показано, что волновая функция основного состояния систем Сазерленда-Калоджеро во внешнем поле факторизуется, найден ее явный вид. Доказана полная интегрируемость таких систем для случая двух частиц, В частном случае, когда потенциал внешнего поля есть потенциал Морса, получен явный вид волновой функции основного состояния, вычислен нормировочный интеграл для N = 2. Исследован вопрос о факторизации волновой функции основного состояния в общем случае потенциала (В.4), получен явный вид волновых функций..

III. Найдена связь между уравнениями движения одного класса интегрируемых систем и специальными сингулярными решениями нелинейных эволюционных уравнений Бюргерса-Хопфа. Эта связь, существующая лишь при определенных ограничениях на константы, определяющих потенциал интегрируемой системы, позволила впервые проинтегрировать уравнения движения для рассмотренных систем..

IV. Рассмотрена модель двух взаимодействующих с нелинейностью Ф** скалярных полей. На основе ковариантного преобразования Боголюбова проведено квантование в окрестности классического решения. Квантовое поле рассмотрено в первом приближении, вычислена однопетлевая поправка к массе солитона..

У. Показано, что квантовые возбуждения действительных классических решений в нелинейных полевых моделях не могут иметь заряда..

В заключение автор хотел бы горячо поблагодарить своего научного руководителя О. А. Хрусталева за постоянное внимание к работе, многочисленные ценные советы и стимулирующие обсувде-ния..

Автор искренне признателен своему соавтору В. И. Иноземцеву за плодотворное сотрудничество..

Мне приятно выразить благодарность Д. А. Славнову за постоянное внимание к работе и поддержку..

Автор признателен К. А. Свешникову и В. Б. Тверскому, с которыми обсуждались результаты, вошедшие в диссертацию, а также всему коллективу кафедры квантовой теории и физики высоких энергий за создание хороших условий для работы..