Оптимизация тепловых состояний химически реагирующих твердофазных объектов

Нагрев и охлаждение массивных тел, протекающие взаимосвязано с процессами массобмена [94] и физико-химических превращений, присутствуют во многих промышленных технологиях как основные процессы, определяющие качество технологии и ее продукта. Примерами могут служить:

— химико-технологические процессы (вулканизация эластомеров [32, 84], гуммирование [110], отверждение, структурирование полиэтилена, переработка фосфоритов [11], электрохимические [81] и другие процессы [10, 30, 73, 158]);

— металлургическое производство (плавка металла, термообработка в печах [16]);

— термическая обработка пищевых продуктов, строительных материалов, сушка [78,137], твердение бетона [31, 123], ряд процессов промышленной и станционной энергетики [например, 134].

Создание средств оптимального автоматизированного проектирования и технологической подготовки производства (САПР), оптимизация состояний и синтез управлений в таких системах с распределенными параметрами базируются на расчете физических полей — температурного и, сопряженных с ним, степени химических превращений, напряжений, деформаций, влагосодержания и др. Отметим, что температура относится к числу параметров наиболее сильно влияющих на динамику химико-технологических процессов, более всего — на протекание химических реакций.

Эти факторы определяют перманентный интерес исследователей как к фундаментальному описанию этих процессов, так и практике оптимального управления ими на базе математического и физического моделирования.

Рассматриваемые объекты следует классифицировать как управляемые системы с распределенными параметрами, а задачи оптимального управления — как динамические [15, 103]. Например, степень или глубина химических превращений, как правило, определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений кинетики, в которые температура входит в виде параметра через константы скоростей химических реакций [172]. Таким образом степень химических превращений является распределенной, ввиду распределенности в пространстве и нестационарности температуры. Частными случаями этой распределенной модели могут быть:

— модель термически тонкого объекта, когда температура становится варьируемым параметром т стационарным или зависящем только от времени. Методы оптимизации таких систем фундаментально разркботаны и систематизированы [14, 111];

— сосредоточенная кинетическая модель, когда область протека’нйя химических процессов сосредоточена, например, на поверхности термообрабатываемого объекта, как окисление металла при его нагреве [15, 16];

— чисто термическая модель, не содержащая параметров поля химических превращений [37, 140].

Настоящая работа посвящена оптимизации процессов термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений и содержит математическую формализацию рассматриваемых процессов физико-химических превращений, обобщенную постановку, решение и анализ возникающих вариационных задач. Успех практики оптимального управления технологическими процессами в значительной степени определяется универсальностью фундаментального описания этих процессов, которая достигается обобщенными представлениями уравнений модели и их решения. Конкретные технологические особенности процессов вкладываются в условия однозначности: так начальные условия системы дифференциальных уравнений кинетики элементарных химических процессов содержат информацию о длительности их «индукционных периодов», неодинаковых для различных химических процессов, режимов обогрева и характера подготовительных операцийграничные условия уравнения теплопроводности моделируют различные обогревательные системы, процессы смены энергоносителей при обогреве, режимы охлаждения на заключительной стадии термообработки.

Актуальность проблемы.

Достижения математической теории оптимального управления и развитие технологий последнего 30-летия, несомненно, взаимосвязаны. Рассматриваемые технологические процессы являются энергои ресурсоемкими, экологически значимыми, что и определяет все возрастающий интерес исследователей к созданию средств САПР, оптимизации состояний и синтезу управлений в динамических системах с распределенными параметрами. Интенсивное развитие теории и практики оптимального управления, отвечая социальным потребностям, обязано следующим факторам:

— формулировке в 60-е годы принципа максимума Понтрягина [126] и принципа оптимальности Беллмана [8, 9];

— качественному росту в последующие годы характеристик средств вычислительной техники.;

— становлению современных компьютерных и информационных технологий.

Исследователи получили возможность. на базе системного анализа органично сочетать эвристические приемы с формализованными итерационными процедурами для поиска оптимальных управлений нелинейными распределенными системами при сведении их к конечномерным в ходе анализа и диалогового машинного эксперимента. Работами.

-'" -г.

