Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченных систем

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Осуществлено компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения трехмерной однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга во внешнем магнитном поле на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими. В процессе моделирования рассмотрены три системы с Ь = 18, 24, 32 с концентрацией спинов р = 1.0, 0.95, 0.8… Читать ещё >

Компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения неупорядоченных систем (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Список рисунков
  • Список таблиц
  • 1. Критические явления в неупорядоченных системах
    • 1. 1. Термодинамический потенциал в форме Гинзбурга-Ландау. Условия на параметры разложения при описании фазовых переходов второго рода
    • 1. 2. Критические индексы
    • 1. 3. Метод ренорм-группы и ^разложения
    • 1. 4. Применение ренорм-группы в динамике
      • 1. 4. 1. Непрерывная модель
      • 1. 4. 2. Дискретная модель
    • 1. 5. Влияние случайно распределенных примесей на критическое поведение
  • 2. Компьютерное моделирование критической динамики однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга
    • 2. 1. Определение модели и основных принципов компьютерного моделирования критической динамики
    • 2. 2. Определение критического индекса 2 для однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга
    • 2. 3. Анализ результатов моделирования однородной и слабонеупорядоченной двумерной модели Изинга
  • 3. Компьютерное моделирование критической динамики сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга
    • 3. 1. Определение критического индекса 2 для сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга
    • 3. 2. Анализ результатов моделирования сильнонеупорядоченной двумерной модели Изинга
  • 4. Компьютерное моделирование критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга
    • 4. 1. Определение модели, особенности критического поведения неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга и ее применение для изучения случайных полей
    • 4. 2. Методика компьютерного моделирования критического поведения антиферромагнитной модели Изинга
    • 4. 3. Результаты моделирования

Проблема фазовых переходов и связанных с ними критических явлений в макроскопических системах является одной из наиболее интересных задач физики конденсированного состояния. Из ряда экспериментов известно, что по мере приближения к точке фазового перехода в веществе растут флуктуации некоторых термодинамических переменных. Эти флуктуации простираются на большие пространственные области и медленно затухают. С ростом флуктуаций в системе растет и их взаимодействие между собой. Любое слабое взаимодействие становится вблизи критической точки сильным, обуславливая математическую сложность описания явления.

Экспериментальные исследования показали интересную общность свойств фазовых переходов в различных веществах. Это позволило сформулировать принцип универсальности критических явлений [2, 50, 25, 19, 11, 12] и предложить модель, в основе которой лежала гипотеза масштабного подобия флуктуаций [23, 22, 68, 21]. Идеи использования метода ренормали-зационной группы и последующая их иллюстрация с помощью метода разложения по отклонению от размерности пространства четыре [104, 103, 3] позволили сделать еще несколько шагов в понимании фазовых переходов в их количественном описании.

В критической точке наряду с особенностями равновесных термодинамических переменных сингулярное поведение испытывают кинетические коэффициенты и динамические функции отклика. Однако, исследование динамических свойств критических флуктуаций сталкивается с трудностями более сложными, чем при описании равновесных свойств. Так, оказывается существенным взаимодействие флуктуации параметра порядка с другими долгоживущими возбуждениями [52, 53, 54, 55, 71, 26, 10, 32].

Глубоко интересен вопрос о влиянии пространственных неоднородно-стей на критическое поведение. Неоднородность систем прежде всего связана с присутствием примесей. Рассеяние флуктуаций на примесях характеризуется специфическими законами сохранения. Особенно интересно влияние замороженных примесей, чье присутствие проявляется или как случайные возмущения локальной температуры для ферромагнитных и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля или как случайные магнитные поля для антиферромагнитных систем в однородном магнитном поле. Благодаря тому, что магнитное поле нарушает симметрию системы по отношению к изменению знаков спинов, статистические свойства этих неупорядоченных систем существенно отличаются.

