Перед современной фундаментальной физикой стоят, на наш взгляд, две основных задачи —¦ проблема инфракрасного заточения цвета в квантовой хромодинамике и квантование гравитации. В рамках некоторых подходов к решению этих проблем возникают квантовые струны, мембраны и/или многомерные динамические гиперповерхности (или просто бра-ны). Мы считаем, что углубление нашего понимания обсуждаемых явлений упирается в отсутствие адекватного формализма для работы с такими неточечными объектами. Хотя очевидно, что описание природы в терминах теорий частиц определяется уровнем наших знаний на данный момент, а не свойством природы, мы начнем наше изложение с того, что уже достоверно известно в локальной теории поля, а не с академического рассмотрения бран. Объясним здесь то, как мы понимаем постановку вышеупомянутых проблем и пути возможного их решения с использованием нелокальных (неточечных) объектов — струн и бран.
Начнем с проблемы невылетания/заточения цвета. В математическом описании любого явления необходимо найти какую-нибудь приближенную модель, допускающую точное решение, и малую величину, по степеням которой можно провести разложение, чтобы приблизить аналитически вычисляемые величины к экспериментально наблюдаемым. В случае сильных взаимодействий хорошим приближением при высоких энергиях является описание в терминах свободных векторных и фермионных частиц —- глюонов и кварков, соответственно. Они несут три квантовых числа, которые называются цветами и принимают значения в различных представлениях неабелевой калибровочной группы SU (3).
Основу такого описания природысильных взаимодействий составляет SU (3) теория Янга-Миллса (см., например, [1]). Именно в такой ситуации возникает необходимая малая величина — константа связи д2. Это отлично согласуется с экспериментом, где на малых расстояниях видны асимптотически свободные цветные кварки и глгооны. Однако на больших расстояниях экспериментально мы наблюдаем бесцветные мезоны и барио-ны в качестве асимптотических состояний. Это называется явлением невылетания или инфракрасного заточения цвета.
Считается, что основные свойства этого явления сохраняются, если исключить кварки из рассмотрения, т. е. иметь дело только с чистой калибровочной теорией Янга-Миллса, описывающей при высоких энергиях свободные векторные частицы — глюоны. Тогда на больших расстояниях в качестве асимптотических состояний ожидаются бесцветные глю-болы — коллективные возбуждения, составленные из глюонов. Проблема невылетания, в этом случае проявляется следующим образом. Из-за квантовых эффектов константа связи д2 растет при удалении на большие расстояния или при переходе к малым энергиям, и глюоны уже нельзя считать свободными. Это проявляется в том, что на некотором масштабе энергий описание сильных взаимодействий в терминах глюонов становится несостоятельным из-за сингулярностей, возникающих в теории возмущений (см., например, [1]). В результате неизвестно как перейти к низким энергиям в теории Янга-Миллса. Поэтому возникает вопрос: какое приближение к сильным взаимодействиям может быть применимо при любых энергиях?
На наш взгляд, наиболее многообещающий подход к задаче состоит в рассмотрении SU (N) теории Янга-Миллса, при N —> оо [1], когда теория возмущений существенно упрощается [2], и единственные диаграммы, которые остаются, выглядят как «триангуляции» сферы. Диаграммы, дающие вклад в эти «триангуляции», представляют собой разложение в ряд по степеням параметра g2N, который полагается конечным в пределе N —> оо [2]. При этом вклады от диаграмм с топологией тора и сферы с несколькимиручками подавлены по степеням величины 1 /N2, играющей роль малого параметра, при разложении по которому мы могли бы приблизиться к реальной ситуации (N = 3). Эти факты показывают, что в пределе N —* оо теория ЯнгаМиллса может быть эквивалентна теории струн, описывающей суммирование по рассматриваемым «триангуляциям» [1]. Основным достоинством этой теории является то, что она может быть применима при любых энергиях. Однако к сожалению, на данный момент имеется крайне мало прямых подтверждений такому соответствию между теорией Янга-Миллса и теорией струн. Наиболее достоверные наблюдения сделаны в очень специальных ситуациях и обсуждаются в обзорах [3, 4] и далее в диссертации. В любом случае мы полагаем, что теория струн может помочь в понимании динамики сильных взаимодействий.
Теперь объясним какого сорта проблемы возникают в гравитации. Классическая гравитация описывается нелинейными дифференциальными уравнениями, которые имеют второй порядок по производным. Это есть уравнения Эйнтптейна-Гильберта. Их решения как в задаче с начальными, так и с граничными условиями имеют сингулярности, по крайней мере, если они становятся стационарными в итоге эволюции. Это — сингулярности кривизны в решениях, отвечающих разного сорта черным дырам и космологическим моделям. Нередко, чтобы исключить подобного сорта особенности из задачи, рассматривают пространства с нетривиальными топологиями, выкидывая те их части, на которых расположены сингулярности. Но таким образом не поменять сути проблемы, т.к. у дифференциального уравнения второго порядка по производным необходимо фиксировать либо источник и граничное условие на переменную уравнения (метрику), либо же — граничные условия на метрику как на асимптотической бесконечности, так и вблизи устраненной части пространства, т. е. там, где должна быть сингулярность. Или же необходимо фиксировать граничные условия как на саму метрику, так и на ее первую производную.