В.Г. Болтянского, А. Г. Бутковского, П. Вэнга, А. И. Егорова, Ю. В. Егорова, H.H. Красовского, Ж.-Л. Лионса, К. А. Лурье, В. И. Плотникова, Ф. О. Фатторини, Л. Чезари и целого ряда других исследователей достигнут решающий прогресс в задачах оптимального управления несвязными физическими полями (полями потенциалов переноса энергии и вещества). Наиболее общие результаты получены для задач управления свойствами сплошных сред, когда управление входит в уравнения состояния и предельные условия относительно простым способом (в виде источника в правые части линейных и квазилинейных уравнений, слагаемыми в линейных краевых условиях и т. п.). С другой стороны, всесторонне исследована проблема оптимизации сосредоточенных химических процессов и химико-технологических схем (А.И. Бояринов, Ю. М. Волин, В. В. Кафаров, Г. М. Островский, С. Роберте Е. В. Dahlin, J.M. Nelson и другие).

Значительно менее разработана проблема оптимального управления полями, сопряженными с температурным — степени химических превращений, напряжений, деформаций, влагосодержания и другими. Вместе с тем именно эти, сопряженные физические поля, определяют качество продукта и самой технологии.

Непосредственному использованию фундаментальных результатов теории оптимальных процессов в технологической практике мешают нерешенность некоторых внутренних проблем теории и нетривиальность математического аппарата. Актуальной поэтому представляется разработка специализированных программных средств и автоматизированных рабочих мест технолога как компонентов САПР, облегчающих вычислительный эксперимент и инициирующих разработку средств автоматического оптимального управления.

Оценка возможностей применения фундаментальных результатов к управлению процессами конкретных технологий проведена с позиций системного анализа в первой главе и позволяет формулировать научную проблему как математическое моделирование и оптимизация процессов термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений.

Цели и задачи исследований.

Проблема соотносится с первым этапом двухэтапной (по Н. Н. Моисееву [103, с. 82]) схемы оптимизации — этапом поиска оптимальных траекторий, который учитывает общие черты класса рассматриваемых процессов и содержит:

— построение моделей — математическую формализацию рассматриваемых процессов физико-химических превращений;

— постановку задач в оптимизационной форме, часто являющейся естественной, т.к./число степеней свободы математического описания объекта, как правило, больше нуля, выбор критериев оптимальности диктуется технологической практикой, а методы оптимизации — достаточно развиты;

— решение возникающих оптимизационных задач и его анализ.

Важность первого этапа подчеркнем тем фактом, что решение задач второго этапа (конструирования систем управления технологическими процессами, поисковых систем автоматической оптимизации [69]) либо включает этот первый этап, либо зависит от того, насколько универсальными являются его выводы. Так как результаты работы должны быть применимы к широкому спектру технологий, сформулируем требования:

— модели по нестационарной теплопроводности и кинетике химических превращений, выбор критериев оптимальности и решения оптимизационных задач должны обладать общностью, чтобы быть адекватными разным технологиямтехнологические особенности процессов вкладываются в условия однозначности;

— анализ следует проводить в обобщенных (безразмерных) переменных, а ЭВМприменять на возможно более поздних этапах исследования, так как численные схемы расчета требуют конкретных числовых значений параметров задачи.

Целями работы являлись:

— выбор моделей и представление решения дифференциальных уравнений в замкнутой форме, позволяющей дальнейший анализ вариационных задач (их необходимых и достаточных условий);

— разработка алгоритмов решения поставленных оптимизационных задач и программных средств реализации алгоритмов.

Достижению этих целей способствует математический аппарат теории оптимальных процессов. При этом поиск оптимальных управлений сводится, как правило, к численной реализации многоточечной краевой задачи [104, 113]. Отметим, что применение принципа максимума [126] требует разработки неочевидной процедуры поиска максимума Я-функции [19], а методы прямой оптимизации, не использующие необходимых условий экстремума, развиты для нахождения параметров кривых, так или иначе аппроксимирующих экстремали.