Исследования показали [56], что в первом случае присутствие замороженных примесей изменяет свойства системы вблизи критической точки, если теплоемкость системы в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с индексом, а > 0. В противном случае присутствие примесей не сказывается на поведении магнетиков при критической температуре. Критерий справедлив как при описании равновесного, так и неравновесного критического поведения. Влияние беспорядка, вызванного присутствием примесей сильнее проявляется в динамике [51]. Данному критерию удовлетворяют только системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен модели Изинга. Присутствие случайно распределенных точечных примесей особенно сильно проявляется в термодинамике систем вблизи трикритической точки, поскольку индекс теплоемкости при этом положителен и не мал — ½) — Изменения, которые может претерпеть динамика флуктуаций в трикритической точке неоднородной системы, по сравнению с однородной неизвестны, и несмотря на интенсивные теоретические и экспериментальные усилия в течение последних двадцати лет [6], в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайными полями. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается мистической загадкой, а получаемые при моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. По одним данным это фазовый переход I рода вплоть до очень низких значений случайного поля, по другим все-таки II рода [89, 105]. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести [6], в отличие от однородных систем, где она равна четырем, а нижняя критическая размерность перехода (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) равна двум [41].

Ренормгрупповой анализ с использованием-разложения [79, 43] выявил, что критическое поведение примесных систем характеризуется новым набором критических индексов, значения которых не зависят от концентрации точечных примесей в области их малых концентраций. Однако, асимптотическая сходимость рядов-разложения для систем с примесями еще более слабая, чем для однородных. В работах [82, 66] проведен анализ равновесного, а в работе [28] — динамического критического поведения разбавленных магнетиков для двумерных систем.

По критической динамике разбавленных систем до сих пор очень немного экспериментальных работ, нет и достаточно обоснованных теоретических оценок динамического индекса 2 из-за плохой асимптотической сходимости рядов-разложения. Остался невыясненным и вопрос: являются ли критические индексы примесных систем универсальными, т. е. не зависящими от концентрации примесей вплоть до порога перколяции, или существует линия фиксированных точек, определяющая непрерывное изменение критических индексов с концентрацией.

Особенный интерес для исследователей представляют неупорядоченные низкоразмерные магнетики, описываемые моделью Изинга. Из-за равенства нулю индекса теплоемкости, а однородной модели влияние беспорядка, вносимого присутствием примеси, становится неопределенным. Детальное рассмотрение этого случая [92, 46] позволило прийти к выводу, что влияние примеси затрагивает только поведение теплоемкости, в то время как остальные термодинамические и корреляционные функции не изменяют своего критического поведения, за исключением появления логарифмических поправок. Теоретико-полевое рассмотрение релаксационного режима критической динамики неупорядоченных двумерных изинговски-подобных магнетиков показало [28], что оно не отличается от динамики однородной модели в области с сгтр < 1 — рс и характеризуется индексом? = 2.277. Однако, нет достаточно ясного понимания процессов критической релаксации при больших концентрациях примесей, особенно, близких к порогу перколяции рс. В ряде работ [58, 57] были высказаны идеи нарушения при перколяционной концентрации спинов стандартной формы динамического скейлинга.

Как цели, так и средства науки начинают меняться в наш компьютерный век. Долгое время теоретическая физика стремилась к аналитическим решениям своих проблем. Это казалось едиственно возможным способом полного описания. Однако большой ряд важных и актуальных задач не допускает такого решения. Единственно возможным подходом явилось применение ЭВМ.

В данной работе в качестве метода исследования неупорядоченных магнитных систем используется метод Монте-Карло, который в настоящее время широко используется для решения различных задач физики, механики, химии, биологии, кибернетики. В приложении к физике метод Монте-Карло можно определить как метод исследования физического процесса путем создания и эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного процесса, поэтому в статистической физике с помощью метода Монте-Карло получены наиболее значительные достижения. Это связано с тем, что статистические закономерности макроскопических систем имеют прежде всего стохастическую природу, а метод Монте-Карло, используемый для прямого моделирования естественной вероятностной модели, позволяет довольно просто вычислить средние в каноническом ансамбле.

Компьютерный эксперимент позволяет получать информацию о свойствах лишь конкретных модельных систем, для которых заданы взаимодействия между частицами. В качестве такой модельной системы здесь использована модель Изинга, являющейся самой распространенной в статистической физике моделью. Модель Изинга находит применение при рассмотрении самых разнообразных систем, таких как магнитные системы (ферромагнетики, антиферромагнетики, ферримагнетики), классические жидкости, бинарные смеси и сплавы, адсорбция на поверхности и т. д. Наиболее часто модель Изинга используется при описании фазовых переходов [20, 80]. Именно задачи теории фазовых переходов и критических явлений являются той областью, в которой компьютерный эксперимент становится альтернативой реальному физическому эксперименту и зачастую единственно возможным способом получения достоверной информации.