Итак, первая сложность в гравитации возникает еще в классической теории и. заключается в том, что приходится иметь дело с разного сорта сингулярностями, которые, как известно, природа не терпит. Во всяком случае неизвестно какие из сингулярных решений имеют отношение к природе, а какие — просто артефакты рассматриваемого нами приближенного описания природы. В результате в гравитации неизвестно правильное фазовое пространство (его топология и геометрия), т.к. оно находится во взаимно однозначном соответствии с решениями классических уравнений движения. А это уже создает первые сложности и для квантования теории, т.к. неизвестно, какие метрики надо учитывать в «функциональном интеграле» квантовой гравитации, а какие — нет. По сути дела, это все та же проблема классической теории поля, связанная с наличием гармоник полей с бесконечными частотами — проблема, встающая во весь рост только после квантования теории поля. Действительно, в теории гравитации естественно, что возбуждение с достаточно большой частотой приводит к такому искривлению метрики, что образуется черная дыра. Т. е. проблема обрезания больших частот в данном случае связана с разрешением проблемы сингулярностей в кривизне классических решений гравитации. При квантовании гравитации она усугубляется (по сравнению с обычной теорией поля) еще и тем, что нет хорошего способа регуляризации, не нарушающего либо общей ковариантности, либо унитарности. Итак, в полной теории, описывающей гравитацию при любых энергиях, должен быть заложен естественный способ обрезания рассматриваемых расходимостей и, соответственно, бесконечных частот. i)).
Хотя сейчас уже практически ни у кого нет сомнений, что для описания природы гравитацию необходимо квантовать, давайте объясним нашу точку зрения на то, зачем это нужно делать. (Дело в том, что в случае гравитации, в отличие от других взаимодействий, нет прямых экспериментальных наблюдений, подтверждающих необходимость ее квантования.) Сначала мы дадим достаточно наивное объяснение, используя параллели между различными теориями. Классическая нерелятивистская или релятивистская частица полностью описывается соответствующим уравнением Гамильтона-Якоби (или же уравнением эйконала, в случае света). Эти уравнения являются классическими пределами уравнений Шредингера, Клейна-Гордона (Дирака, если вспомнить о спине) и Максвелла, соответственно. Т. е. первичное квантование — это, по сути дела, есть переход от уравнений Гамильтона-Якоби для частиц к уравнениям, описывающим волны. В этом смысле уравнения Эйнштейна-Гильберта, будучи волновыми уравнениями, представляют собой уже первичное квантование. Поэтому вторичное квантование — переход от квантования отдельных частиц к квантованию полей («наборов частиц») — является естественным следующим шагом как для электромагнитных (и слабых с сильными) взаимодействий, так и для гравитации.
Другой, менее наивный аргумент заключается в следующем. Если гравитацию рассматривать как классический фон для других квантованных полей, то возникают разного сорта проблемы. Наиболее известный пример — это нарушение унитарности в присутствии черных дыр [5] (см. также обзор [6] о современном состоянии дел на эту тему).
Черная дыра является стабильным стационарным решением уравнений Эйнштейна-Гильберта. Она задает некоторое подмногообразие меры ноль фазового пространства теории, определяемое несколькими параметрами решения — массой, моментом вратцения и зарядом относительно калибровочной группы. Поясним в чем заключается это явление.
Излучение из-под горизонта черной дыры претерпевает бесконечно большое инфракрасное смещение. При этом для возникновения гравитационного излучения необходимо наличие квадрупольного момента, т. е. моменты до квадрупольного создают стационарные гравитационные поля. В силу этих фактов решение типа черной дыры (стационарное решение с сингулярностью и горизонтом) не может зависеть от мультипольных моментов. В результате черная дыра, с точки зрения стороннего наблюдателя, выглядит как стационарный объект с однородным распределением массы, момента вратцения и заряда по ее горизонту. Эти факты составляют основу так называемой теоремы об «отсутствии волос» у черной дыры [7].
Учет квантовых полей на фоне черной дыры приводит к рождению частиц в ее сильном гравитационном поле. Мы обсуждаем подробно это явление в последней главе диссертации. Сильным стационарным гравитационным полем является как раз такое, которое имеет так называемый apparent горизонт1. Дело в том, что в процессе коллапса (образования apparent горизонта) происходит изменение вакуума для квантовой теории поля на фоне гравитирующего объекта. В результате вакуумные флуктуации по отношению к исходному вакууму становится физическими возбуждениями по отношению к новому вакууму. Это связано с тем, что наличие горизонта приводит к отсутствию глобально определенного времени-подобного вектора Киллинга, а он необходим для определения того, что мы называем положительной энергией — возбуждением над вакуумом. Последнее и определяет наш вакуум.
1Appaxent горизонт — это граница такой области пространства-времени, внутри которой, из-за ее кривизны, световые конусы направлены внутрь ее же самой.