Разработка специализированных программных комплексов, снабженных пользовательским интерфейсом, позволяет осуществить научно-обоснованные технологические режимы термообработки с минимальными затратами. Программное средство с этой позиции должно быть открыто для включения новых моделей и типов управлений, с другой — позволять вычислительный эксперимент как для задач идентификаций моделей, так и при поиске оптимальных управлений объектом.

Такое понимание проблемы позволило сформулировать конкретные задачи исследований:-.;

1. Построение критериев оптимальности технологически^ процессов термообработки химически реагирующих твердофазных объектов и ограничений, учитывающих характеристики продукта технологии и ее качество. Формулировка задач оптимизации состояний термообрабатываемых объектов при наличии химических превращений.

2. Приближенное аналитическое решение задачи теплопроводности для объектов сложной формы и представление обобщенного решения проблемы теплопроводности для стадии регулярного режима с улучшением сходимости рядов решения на границах интервала изменения переменной интегрального преобразования.

3. Решение обратных кинетических задач (ОКЗ) системы дифференциальных уравнений кинетики для нестационарных экспериментов и разработка автоматизированного рабочего места технолога (АРМТ), реализующего алгоритм метода в диалоговом режиме для отдельных кинетических изотерм, их семейства, неизотермических условий (экспресс-обработка) и других прикладных задач, сопровождающих проектирование режимов обогрева.

4. Построение и решение систем уравнений, отвечающих необходимым условиям экстремума и ограничениям на переменные и управления для сформулированных вариационных задач.

5. Разработка программного средства поиска оптимальных режимов термообработки для различных критериев оптимальности, типов управлений, ограничений и условий однозначности. Программное средство, допуская вычислительный эксперимент, должно представлять возможность расчетного прогнозирования эксплуатационных (или коррелируемых с ними) характеристик изделия на стадии проектирования технологического режима.

Научная новизна работы.

В диссертации реализован этап системной схемы оптимизации в приложении к термообработке химически реагирующих твердофазных объектов.

Предложены обобщенная формулировка проблемы оптимизации тепловых состояний по критериям, содержащим степень химических превращений, и математическое обоснование методологии оптимизации.

При моделировании процессов технологии:

— разработаны метод расчета температурных полей объектов неклассической конфигурации, 1 на основе оценки среднего значения критерия формы изотермкритерия Лобачевского и обобщенная форма решения задач теплопроводности с улучшением по, Г. А. Гринбергу сходимости рядов решений- .

— решена нестационарная ОКЗ для применяемой системы дифференциальных уравнений кинетики химических превращений;

— разработана полиизотермная схема решения изотермических ОКЗ — построения параметрического семейства уравнений регрессии с наибольшим значением корреляционного отношения.

Поставлена в общем виде оптимизационная задача, относящаяся к классу вариационных изопериметрических с ограничениями на производную управления.

Систематитизированы и решены с использованием принципа максимума задачи оптимизации для термически тонких тел и одного из вариантов комплексного показателя качества.

В решении оптимизационной проблемы для массивных объектов достигнуты следующие результаты:

— построена в инвариантной форме система дифференциальных уравнений Эйлера для различных видов минимизируемого функционала, реализующих задачи на качество термообработки и ее быстродействие;

— выведена система обобщенных условий трансверсальности для подвижной границы допустимой области экстремалей со свободными и закрепленными концами с использованием необходимого условия экстремума при ограничении на производную управления;

— разработаны алгоритм, программное средство и получено в классе кусочно-гладких функций численное решение вариационной задачи, сведенной к многоточечной краевой для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоретическая и практическая значимость работы.

1. Получены нетривиальные физически обоснованные оптимальные управления термическими состояниями химически реагирующих объектов, констатирующие универсальность предложенной методологии оптимизации и ее результативность уже на стадии проектирования режимов и расчетного прогнозирования эксплуатационных характеристик продукта технологии.

2. Разработан и физически обоснован на основе оценки среднего значения критерия Лобачевского метод расчета температурных полей в объектах неканонической конфигурации, который имеет самостоятельное значение и нижеследующие практически значимые особенности:

— решение представлено в стандартной для задач теплопроводности форме, что допускает использование выводов и обобщений теории теплопроводности, таких как регуляризация температурных полей, применение интеграла Дк? д, меля, анализ ламинарных течений в каналах сложной формы и прочих. Точность расчета температуры выше, чем для известных приближений: Н. А. Ярышева, приближений на базе принципа стабильности теплового потока и других;

— предложена обобщенная запись замкнутой формы решения задач теплопроводности с улучшением сходимости рядов решения, в частности, для практически важного случая несимметричного нагрева пластины с комбинированными граничными условиями.