Критическая динамика неупорядоченных двумерных систем для концентраций примесей близких к порогу перколяции рс ранее не изучалась методами Монте-Карло.

В связи с этим целью настоящей диссертации является:

1. Исследование критического релаксационного поведения однородной и неупорядоченной двумерной модели Изинга со случайно распределенными замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси в широких интервалах их концентрации. В рамках данного исследования ставится задача:

— определить динамический критический индекс г;

— определить функциональную зависимость динамического скейлин-гового поведения при высоких концентрациях примеси;

— провести сопоставление динамического критического поведения данной модели при различных значениях концентрации примеси.

2. Исследование критического поведения однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга со случайно распределенными замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими. В рамках данного исследования ставится задача:

— построить фазовую диаграмму данной модели при различных значениях концентрации примеси;

— определить параметры трикритической точки при различных значениях концентрации примеси.

Настоящая диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработана процедура блочного разбиения для двумерных спиновых примесных систем на квадратной решетке. На основе этой процедуры создана программа компьютерного моделирования методом Монте-Карло, совмещенным с методом динамической ренормгруппы.

2. Осуществлено компьютерное моделирование процессов критической релаксации намагниченности в двумерной модели Изинга с замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси. Рассмотрены системы размером Ь = 400 с концентрацией спинов р = 1.0, 0.95, 0.9, 0.85, 0.8, 0.75, 0.7. Методом динамической ренормгруппы получены значения критического индекса г в широкой области изменения концентрации спинов: 2(1.0) = 2.24 ± 0.07, 2(0.95) = 2.24 ± 0.06, z (0.9) = 2.24 ± 0.06, -г (0.85) = 2.38 ± 0.05, г (0.8) = 2.51 ± 0.06,, г (0.75) = 2.66 ± 0.07, 2(0.7) = 2.88 ± 0.06.

3. Проведено сравнение результатов компьютерного моделирования критической динамики с результатами теоретико-полевого подхода. Для однородных и слабонеупорядоченных систем выявлено хорошее согласие между значениями критического динамического индекса 2, полученными в результате компьютерного моделирования и аналитического расчета. Сделан вывод, что критическая динамика двумерных слабонеупорядоченных систем принадлежит к тому же классу универсальности, что и динамика однородной системы.

4. Для сильнонеупорядоченных систем с концентрацией спинов р < 0.85 результаты компьютерного моделирования демонстрируют существенное увеличение критического динамического индекса г, что отражает проявление эффектов сингулярного динамического скейлингового поведения вблизи порога перколяции. Выявлена логарифмическая зависимость индекса 2 от концентрации спинов для р = 0.7,0.75,0.8,0.85, описываемая функцией г = А’Ы (рре) + В' с А! = 0.56 ± 0.07, В' - 1.62 ± 0.07. Это является подтверждением квадратичной формы /(х) = Ах2 + Вх + С скей-линговой функции для логарифма времени релаксации 1пт = /(1п.

5. Осуществлено компьютерное моделирование методом Монте-Карло критического поведения трехмерной однородной и неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга во внешнем магнитном поле на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими. В процессе моделирования рассмотрены три системы с Ь = 18, 24, 32 с концентрацией спинов р = 1.0, 0.95, 0.8. Определена температура и тип фазового перехода для значений магнитного поля к — 0- 1.0- 2.0- 3.0- 4.0- 4.5- 5.2. Показано, что в области значений напряженности внешнего поля, характеризующейся слабыми эффектами случайных полей, переход в упорядоченную фазу осуществляется в виде фазового перехода II рода. На основе полученных результатов построены фазовые диаграммы данной модели при указанных выше концентрациях спинов. Сделан вывод, что в области рассмотренных концентраций атомов немагнитной примеси случайные поля не разрушают фазовый переход из парамагнитного в антиферромагнитное состояние в трехмерной модели Изинга.