В силу этого черная дыра теряет энергию, излучая ее на пространственную бесконечность. В рассматриваемом приближении такое излучение имеет тепловой спектр [8], т. е. кванты излучения с равной вероятностью могут нести любое квантовое число, помимо энергии. Это означает, что если черная дыра поглотила какую-то частицу, несущую информацию, скажем, о СРТ квантовых числах участников какой-то реакции, то потом она может полностью испариться, и мы потеряем информацию о рассматриваемом числе. Это и ведет к нарушению унитарности, т.к. сохранение СРТ числа следует однозначно из унитарности S-матрицы теории. Однако подчеркнем, что вышесказанное верно в приближении, в котором гравитация рассматривается как классический фон, т. е. когда амплитуда отклика гравитационного фона на квантовые флуктуации полей мала по сравнению с собственными размерами черной дыры. Иными словами, мы предполагаем, что черная дыра теряет энергию адиабатически, что ведет к медленному изменению фона.
По сути дела, утверждается, что мы должны выкинуть из рассмотрения любое квантовое число, если оно попало (со своим носителем) в черную дыру, а сама черная дыра не может его нести2. Квантование гравитации приводит к детальному учету ее отклика на квантовые флуктуации других полей. На нага взгляд, нет никаких причин думать, что после квантования черная дыра будет нести только те квантовые числа, которые позволяет теорема об «отсутствии волос» [6]. Действительно, после квантования необходимо будет работать не с подмножеством меры ноль в фазовом пространстве гравитации — стационарной классическойчерной дырой, а с существенной частью всего фазового объема: с дырой и всевозможными флуктуациями вокруг нее. Помимо этого, там, где удается проверить все эти факты явно (в теории струн), получается совершенно унитарное поведение излучения черной дыры [9] (см. также обзор [6]).
Итак, ясно, что гравитация Эйнштейна-Гильберта — это некоторая эффективная низкоэнергетическая теория, которая должна быть квантована и модифицирована при достаточно больших энергиях или малых расстояниях. В качестве дополнительного аргумента заметим, что теория неперенормируема вне массовой поверхности, если при квантовании наивно использовать действие Эйнштейна-Гильберта. Какая же теория перенормируема, несингулярна и квантует гравитацию? Наиболее изученный кандидат на данный момент это теория струн. Таким образом, теория струн может оказаться также полезной и в случае решения проблем гравитации.
Теория струн описывает динамику двумерных поверхностей, заметаемых струнами (одномерными объектами) во время их эволюции. Известно несколько самосогласованных теорий струн, обладающих суперсимметрией в объемлющем пространстве (target space) пространстве, в котором распространяются струны. Последнее обычно выбирается десятимерным, поскольку в другом случае не сутцествует хорошо разработанных методов вычисления суперструнных амплитуд [1, 10,11]. Не смотря на то, что при этом получается конечная согласованная теория, все это выглядит не очень привлекательно с феноменологической точки зрения, т.к. приводит к огромному количеству лишних (не наблюдаемых в природе) возбуждений. Однако нас пока интересует вопрос о способе квантования гравитации в принципе.
В теории на мировой поверхности струн существует бесконечно много возбуждений, которые соответствуют разным квантовым их состояниям. Струна в некотором квантовом состоянии выглядит как частица, если смотреть на нее с достаточно больших расстояний.
2 Т. е. любое квантовое число кроме энергии, момента вращения и заряда относительно калибровочной группы. в объемлющем пространстве. Среди возбуждений струны существует конечное число безмассовых, тогда как остальные имеют массы по порядку величины пропорциональные квадратному корню из струнного натяжения. Натяжение обычно считается величиной порядка квадрата иланковской энергии: Следовательно, на расстояниях, больших по сравнению со струнным масштабом длин (как раз тогда, когда струны можно считать точечными объектами), выживают только безмассовые частицы. Последние можно описывать теорией поля в объемлющем пространстве, а не теорией струн.
Среди безмассовых возбуждений замкнутых струн есть частица, соответствующая симметричному тензорному полю. В силу свойств симметрии струнной теории эта частица имеет в точности такое же число физических степеней свободы, как и гравитон. Единственной теорией на больших расстояниях, которая может описывать гравитон, является, теория гравитации Эйнштейна-Гильберта. Она-то, взаимодействующая с остальными безмассовыми струнными возмущениями, и возникает в объемлющем пространстве [1, 10, 11] в классическом приближении к теории суперструн.
Теорию, описывающую взаимодействие полей суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями супергравитации, можно получить, если наряду с замкнутыми струнами включить в рассмотрение открытые, поскольку в теории открытых струн легчайшее возбуждение является векторной частицей с числом физических степеней свободы, как у калибровочного векторного бозона. Как мы объясняем в приложении к диссертации, открытые струны не могут существовать без замкнутых, иначе будет нарушена унитарность.
Концы открытых струн могут лежать на многомерных гиперповерхностях в объемлющем десятимерном пространстве — на так называемых D-бранах. В приложении к диссертации мы показываем, что динамика этих гиперповерхностей описывается возбуждениями открытых струн. Как мы уже заметили, при низких энергиях теория для легчайших возбуждений открытых струн — это теория Янга-Миллса, содержащая как векторные бозоны, так и скалярные поля (и фермионы в суперсимметричном случае). Таким образом, квантовая теория Янга-Миллса, взаимодействующая со скалярными полями, приобретает ясный геометрический смысл как теория, описывающая первично-квантованную теорию бран, содержащую суммирование по вложениям (скалярным полям) многомерных гиперповерхностей в объемлющее пространство.