Метод внедрен в практику технологических расчетов, в частности, при обосновании технологических режимов охлаждения заготовок анодной массы на основе оценки коэффициентов ее температуропроводности, теплоотдачи и двухстадийной оптимизации процесса (на Красноярском алюминиевом заводе), а также при проектировании режимов вулканизации и при определении эффективной температуропроводности клиновых ремней с целью интенсификации режимов (на Красноярском заводе резиновых технических изделий) и др.

3. Решена обратная кинетическая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общей постановке, допускающей обработку нестационарных кинетических кривых и параметрических семейств кинетических изотерм. Для решения разработаны алгоритмы и предложены программные средства обработки результатов изотермических (поизотермная и полиизотермная схемы) и нестационарных кинетических экспериментов. Метод нестационарного экспресс-анализа кинетики обладает рядом преимуществ перед традиционно применяемыми для решения обратных кинетических задач:

— формализует процедуру поиска кинетических параметров;

— является экономным по расходу времени и средств на производство лабораторных исследований и их обработку;

— представляет возможность для физического моделирования реальных технологических особенностей режимов термообработки и приборной реализации моделирования.

4 Показана возможность оптимизации химических превращений в термически тонких объектах по комплексному показателю качества. Решены отдельные задачи изотермической кинетики процессов типа «структурирования — деструкции» с оценками погрешностей моделирования и реализации оптимальных температурных режимов.

5. Исследована вариационная проблема оптимизации по граничным тепловым воздействиям химически реагирующих массивных объектов. В рамках выполнения известной программы САПР разработчикам технологий предложено программное средство, допускающее вычислительный эксперимент с различными типами критериев оптимальности, управлений и ограничений, которое предоставляв возможность расчетного прогнозирования эксплуатационных (или коррелируемых с ними) характеристик изделия на стадии проектирования технологического режима.

6. Исследования по решению обратных кинетических задач, оптимизации температурных режимов вулканизации, выполненные при поддержке Красноярского шинного завода, внедрены с повышением качества автомобильных шин, сокращением длительности термообработки на вулканизационном оборудовании и снижением энергозатрат.

7. Системно материал диссертации использован в Красноярском государственном техническом университете для постановки курса «Математическое моделирование и оптимизация теплообменных процессов в химических технологиях». Лекции, лабораторные и практические занятия, курсовое проектирование ведутся автором для студентов теплоэнергетических и теплофизической специальностей.

Основные положения, выносимые на защиту.

На защиту выносятся результаты исследования автора, на основании которых осуществлено решение научной проблемы оптимизации термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений.

1. Методология оптимизации технологических режимов термообработки твердофазных химически реагирующих объектов, включающая аналитическое представление температурных полей и приведение критериев оптимальности в задачах на качество и быстродействие к виду, допускающему использование необходимых условий экстремума в виде принципа максимума Понтрягина или системы дифференциальных уравнений Эйлера.

2. Результаты математического моделирования процессов теплопроводности и кинетики химических превращений для решения прямых задач и идентификации моделей в ходе определения констант переноса и кинетических параметров — решения обратных задач.

2.1. Метод расчета температурных полей тел со сложной конфигурацией поверхности, основанный на оценке среднего значения критерия Лобачевского и представления решения задачи теплопроводности в стандартном виде. Номограммы, программное средство решения прямых и обратных задач теплопроводности и обобщения метода регулярного теплового режима в теплофизических исследованиях. Расчетные соотношения для температурных полей объектов в замкнутой обобщенной форме с улучшением сходимости рядов решения по Г. А. Гринбергу.

2.2. Методы, алгоритмы и АРМ технолога решения прямых и обратных кинетических задач (ПиОКЗ). Среди них, помимо традиционного поизотермного метода решения: ^.