6. В результате исследования эффектов магнитного гистерезиса в неупорядоченной антиферромагнитной моделе Изинга выделены значения параметров, определяющих трикритическую точку: = 6.14 ± 0.03, Ь^ = 5.40 ± 0.10 для р = 1.0- Тг = 5.15 ± 0.10, Л* = 5.35 ± 0.07 для р = 0.95- Тг = 2.64 ± 0.03, ^ = 4.71 ± 0.05 для р = 0.8. Для однородной системы (р ~ 1.0) полученные значения Т/, находятся в хорошем согласии с более ранними работами по компьютерному моделированию данной модели.

Научная новизна полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

1. Впервые для описания критической динамики двумерной неупорядоченной модели Изинга применен метод динамической ренормгруппы и получены значения критического динамического индекса 2 в широком интервале концентраций примеси.

2. Впервые для двумерной модели Изинга определены области классов универсальности критической динамики для однородной, слабонеупорядоченной и сильнонеупорядоченной систем.

3. Впервые для трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими построены фазовые диаграммы для различных значений концентраций примеси.

4. Впервые для трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с учетом взаимодействия как ближайших соседей, так и следующих за ближайшими получены значения трикритических точек (магнитного поля температуры %) для различных значений концентрации примеси.

Разработанные в диссертации методы и полученные результаты вносят существенный вклад в разработку численных методов, обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической и компьютерной физики. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15, 16, 17, 18, 86, 87].

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю — кандидату физико-математических наук В. В. Прудникову за постановку задач, плодотворное сотрудничество и поддержку в работе.