В силу всего вышесказанного теория струн выглядит очень привлекательно, т.к. помимо квантования гравитации, в рамках этой теории мы имеем единый подход к гравитационным и калибровочным теориям, что является важным шагом на пути объединения всех экспериментально открытых взаимодействий. Помимо этого, с этой точки зрения теория струн также помогает при решении задачи квантования многомерных бран, т.к. просто описывает их квантовые флуктуации. Задача квантования бран возникает, во-первых, по той причине, что не следует ограничиваться рассмотрением только линейных объектов (струн), раз уж мы пошли дальше частиц. Во-вторых, в последнее время стало популярным феноменологически рассматривать наш мир как четырехмерный мировой объем некоторой браны, вложенной в многомерное объемлющее пространство [12], что, на наш взгляд, выглядит естественным со многих точек зрения. В частности, общая ковариантность нашего мира в этом случае приобретает совершенно ясный смысл — физические процессы не должны зависеть от координатной сетки, выбранной на мировом объеме браны.
Однако в отличие от струн, теории на бранах достаточно больших размерностей являются настолько сложными, что с ними неизвестно как работать3, за исключением простейших ситуаций. Поэтому описание таких теорий в терминах теории струн выглядит очень привлекательно. Струны выглядят привлекательнее, во-первых, по той причине, что двумерная теория на их мировой поверхности значительно проще многомерных теорий на мировых объемах бран. Во-вторых, на массовой поверхности (с точки зрения объемлющего пространства) струнная теория инвариантна относительно группы конформных преобразований, которая имеет бесконечную размерность как раз в двух измерениях. Другим существенным фактом, который отличает браны от струн, является то, что неизвестна четкая градуировка, по которой одни возбуждения бран отщеплялись бы от других (как безмассовые возбуждения струн от массивных). И в конце концов именно в случае критической размерности объемлющего пространства можно полностью избавиться от метрики на мировой поверхности струн, чего обычно нельзя достичь в случае бран достаточно большой размерности. Соответственно, рассмотрение открытых струн некоторым образом улучшает ситуацию с квантованием бран, т.к. в таком случае можно иметь дело с двумерной конформной теорией с границей, а не с многомерной теорией на бране.
После того как мы пояснили полезность теории струн и бран, перейдем теперь к описанию структуры диссертации. В приложении к диссертации мы объясняем, что, в сущности, струны в современной формулировке используются как пробники для фоновых полей, составленных из их же собственных возбуждений. В случае, если фоновые поля находятся на массовой поверхности, т. е. если они решают уравнения гравитации и/или Янга-Миллса, теория на мировой поверхности струн является конформно-инвариантной. Практически только в таком случае удается посчитать корреляционные функции в теории струн. Существенную роль также играет присутствие суперсимметрии на мировой поверхности струны и в объемлющем пространстве, иначе приходится иметь дело с тахионом. Более того, меняя фон в теории струн, необходимо заново пересчитывать спектр и корреляционные функции в ней. Это называется фоновой зависимостью в теорий струн. Именно эти проблемы и составляют основной интерес для первой части диссертации.
Вторая глава посвящена изучению возможности использования D-бран вместо струн в качестве пробников для различных фонов и процессов в теории струн. Во всяком случае, здесь нет никаких оснований ожидать, что все вычисления можно проделать только для фоновых полей на массовой поверхности. В первой части этой главы мы показываем, как можно восстановить метрику фоновой ОЗ-браны из редуцированной теории Янга-Миллса с гипермультиплетами. Во второй части сделана попытка выйти за пределы массовой поверхности и показано, как D-брана может пробовать аннигиляцию О-анти-О-системы. Аннигиляция видна на пробнике как ренормализационно-групповой поток. При этом из некоторых симметрийных соображений для теории на мировом объеме пробника можно восстановить вакуумное значение фонового тахионного поля после аннигиляции. В третьей части этой главы мы показываем, каким образом связаны перенормировки в четырехмерных калибровочных теориях и в теориях, полученных из них редукцией в меньшее число измерений. Мы используем это наблюдение для альтернативного доказательства теорем о неперенормируемости в четырехмерных теориях с большим числом суперсим-метрий. Во всех этих вычислениях существенным является наличие суперсимметрии в вакууме теории. Формализм для фоновых полей, существенно не уважающих суперсимметрию, к сожалению пока не разработан.
3 В сущности, эта проблема эквивалентна квантованию многомерной общекопариантной теории, либо с нелинейным действием, либо же содержащей динамическую гравитацию.
Во третьей главе показано в чем заключается проблема теории струн вне массовой поверхности. Мы рассматриваем эту теорию на фоне квадратичного профиля тахионного поля, который нарушает конформную инвариантность, и показываем расхождение, в силу такого нарушения, между вычислениями некоторых струнных амплитуд в разных формализмах. Затем мы объясняем, каким образом необходимо модифицировать один из формализмов, чтобы добиться согласия с результатом вычисления в другом. Однако это удается сделать только в простейшей ситуации — квадратичного профиля тахионного поля.
Далее в третьей главе мы находим приближение и регуляризацию, при которых можно сформулировать теорию открытых струн вне массовой поверхности. Используя это приближение, мы приводим формулу, описывающую взаимодействие RR-полей с произвольной конфигурацией D-бран. Явные формулы написаны только для произвольной конфигурации параллельных бран, однако легко обобщаются. К сожалению, такого прогресса удается достичь только для аномального типа взаимодействий бран с фоновыми полями закрытых струн.