— метод полиизотермной обработки (непосредственного определения кинетических констант из семейства экспериментальных кинетических изотерм с использованием корреляционного анализа для параметрической нелинейной регрессии);

— метод экспресс-анализа кинетики химических превращений в нестационарных условиях, реализующий обратные задачи для дифференциальных уравнений типовых химических процессов при изменении температуры во времени, в том числе, соответствующем реальной технологии.

3. Формулировка и решение вариационных задач оптимизации тепловых состояний объекта по критериям, содержащим параметры поля степеней химических превращений.

3.1. Систематизация и решение с применением принципа максимума задач оптимизации температурных состояний термически тонких тел по варианту комплексного показателя качества продукта с оценкой чувствительности критерия для задач на качество и быстродействие по температуре процесса и времени его завершения.

3.2. Анализ и решение задачи оптимального управления тепловым состоянием массивного объекта при ограничениях на производную управления (температуру греющей среды) и фазовые координаты, в том числе:

— инвариантная по критерию оптимальности форма системы дифференциальных уравнений Эйлера, полученная благодаря введению системы скользящих индексов;

— условия трансверсальности для подвижных границ допустимой области экстремалей с закрепленными и свободными концами;

— алгоритм решения поставленной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений и программное средство, реализующее алгоритм для 5 моделей по теплопроводности и 8 типов интегральных функционалов — критериев оптимальности и позволяющее прогнозировать эксплуатационные характеристики изделия для различного режимного и аппаратного оформления процесса.

4. Нетривиальные физически обоснованные управления, приводящие к оптимальным, в смысле однородности поля химических превращений и быстродействия, тепловым состояниям термообрабатываемых объектов.

Личный вклад автора.

Результаты, выносимые на защиту получены лично автором. В совместных публикациях автору принадлежат, разработка методов решения прямых и обратных задач кинетики и теплопроводности, формулировка проблемы оптимизации по критериям, содержащим параметры поля химических превращений, постановка, алгоритмизация, программирование и решение задач. ч.

Выводы.

Критериями (5.9) и ограничениями (5.10)-(5.12), содержащими параметры поля степеней химических превращений, сформулированы задачи оптимизации состояний массивных термообрабатываемых объектов, подчиненных разработанным моделям по теплопроводности и кинетике химических реакций.

Решение поставленной вариационной изопериметрической проблемы достигнуто в классе кусочно-гладких функций на сопрягаемых отрезках экстремалей и границ допустимой их области. Установлены условия трансверсальности для незакрепленной границы при ограничениях на производные управлений и инвариантная по форме система уравнений Эйлера. Возможность анализа необходимых и достаточных условий экстремума и успешное программирование проблемы, в значительной мере определены предложенной системой скользящих индексов.

Разработаны алгоритм и программное средство для IBM PC, реализующее алгоритм для 5 моделей по теплопроводности и 8 типов интегральных функционаловкритериев оптимальности. Допускается несимметричный обогрев и неоднородное распределение по монокоординате энергий активации химических процессов.

В результате получены нетривиальные физически обоснованные управления, приводящие к оптимальным, в смысле однородности поля степеней химических превращений и быстродействия, тепловым состояниям термообрабатываемых в различных технологиях объектов.

Произведены оценка погрешностей моделирования оптимальных состояний и сопоставление кусочно-гладкого оптимального управления с релейным управлением при одном разрыве последнего.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В результате выполненных исследований решена научная проблема математического моделирования и оптимизации процессов термообработки твердофазных объектов при наличии химических превращений, имеющая важное народнохозяйственное значение.

1. Построена система критериев оптимальности технологических процессов термообработки химически реагирующих твердофазных объектов и ограничений, учитывающих характеристики продукта технологии и ее качество. Сформулированы задачи оптимизации состояний указанных объектов в физически обоснованной форме, позволяющей разрешить математические трудности такого класса задач методами вариационного анализа.