Заключение

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А.Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // Письма в ЖЭТФ. -1992. Т.55. — Вып.12. — С.709−712.
  2. В.Г., Ларкин А. И. О фазовых переходах второго рода // ЖЭТФ.- 1965. Т.49. — N 3. — С.975−989.
  3. К., Когут Дж. Ренормализационная группа и с разложение.- М.: Мир, 1975. 256 с.
  4. В.Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектриков // ФТТ. 1960.1. Т.2. N 9. — С.2034−2043.
  5. X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. В 2-х частях. ч.2. М.: Мир, 1992. — 400 с.
  6. B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. — Т.165. — N 5. — С.481−528.
  7. Дж. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. М.: Мир, 1982. — 591 с.
  8. Ю.М., Лисянский A.A., Филиппов А. Э. Флуктуационные эффекты в системах с конкурирующими взаимодействиями. Киев: Наука думка, 1989. — 280 с.
  9. Ю.А., Сыромятников В. Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984. — 248 с.
  10. К. Динамическая теория флуктуации вблизи критических точек // Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. М.: Мир, 1975. — С.101−148.
  11. Л.П. Критические явления, гипотеза универсальности, скей-линг и капельная модель // Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. М.: Мир, 1975. — С.7−32.
  12. Л.Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. 3-е изд. М.: Наука, 1976. — 584 с.
  13. А.П. К теории рассеяния света вблизи точек фазового перехода второго рода // ЖЭТФ. 1959. — Т.36. — N 3. — С.810−818.
  14. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. -298 с.
  15. О.Н., Осинцев Е. В., Прудников В. В. Фазовая диаграмма неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями // Вестн. Омского унив. 1996. — N 2. — С.47−49.
  16. О.Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики неупорядоченных двумерных изинговских систем // Письма в ЖЭТФ. 1994. — Т.60. — В.1. — С.24−29.
  17. О.Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование критической динамики сильно неупорядоченных двумерных изинговских систем // ФТТ. 1995. — Т.37. — N 6. — С.1574−1583.
  18. О.Н., Прудников В. В. Компьютерное моделирование неравновесного критического поведения неупорядоченных двумерных изинговских систем // Изв. вузов. Физика. 1994. — N 8. — С.83−88.
  19. A.A. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1968. — Т.55. — N 5. — С.1964−1979.
  20. Методы Монте-Карло в статистической физике/иод ред. К.Биндера.- М.: Мир, 1982. 426 с.
  21. А.З. Гипотеза подобия в теории фазовых переходов второго рода // ЖЭТФ. 1967. — Т.53. — N 6. — С.1987−1996.
  22. А.З., Покровский B.JI. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. 1966. — Т.50 -N 2. — С.439−447.
  23. А.З., Покровский B.JI. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1964. — Т.46. — N 3. — С.994−1016.
  24. А.З., Покровский B.JL Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. — 383 с.
  25. A.M. Микроскопическое описание критических явлений // ЖЭТФ. 1968. — Т.55. — N 3. — С.1026−1038.
  26. A.M. Свойства далеких и близких корреляций в критической области // ЖЭТФ. 1969. — Т.57. — N 1. — С.271−284.
  27. В.В., Вакилов А. Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. — Т.103.- Вып. З С.962−969.
  28. В.В., Вакилов А. Н. Критическая динамика разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1992. — Т.101. — Вып.6. — С.1853−1861.
  29. A.M. Теория дефектов в твердых телах. Т.1. М.: Мир, 1978. — 569 с.
  30. Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике. М.: Наука, 1990. — 176 с.
  31. Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. 1975. — Т.68. — N 5. — С.1960−1968.
  32. П.С. Динамические явления в окрестности критической точки: жидкий гелий и антиферромагнетики / / Квантовая теория поля и физика фазовых переходов. М.: Мир, 1975. — С.149−218.
  33. Р., Крамханся Дж., Лис. П. Теория и свойства неупорядоченных материалов. М.: Мир, 1977. — 300 с.
  34. И.Р. Фазовые переходы второго рода. Киев: Наук, думка, 1985. — 224 с.
  35. Aeppli G., Guggenheim Н., Uemura Y.J. Spin dynamics near the magnetic percolation threshold // Phys. Rev. Lett. 1984. — V.52. — N 11. — P.942−945.
  36. Aharany A. Critical phenomena in disordered systems // JMMM. 1978.1. V.7. N 1. — P. 198−206.
  37. Amit D. Field theory the renormalization group and critical phenomena. New York: Acad. press: McGraw-Hill, 1978. — 333 p.
  38. Andreichenko V.B., Selke W., Talapov A.L. Dynamics in a dilute ferromagnet at the percolation threshold //J. Phys. A. 1992. — V.25. -P.L283-L286.
  39. Biswal В., Chowdhury D. Dimensionality dependence in the singular dynamic scaling in the dilute Ising model // Phys. Rev. A. 1991. -V.43. — N 8. — P.4179−4181.