В четвертой главе мы рассматриваем АдС/КТП-соответствие. Оно задает связь между четырехмерной конформной калибровочной теорией поля (КТП) и гравитацией на пространстве Анти-ДеСиттера (АдС). В приложении к диссертации мы приводим краткий обзор АдС/КТП-соответствия в рамках обзора современного состояния теории струн. Простейший случай этого соответствия описывает связь между ftf = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса и десятимерной супергравитацией типа IIB на пространстве AciSs х S5. Используя его, мы формулируем голографическую ренормализационную' группу. В такой формулировке ренормализационная группа приобретает ясный геометрический смысл и естественно вкладывается в теорию струн. Помимо этого, АдС/КТП-соответствие полезно для обоих сторон соответствия. Во-первых, оно дает первый пример теории струн, описывающей динамику калибровочных полей. Во-вторых, по сути дела, оно устанавливает, что квантовая гравитация в сильной связи описывается калибровочными полями. Однако все эти факты можно обнаружить только при наличии конформной симметрии. При этом не имеется явного доказательства АдС/КТП-соответствия даже в-простейших ситуациях. Все это усложняет продвижение на пути понимания общего соответствия между калибровочными и общековариантными теориями. По крайней мере, остается неясным, важна ли конформная инвариантность для этого соответствия или нет.
Четвертая глава заканчивается рассмотрением некоторого предела АдС/КТП-соответствия, который устанавливает связь между суперсимметричной теорией Янга-Миллса, в некотором двойном скейлинговом пределе, и теорией струн на фоне метрики рр-волны. Есть надежда [13], что рассмотрение этого предела АдС/КТП-соответствия позволит точно решить как саму суперсимметричную теорию Янга-Миллса в пределе большого числа цветов, так и дуальную ей нелинейную сигма модель на фоне пространства Анти-Де-Ситтера. Мы же приводим формулу, которая устанавливает явную связь между корреляционными функциями на обеих сторонах соответствия в рассматриваемом двойном скейлинговом пределе.
В пятой главе мы излагаем точное решение некоторых некоммутативных моделей. Некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн на фоне постоянного антисимметричного 2-тензорного поля. Предполагается, что они являются самосогласованными пределами теории струн. Если это верно, то некомутативные теории являют собой первый пример самосогласованных нелокальных теорий поля. Действительно, если некомутативными являются пространственные координаты, а время остается коммутативным, то соответствующие теории имеют лишь нетривиальные дисперсионные соотношения, но при этом унитарны. Остается вопрос их перенормируемости. Он возникает по причине наличия в этих теориях инфракрасных расходимостей специального вида. Как мы обсуждаем в пятой главе, имеются аргументы в рамках теории возмущений в пользу того, что некоммутативные теории перенормируемы. Однако мы увидим, что в случае некоммутативных точно-решаемых моделей не удается избавиться от обрезания в эффективной константе связи. Ситуация выглядит таким образом, что если некоммутативная теория вообще имеет инфракрасные расходимости, то она неперенормируема.
На этом заканчивается наше обсуждение стандартной теории струн. Мы надеемся, что достаточно ясно показали некоторые из проблем этой теории. Причиной большинства этих проблем является отсутствие вторично квантованной формулировки теории замкнутых струн: на данный момент ясно сформулирована только вторично квантованная теория открытых струн на плоском фоне. Иными словами, та формулировка струнной теории поля, которая известна на данный момент, существенным образом зависит от фона задаваемого замкнутыми струнами. Именно поэтому мы не умеем описывать процессы в теории струн вне массовой поверхности. Т. е. основной задачей теории струн на данный момент мы считаем поиск адекватного формализма вторичного квантования.
В главе шесть мы излагаем альтернативный подход к квантованию гравитации. В обычном подходе к квантованию гравитации (или бран) рассматривается функциональный интеграл по всем гладким метрикам (дважды дифференцируемым, чтобы можно было определить детерминант оператора Лапласа на их пространстве). В этой ситуации необходимо поделить меру интегрирования по метрикам на объем группы диффеоморфизмов, чтобы в результате получилась сумма по физически не эквивалентным метрикам.
Как известно, проблемы в рассматриваемом формализме начинаются уже в размерности два, т.к. не удается квантовать двумерную гравитацию, взаимодействующую с произвольной материей, когда не отщепляется интегрирование по конформному фактору метрики. В связи с этим мы предлагаем альтернативный подход. Вместо суммирования по гладким метрикам, мы суммируем по всем кусочно постоянным. Последние плотны в пространстве всех двумерных метрик, т. е. любую метрику можно достаточно хорошо приблизить при помощи кусочно постоянной. В одном и двух измерениях мы предлагаем выражения, которые содержат суммирования по всем кусочно постоянным метрикам, и показываем, что они равны функциональным интегралам для релятивистской частицы и струны соответственно.