2. Решена приближенно-аналитически задача теплопроводности для тела сложной формы и предложен метод расчета температурных полей объектов со сложной конфигурацией поверхности, основанный на оценке среднего значения критерия Лобачевского и представления решения задачи теплопроводности в стандартной для монокоординатного уравнения форме. Установлены расчетные соотношения для температ}фных полей объектов в обобщенном виде, в том числе для тел неклассической конфигурации и несимметрично обогреваемых оболочек с улучшением сходимости рядов решений по Г. А. Гринбергу. Разработаны программное средство и номограммы решения прямых и обратных задач теплопроводности. На этой основе осуществлено обобщение метода регулярного теплового режима в теплофизических исследованиях. Разработанная методика реализована при определении эффективных коэффициентов температуропроводности резинокордных клиновых приводных ремней и предлагается к применению:

— в решении прямых задач теплопроводности;

— при установлении адекватности модели в ходе определения констант переноса и, с учетом сформулированного принципа эквивалентности оптимальных граничных воздействий, при оптимизации тепловых состояний (решения обратных задач).

3. Решены обратные задачи химической кинетики в следующей постановке:

— непосредственное определение кинетических констант (энергий активации предэкспоненциальных множителей, порядков реакций) из семейства экспериментальных кинетических изотерм, названное полиизотермной обработкойзадача определения констант скоростей (поизотермная обработка) становится частным случаем общего алгоритма;

— определение кинетических констант по экспериментальным данным неизотермического реагирования (экспресс-анализ нестационарной кинетики) — прямая кинетическая задача на каждом шаге итерационной процедуры решается численно;

— замена нескольких типовых химических процессов одним эффективным, что существенно расширяет рамки анализа оптимизационных проблем за счет снижения размерности системы уравнений кинетики.

Для решения прямых и обратных задач химической кинетики разработаны пакет прикладных программ для IBM PC, снабженный диалоговым интерфейсом, путем помещения его в оболочку в среде Borland Delphi. Результаты моделирования проверены на опытных данных разных авторов, в том числе на собственных экспериментах.

Для постулируемой модели (семейства кинетических изотерм с максимумами) выполнен локальный анализ чувствительности и проведена оценка влияния возмущающих факторов на положение точки максимума кинетических изотерм.

Получено аналитическое решение дифференциального уравнения кинетики реакции л-го порядка для стандартных задач нестационарной теплопроводности и степенной зависимости скорости реакции от температуры.

Важным практическим результатом проведенных исследований, помимо повышения надежности значений эмпирических констант и снижения затрат на производство опытов, является построение математического аппарата и программных средств для сопоставления физических гипотез при приборной реализации кинетики по физико-механическим и химическим показателям.

4. Поставлены и решены задачи оптимизации термообработки.

4.1. Решены задачи оптимизации химически реагирующих термически тонких объектов при представлении критерия оптимальности тремя типами сверток частных критериев. Для кинетического механизма типа «структурирование — деструкция» с максимумами на кинетических изотермах получены конкретные температурные режимыпроведено сравнение оптимальных режимов при различных ограничениях и сопоставление расчета с экспериментом.

4.2. Решение вариационной изопериметрической проблемы для термически массивного объекта достигнуто в классе кусочно-гладких функций на сопрягаемых с границами допустимой их области отрезках экстремалей.

Установлены условия трансверсальности для незакрепленной границы при наличии ограничений на производные управлений и инвариантная по форме система уравнений Эйлера. Возможность анализа необходимых и достаточных условий экстремума и успешное программирование возникшей многоточечной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в значительной мере определяются предложенной системой скользящих индексов.

5. Разработаны алгоритм и программное средство для IBM PC, реализующее алгоритм для 5 моделей по теплопроводности и 8 типов интегральных функционаловкритериев оптимальности с учетом несимметричного обогрева и неоднородного распределения по монокоординате энергий активации химических процессов.

Произведены оценка погрешностей моделирования оптимальных состояний и сопоставление кусочно-гладкого оптимального управления с релейным управлением при одном разрыве последнего.

6. В результате получены нетривиальные физически обоснованные управления, приводящие к оптимальным (в смысле однородности поля степеней химических превращений и быстродействия) тепловым состояниям термообрабатываемых объектов и позволяющие физически и математически обосновать и осуществить перестройку режимов термообработки различных технологий (при вулканизации шин, резиновых технических изделий, структурировании полиэтиленов), сократить длительность режимов термообработки, повысить качество продукта, снизить энергоемкость производства.