  40. Bresin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Field theoretical approach to critical phenomena / / Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad, press. — 1976. — V.6. -P.127−249.
  41. Bricmont J., Kupiainen A. Lower critical dimension for the random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. 1987. — V.59. — N 16. — P.1829−1832.
  42. Chowdhury D., Stauffer D. Dilution dependence of the relaxation time in the dilute Ising model // J. Phys. A. 1986. — V.19. — P. L19-L21.
  43. Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat. Phys. 1986. — V.44. — N 1. — P.203−210.
  44. Di Castro C. The multiplicative renormalization group and the critical behavior in d = 4 —? dimensions // Lett, nuovo cim. 1972. — V.5.1. N 1. P.69−74.
  45. Di Castro C., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to critical phenomena // Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad, press. — 1976. — V.6. — P.508−558.
  46. Dotsenko V.S., Dotsenko V.S. Critical behaviour of the 2D~Ising model with impurity bonds //J. Phys. C. 1982. — V.15. — N 3. — P.495−507.
  47. Fisher M.E. Renormalization of critical exponent by hidden variables // Phys. Rev. 1968. — V.176. — N 1. — P.257−272.
  48. Fisher M.E. The renormalization group and the theory of critical behavior // Rev. Mod. Phys. 1974. — V.46. — N 4. — P.597−616.
  49. Grest G.S., Soukoulis C.M., Levin K. Comparative Monte Carlo and mean-field studies of random-field Ising systems // Phys. Rev. B. 1986. — V.33. — N 11. — P.7659−7674.
  50. Griffits R.B. Termodynamic function for fluids and ferromagnets near the critical point // Phys. Rev. 1967. — V.158. — N 1. — P.176−189.
  51. Grinstein G., Ma S.K. and Mazenko G.F. Dynamics of spin interacting with quenched random impurities // Phys. Rev. B. 1977. — V.15.1. N 1. P.258−272.
  52. Halperin B.I., Hohenberg P.C. Calculation of dynamic critical properties // Phys. Rev. Lett. 1967. — V.19. — N 2. — P.700−703.
  53. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S. Calculation of dynamic critical properties using Wilson’s expansion methods // Phys. Rev. Lett. 1972. — V.29. — N 23. — P.1548−1551.
  54. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S. Renormalization-group methods for critical dynamics // Phys. Rev. B. 1974. — V.10. — N 1. — P.139−153.
  55. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Siggia E.D., Ma S. Renormalization-group treatment of the critical dynamics of the binary-fluid and gas-liquid transition // Phys. Rev. B. 1976. — V.13. — N 5. — P.2110−2123.
  56. Harris A.B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // j. Phys. C. 1974. — V.7. — N 6. — P.1671−1692.
  57. Harris C.K., Stinchcombe R.B. Critical dynamics of diluted Ising systems // Phys. Rev. Lett. 1986. — V.56. — N 8. — P.869−872.
  58. Henley C.K. Critical Ising spin dynamics on percolations clasters // Phys. Rev. Lett. 1985. — V.54. — N 18. — P.2030−2033.
  59. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of disordered 2-dimensional Ising systems // Europhys. Lett. 1991. — V.16. — N 5. — P.503−508.
  60. Heuer H.-O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A. 1993. — V.26. — N 6. — P. L333-L339.
  61. Heuer H.-O. Dynamic scaling of disordered Ising systems //J. Phys. A.- 1993. V.26. — N 6. — P. L341-L346.
  62. Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. — V.49. — P.435−479.
  63. Ito N. Non-equilibrium relaxation and interface energy of the Ising model // Physica A. 1993. — V.196. — P.591−600.
  64. Jain S. Non-universality in the dynamics at the percolation threshold // J. Phys. A. 1986. — V.19. — P. L667-L673.
  65. Jan N., Moseley L.L., Stauffer D. Dynamic Monte Carlo renormalization group // J. Stat. Phys. 1983. — V.33. — N 1. — P. l-11.
  66. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1983. — V.27. — N 1. — P.607−612.
  67. Jug G. Critical singularities of the random two-dimensional Ising model // Phys. Rev. B. 1983. — V.27. — N 7. — P.4518−4521.
  68. Kadanoff L.P. Scaling laws for Izing models near Tc j j Physics. 1966. -V.2. — N 6. — P.263−273.
  69. Kalle C. Vectorised dynamic Monte Carlo renormalisation group for the Ising model // J. Phys. A. 1984. — V.17. — P. L801-L806.
  70. Katz S.L., Gunton J.D., Liu C.P. Monte Carlo renormalization group study of two-dimensional Glauber model // Phys. Rev. B. 1982. — V.25.- N 9. P.6008−6011.
  71. Kawasaki K. Dynamics of critical Auctions // Progr. Theor. Phys. 1968.- V.40. N 4. — P.706−733.
  72. Lage E.J.S. Critical dynamics of the pure and diluted two-dimensional Ising model // J. Phys. C. 1986. — V.19. — N 1. — P. L91-L95.
  73. Landau D.P. Magnetic tricritical points in Ising antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 1972. — V.28. — N 7. — P.449−452.
  74. Landau D.P. Tricritical exponents and crossover behavior of a next-nearest-neighbor Ising antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1976. — V.14.- N 9. P.4054−4058.