В главе семь мы формулируем теорию неабелевых тензорных полей. Она, как мы надеемся, помимо всего прочего должна помочь в квантовании струн и, в более общем случае, бран. Идея заключается в том, что квантовомеханическую амплитуду которого является множество значений Т, а слоем — гильбертово пространство 7Y, т. е. пространство векторов (ж|. Тогда, как мы показываем, струнную амплитуду следует рассматривать, как голономию вдоль поверхности для некоторой связности В: 7{л —> С на расслоении нового типа. В этом расслоении базой является пространство петель на мировом листе струн Е (множестве всех значений сг и г). Точкой такого пространства является можно рассматривать как голономию для связности Н И. 7i в расслоении, базой набор-замкнутых кривых, вложенных в Слоем рассматриваемого расслоения является континуальное произведение квантовомеханических гильбертовых пространств TL вдоль петель, J7s 7is, где s — это параметризация вдоль соответствующего набора путей. Т. е. элементом такого слоя является вектор (a-(s)| = Таким образом, мы надеемся представить струнную амплитуду в виде:
Omi <2/(2)М. |^)(Sl)>. — |*М (Яя)>, где АЕ — это упорядоченная вдоль поверхности Е экспонента от кубического оператора В: 14? —> С — матрицы (тензора) с тремя индексами. В седьмой главе мы определяем такую экспоненту и находим ее связь с топологиями двумерных поверхностей. Как мы надеемся, такой подход поможет нам сформулировать струнную теорию поля, не зависящую от фона.
Нередко бывает полезным возвращаться к обсуждению простых и фундаментальных вопросов. Поэтому в последней главе мы обсуждаем стабильность различных гравитационных фонов в контексте эффектов Хокинга и Унру. Понимание этих явлений является первым шагом на пути квантования гравитации. Мы устанавливаем связь между эффектами Унру и Соколова-Тернова. Т.к. последний подтвержден экспериментально, то мы, надеемся, что эта связь прольет свет на физическую природу эффекта Унру и излучения Хокинга. В заключении мы перечисляем основные результаты диссертации.
Чтобы сделать текст диссертации как можно более самодостаточным и нашу мотивацию более предметной, мы приводим в приложении к диссертации краткий обзор теории струн и АдС/КТП-соответствия.
Благодарности.
Мне приятно выразить благодарность Ф. Губареву, М. Чернодубу, К. Зарембо, М. Зубкову, Ю. Макеенко, А. Рослому, С. Харчеву, А. Миронову, В. Захарову, А. Хорошкину, С. Хорогакину, Т. Пилингу, Д. Синглетону, А. Маршакову, С. Локтеву, Ю. Неретину, Ю. Чернякову, А. Червову, Т. Панову, Д. Талалаеву, А. Горскому, Г. Семенову, М. Лейдлоу, Ф. ДеБуру, И. Полюбину,.
A.Забродину, А. Лосеву, Г. Шарыгину, Д. Васильеву, Н. Амбург, А. Александрову,.
B.Побережному, А. Городенцеву, А. Левину, А. Рудакову, Е. Крейнес, А. Морозову, В. Долотину, В. Пестуну, А. Дымарскому, Д. Мельникову, С. Ландо, С. Дужину, Ш. Тайсону, И. Артамкину, М. Казаряну, В. Бухштаберу, А. Смилге и Д. Звонкину за интерес к моей работе, многочисленные научные споры и обсуждения. Без обсуждений и совместной работы с А. Герасимовым не было бы существенной части этой диссертации. Мне хотелось бы поблагодарить своих соавторов за совместную работу над статьями, на основе которых написана эта диссертация. Особенно мне хотелось бы поблагодарить К.А.Тер-Мартиросяна, К. Зарембо, Сейфа Ранджбар-Даеми, Гордона Семенова, Германа Николаи, Тада Тсукаса, М. Поликарпова, Е. Суслову, М. Данилова, М. Олыпанецкого, А. Маршакова, А. Рослого, Дугласа Синглето-на, Б. Агаева и ученого секретаря ИТЭФ В. В. Васильева за постоянную поддержку с их стороны. Я так же хотел бы поблагодарить свою супругу В. Ахмедову, брата Э. Ахмедова и родителей за поддержку всех моих начинаний. Так же я хочу поблагодарить Е. Суслову, И. Бахматова, Т. Миронову, Н. Пирменова, Э. Мусаева, В. Ахмедову и особенно А. Рослого за чтение, корректуру текста и критические замечания к диссертации.
2 D-браны как пробники.
Вместо конформных теорий на мировой поверхности струн в качестве пробников можно использовать теории Янга-Миллса на мировых объемах D-бран. Это открывает новые возможности в исследовании связи между гравитацией и теорией Янга-Миллса. Действительно, D-браны могут «чувствовать» искривление внешнего пространства через метрику на собственном вакуумном пространстве модулей. Мы увидим, как эта метрика связана с решениями уравнений гравитации. Однако ситуация этим не ограничивается, т.к. D-браны могут пробовать также и солитоны в теории Янга-Миллса и фоны, не уважающие суперсимметрию, что позволяет выйти за пределы массовой поверхности в теории струн. Эта глава посвящена изучению всех перечисленых здесь явлений.
8.3 Выводы.
Итак мы видим, что эффекты Унру и Соколова-Тернова имеют одно и тоже происхождение. Рассматривая эффект Соколова-Тернова в неинерциальной, сопутствующей пучку электронов, системе отсчета, мы видим, что он возникает в силу присутствия излучения Унру. Действительно, в сопутствующей системе отсчета электроны покоятся. При этом понятно почему происходят переходы с уменьшением спиновой энергии. Это должно происходить, по крайней мере, в силу существования спонтанного излучения. Однако по какой же причине происходят переходы с увеличением спиновой энергии, если электроны покоятся? Мы показали выше, что это происходит в силу наличия нетривиальных корреляций поля вдоль траектории детектора, т. е. в силу существования излучения Унру. При этом эффект универсален. В частности мы можем предсказать, что если крутить в накопительном кольце протоны с достаточно большим ускорением (порядка 400 МэВ), то будут возбуждаться даже их кварковые степени свободы, т. е. мы можем получить из пучка протонов какое-то количество А-изобар.
Обычно, присутствие излучения Унру рассматривается в узком смысле: через наличие характерного экспоненциального фактора в формуле для вероятности. Как мы видели выше, в реалистической ситуации такое происходит только, если можно отделить движение детектора от его внутренних степеней свободы. В рассматривавшемся выше случае пучка частиц в накопительном кольце ускорителя это происходит только при д —> оо. Именно тогда мы видим явное присутствие экспоненциального фактора. Заметим, что экспоненциальный вклад в вероятность присутствует даже и при д = 2. Однако в этом случае он имеет вид е-1/7 и практически равен 1 в ультрарелятивистском пределе 7 —> оо. К сожалению, для произвольного значения д характерная экспонента перемешивается с предэкспоненциальным вкладом. Однако это не значит, что рассматриваемые два эффекта имеют разную природу, как мы и объяснили в предыдущем абзаце. Просто при изменении гиромагнитного числа, мы меняем способ, которым детектор связан с внешним полем.
Основная причина, по которой нас интересует эффект Унру, это потому что он представляет собой простой пример, на котором можно понять квантование полей в криволинейных координатах, а затем и в кривом пространстве. Рассмотрим этот эффект в метрике наблюдателя, сопутствующего детектору. Если лабораторный наблюдатель видит метрику Минковского, то неинерциальный сопутствующий наблюдатель видит метрику Ринлера. Чтобы найти функцию Вайтмана для скалярного поля в пространстве Риндлера, необходимо взять эту функцию в пространстве Минковского и сделать в ней замену координат (8.386). Для покоящегося детектора в пространстве Риндлера результат для функции Вайтмана дается подинтегральным выражением в формуле (8.423). Аналогично можно получить вид функции Вайтмана в системе отсчета, сопутствующей вращающемуся детектору. Из этого видно, что изучение вышеупомянутых эффектов в криволинейных координатах даст тот же ответ, что и полученный выше при изучении различных траекторий в пространстве Минковского.
Здесь следует заметить, что классическое однородное движение детектора эквивалентно тому, что метрика в его системе отсчета стационарна. Именно в этом смысле мы пренебрегаем откликом гравитационного фона на излучение и поглощение и только в этом приближении наши выводы верны. В частности, только если мы пренебрегаем откликом, мы можем утверждать, что линейно ускоряющийся детектор видит частицы с планковским спектром. Действительно, если движение не является однородным, то и спектр должен сильно отличаться от планковского. По крайней мере даже в случае однородного движения по окружности мы видели отличный от теплового спектр. Эти наблюдения должны, на наш взгляд, прояснить ситуацию с информационным парадоксом в присутствии черных дыр, который обсуждался во введении к диссертации.
Далее, мы можем использовать вычисления в этой главе, чтобы понять излучение Хокинга. В частности можно определить как будет вести себя детектор подвешенный вблизи горизонта черной дыры массы М. Из общефизических соображений можно предположить, что поведение такого детектора должно быть аналогично поведению линейно ускоряющегося детектора. Чтобы это увидеть, сделаем следующую замену координат в метрике Шварцшильда (8.365):
8.461).
Оно преобразовывает метрику Шварцшильда в V Л" + ((i^ji) 2 dp- + 2 ДЛ (8.462).
Горизонт событий в этой метрике находится при р — 0. Следовательно, вблизи горизонта метрика выглядит как ds2 «-р2 dt2 + (AM)2 dp2 +. (8.463).
Видно, что при простом преобразовании координат можно привести эту метрику ввиду метрики Риндлера (8.387) в плоскости р—t, с ускорением, зависящим от М. Таким образом, детектор, покоящийся вблизи горизонта черной дыры, будет видеть термальное излучение как и покоящийся детектор в пространстве Риндлера.
Следует подчеркнуть, что детектор, подвешенный вблизи гравитирующего тела без горизонта (такого как земля), не будет видеть квантового излучения рассматриваемого здесь типа. Конечно в последнем случае даже если бы излучение и существовало бы, оно было бы столь маленьким, что никакой эксперимент не смог бы подтвердить или опровергнуть его существование. Однако теоретически можно увидеть, что гравитирующее тело без горизонта не может терять массу, рождая частицы.
9 Заключение.
В заключение перечислим основные результаты диссертации:
I. Показано как. гравитационные эффекты можно увидеть в рамках теорий Янга-Миллса на мировых объемах D-бран.
1. Определено каким образом необходимо модифицировать граничное состояние в теории струн (отвечающее D-бране), чтобы оно правильно воспроизводило амплитуды взаимодействия D-бран с замкнутыми струнами вне массовой поверхности в простейшей ситуации.