  75. Li Z.B., Schulke L., Zheng B. Dynamic Monte Carlo measurement of critical exponents // Phys. Rev. Lett. 1995. — V.74. — N 25. — P.3396−3398.
  76. Li Z.B., Schulke L., Zheng B. Finite size scaling and critical exponents in critical relaxation // Phys. Rev. E. 1996. — V.53. — N 5. — P.2940−2951.
  77. Linke A., Heermann D.W., Altevogt P., Siegert M. Large-scale simulation of the two-dimensional kinetic Ising model // Physica A. 1995. — V.225.- P.318−324.
  78. Macisaak K., Jan N. On the dynamic exponent of the two-dimensional Ising model // J. Phys. A. 1992. — V.25. — P.2139−2145.
  79. Marro F., Labarta A., Tejada F. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. 1986. — V.34. — N 1. — P.347−349.
  80. Mouritsen O.G. Computer studies of phase transitions and critical phenomena. Berlin- Heidelberg: Springer, 1984. — 329 p.
  81. Muller-Krumbhaar H. Landau D.P. Tricritical relaxation in an Ising-Glauber model with competing interactions // Phys. Rev. B. 1976.- V.14. N 5. — P.2014−2016.
  82. Newman K.E., Riedel E.K. Cubic N-vector model and randomly dilute Ising model in general dimensions // Phys. Rev. B. 1982. — V.25.1. N 1. P.264−280.
  83. Newman M.E.J., Barkema G.T. Monte Carlo study of the random-field Ising model // Phys. Rev. E. 1996. — V.53. — N 2. — P.393−404.
  84. Paula G.L.S., Figueiredo W. Dynamical phase diagram of the random field Ising model // Eur. Phys. J. B. 1998. — V.l. — N 4. — P.519−522.
  85. Poole P.H., Jan N. Dynamical properties of the two- and three-dimensional Ising models by 'damage spreading' //J. Phys. A. 1990. -V.23. — P. L453-L459.
  86. Prudnikov V.V., Markov O.N. Critical dynamics of disordered two-dimensional Ising systems: a Monte Carlo study //J. Phys. A. 1995. -V. 28. — P.1549−1556.
  87. Prudnikov V.V., Markov O.N. Monte Carlo renormalization group of dilute 2D Ising dynamics // Europhys. Lett. 1995. — V. 29. — N 3.- P.245−250.
  88. Racz Z., Collins M.F. Linear and nonlinear critical slowing down in the kinetic Ising model: high-tempurature series // Phys. Rev. B. 1976. -V.13. — N 11. — P.3074−3077.
  89. Rieger H., Young A.P. Critical exponets of the three-dimensional random field Ising model // J. Phys. A. 1993. — V.26. — P.5279−5284.
  90. Rieger H. Critical behavior of the 3D random field Ising model: Two-exponent scaling or first order phase transition? // Phys. Rev. B. 1995.- V.52. N 10. — P.6659−6672.
  91. Rogiers J., Indekeu J.O. Critical dynamics of the two-dimensional kinetic Ising model: high-tempurature series analysis of the autorelaxation time // Phys. Rev. B. 1990. — V.41. — N 10. — P.6998−7003.
  92. Shalaev B.N. Critical behavior of the two-dimensional Ising model with random bonds // Phys. Rep. 1994. — V.237. — N 3. — P.129−188.
  93. Stauffer D. Introduction to percolation theory. Taylor k, Fransis, 1985.- 294 p.
  94. Stauffer D. Scaling theory of percolation clasters // Phys. Rep. 1979. -V.54. — N 1. — P. 1−78.
  95. Stauffer D. Violation of dynamical scaling for randomly dilute Ising ferromagnets near percolation threshold // Phys. Rev. Lett. 1975. -V.35. — N 6. — P.394−397.
  96. Stauffer D. Coarse graining, Monte Carlo renormalisation, percolation threshold and critical temperature in the Ising model //J. Phys. A. -1984. V.17. P. L925−928.
  97. Stinchcombe R.B. Dilute magnetism // Phase transitions and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad, press.- 1983. V.7. — P.151−191.
  98. Tobochnik J., Sarker S., Cordery R. Dynamic Monte Carlo renormalization group // Phys. Rev. Lett. 1981. — V.46. N 21. P.1417−1420.
  99. Wang J.S., Selke W., Dotsenko Vl.S., Andreichenko V.B. The two-dimensional random bond Ising model at criticality a Monte Carlo study // Europhys. Lett. — 1990. — V.ll. — N 4. — P.301−305.
  100. Wang J.S., Selke W., Dotsenko Vl.S., Andreichenko V.B. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica A. -1990. V.164. — P.221−239.
  101. Wegner F.J. The critical state, general aspects // Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad, press. — 1976. — V.6. — P.8−124.
  102. Williams J.K. Monte Carlo estimate of the dynamical critical exponent of the 2D kinetic Ising model // J. Phys. A. 1985. — V.18. — N 1. — P.49−60.
  103. Wilson K.G. Feynmann-graph expansion for critical exponents // Phys. Rev. Lett. 1972. — V.28. — N 9. — P.548−551.
  104. Wilson K.G., Ficher M.E. Critical exponent in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. 1972. — V.28. — N 4. — P.240−241.
  105. Young A.P., Nauenberg M. Quasicritical behavior and first-order transition in the d=3 random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. -1985. V.54. — N 22. — P.2429−2432.
Заполнить форму текущей работой