2. Определено каким образом можно полностью воспроизвести метрику, отвечающую БЗ-бране из редуцированной в ноль измерений суперсимметричной теории Янга-Миллса (описывающей низкоэнергетическую динамику D-инстантона), взаимодействующей с ги-пермультиплетами. Это является первым примером полного согласия между вычислениями в (редуцированной) теории Янга-Миллса и в теории гравитации.
3. Определено каким образом D-браны могут пробовать аннигиляцию D-D-систем. Также показано, как можно зафиксировать значение поля тахиона после аннигиляции из условия инвариантности действия на пробе относительно /^-симметрии. Если последнее условие выполнено, то аннигиляция D-D-системы видна на пробе как ренормализационно-груповой поток из несуперсимметричной теории в суперконформно стабильную точку.
4. Показано, что перенормировка заряда в четырехмерной теории поля может быть воспроизведена из перенормировки метрики в редуцированной из нее матричной квантовой механике. С использованием этого факта приведено новое доказательство теорем о неперенормируемости в суперсимметричных теориях Янга-Миллса.
5. Установлена связь между дважды суперсимметричной матричной квантовой механикой, полученной редукцией из четырехмерной теории Янга-Миллса, с трехмерным объемлющим пространством и келлеровой квантовой механикой, а также с келлеровой двумерной сг-моделью.
II. Дано единое описание взаимодействий всевозможных D-бранных систем с RR-полями.
6. Сформулировано приближение, в котором открытые струны хорошо описываются дифференциальными операторами. В этом приближении можно работать с теорией струн вне массовой поверхности и понять, каким образом координаты D-бран становятся матрицами.
7. Выведена общая формула, описывающая взаимодействие всевозможных конфигураций D-бран с RR-полями. В этом контексте легчайшие моды открытых струн со всеми возможными вариантами граничных условий (включая неабелевы степени свободы) возникают как голдстоуновские бозоны при некотором нарушении симметрии.
III. Сформулированы принципы голографической ренормализационной группы.
8. Показано, что в рамках АдС/КТП-соответствия имеется геометрический взгляд на ренормализационно-групповые уравнения в теории поля на границе пространства АдС.
9. В пределе больших значений N уравнения вильсоновской ренормализационной группы для любой матричной (калибровочной) ti-мерной теории поля переписаны в виде уравнений Гамильтона в некоторой d + 1-мерной теории.
10. Установлена явная связь между корреляционными функциями N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса на пространстве S3 х R в некотором двойном скейлинговом пределе и амплитудами рассеяния теории струн на фоне рр-волны. Связь явно представлена для двухи трехточечных корреляционных функций в этих теориях. Установлено какие возбуждения струны отвечают модам Калуцы-Клейна теории. Янга-Миллса на S3.
IV. Точно решены некоторые некоммутативные модели.
11. Точно решена некоммутативная модель Гросса-Неве в двух и трех измерениях. Показано, что в обоих случаях модель имеет патологии и не может быть перенормирована.
12. В’двумерной и трехмерной модели Гросса-Неве найден двойной скейлинговый предел. В этом пределе, несмотря на то, что модель становится некоммутативной на шкале регуляризации, некоммутативность проявляет себяна всех шкалах энергии.
V. Сформулирована симплициальная теория для, частиц (0-бран) и для струн (1-бран). Показана связь последней с взаимодействующей теорией поля. А также показано, что симплициальные теории дают выражения, эквивалентные их аналогам в континуальных теориях.
13. Функциональный интеграл для релятивистской-частицы переписан в форме суммы по кусочно постоянным одномерным метрикам и вложениям.
14. Разложение по константе взаимодействия в теории поля переписано в виде симплициальной теории струн — теории, описывающей вложения двумерных симплициальных многообразий в пространство-время соответствующей теории поля.
15. Показано, что браны и гравитацию можно квантовать, суммируя по всевозможным кусочно-постоянным метрикам, а не только по гладким.
16. Выведены петлевые уравнения в матричной теории поля. Обсуждается их связь с уравнениями Уиллера-ДеВитта и их возможное решение в форме континуальной теории струн.
VI. Сформулирована, поверхностная экспонента в форме обобщаемой на большее число измерений. Показана связь таких экспонент с топологиями пространств соответствующей размерности. С использованием поверхностной экспоненты сделана попытка прокванто-вать одномерные объекты, а также сформулирована теория неабелевых тензорных полей.
17. Найден способ экспоненциирования кубических массивов чисел (матриц с тремя индексами) — поверхностная экспонента. Показана связь поверхностной экспоненты с двумерными топологиями и ассоциативными алгебрами.
18. Показано, как можно сформулировать голономии вдоль двумерных поверхностей с использованием поверхностной экспоненты. На основе этого сформулирована теория неабелевых 2-тензорных полей. Найдена форма калибровочных преобразований и тензор кривизны для неабелевых тензорных полей.
VII. Изучены физические основы нестабильности решений уравнений гравитации.
19. Дано квазиклассическое микроскопическое описание излучения черной дыры.
20. Найдена связь между эффектами Унру и Соколова-Тернова. Последний экспериментально подтвержден.
