1.1 Концепция вихревого клубка в Hell. Основные положения и уравнения.
В настоящее время хорошо известно, что при определённых условиях в объёме сверхтекучего гелия возникают квантованные вихри сверхтекучей компоненты. влияющие пн многие гидродинамические' и термодинамические свойства Hell. В историческом плане, видимо, первый приме]) такою влияния представляет случай вращающегося Hell. Попятно, что при отсутствии силы трения, непосредственно механическим воздействием сверхтекучую жидкость невозможно привести во вращение. Тем не менее, именно такое поведение наблюдалось в 'жепернмеитах. Причина была найдена в том, что в результате взаимодействия нормальной и сверхтекучей компонент Hell, в объёме возникали регулярно выстроенные квантованные вихри сверхтекучей компоненты. Именно эти вихри и являются ответственными за вовлечение жидкости во вращение. При -«том расположение вихревых линий представляет собой упорядоченную структуру, похожую на двумерный кристалл. Исследованию таких структур посвящено большое количество работ, наиболее важные результаты которых изложены во многих обзорах и монографиях (см. например Donelly 1!)!М).
И дальнейшем был осознан тотфакт, что многие из явлений, наблюдаемых в различных 'JkcnepiiMeinах со сверхтекучим гелием и связанные с наличием вихрей, не могут найти обьяспеиия в рамках простых вихревых конфигураций. 1аких как кольца, прямые или слабо изогнутые линии и г. д. Дело в том, что в общем случае вихри в Hell представляют собой неупорядоченную, хаотически запутанную динамическую структуру, эволюционирующую во времени. Явление существования таких структур в объёме Hell получило название сверхтекучей турбулентности (CT).
Термин «вихревой клубок» (ПК) появился в известной работе Фейнмапа (Кеушнаи 1 !)•>")), где впервые было дано феноменологическое описание СТ. Фей-нман предположил, что если разность скоростей нормальной и сверхтекучей компонент Hell — vJIS превышает некоторое значение, возникают квантованные вихри, подобно тому, как они возникают во вращающемся гелии. Возникшая структура представляет собой хаотически ориентированные вихревые .пиши. Далее предлагался следующий сценарий эволюции. Участки вихревой линии, двигаются со скоростью, отличной от локальной скорости сверхтекучем" ! компоненты и. гак им образом, испытывают действие силы Магнуса. В твпсимости от ориентации и других условий возможно как увеличение длины некоторою элемента вихря, так и её уменьшение. Предполагалось, что первая тенденции преобладает-. По мере роста общей длины, вихревые липни всё более плотно заполняютобъём, что рано пли поздно приводит к их пересечениям. При пересечении возможно перезамыкапис линий (рекоинекция), то есть либо слияние вихревых колец, либо их дробление. Фейнман предполагал, что последний процесс доминирует. Это приводит к каскадному образованию всё более мелких петель. В конечной стадии каскада размеры колец становятся порядка межатомных расстояний, и они, в конечном счёте, трансформируются в тепловые возбуждения. Таким образом компенсируется нарастание полной длины вихрен н возникает некотороестатистически стационарное состояние ВК, а вместе с тем и Hell.
Качественная картина Фейимана была развита далее в классических работах Villen l’Joii, Н) э7а, 1!)Г)71>, I! J" >7c, 19−5S, где феноменологически было получено уравнение на динамику плотности вихревых линий в единице объёма (1IBJI). Ваннен рассматривал однородный вихревой клубок с плот ност ью вихревых линий в единице объёма /.(/)• Попятно, что говорить об однородности можно при условии, что характерное межвихревое расстояние S ~ /,-'/2 много меньше ха-ракм*рпых размеров системы. Предполагалось также наличие носюянного теплового ноIока, характеризуемого постоянным значением разности скоростей нормальной п сверх м’кучен компоненты гелия г,. Величина г., нредполагал an, некоторым фиксированным внешним параметром теории. Вайиен предположил, чю тмепеппе /,(/) во времени описывается уравнением первою порядка. При :>том производная dl,/dl представляет собой разность двух слагаемых, точно соответствующих рассмотренной выше качественной картин" — Фейпмаиа:
Здесь первое слагаемое соответствует росту ПИЛ, обязанному силе трения, второе — - уменьшению IIHJI, благодаря дроблению вихревых колен. Для определения вида обоих слагаемых использовались соображения размерности, аналогия с классической турбулентностью и известные результаты динамики одиночных вихревых нитей. Выло сделано предположение о том, что (IL/dt в некоторый момент времени является функцией только ПВЛ — L в тот же момент времени, силы взаимного трения /. плотности сверхтекучей компоненты ра и циркуляции к. 'Зависимость от спя предполагалась включённой в силу /. Далее анализ размерностей приводит к соотношению:
Где o некоторая безразмерная функция своего аргумента. Для определения вида этой функции Ваш ich опирался на результат для динамики одиночного вихревого колечка, ориентированного поперёк противотока в Hell, полученный в работах Hall, Yinen l’JoOa, I’JoOb. Таким образом был определён вид слагаемого {dl,/dt), J (u. Второе слагаемое в (1.1) определялось при помощи аналогии с классической турбулептиостиыо, в предположении, что картина дробления вихрей вполне аналогична колмогоровскому каскаду турбулентных пульсаций. Диссипация энергии, связанной с пульсациями, описывается соотношением:
Здесь и — характерная скорость пульсаций на масштабе границы вязкого интервала — - /,"., :(— некоторая константа. Полагая lv? sc равным межвихревому расе гоянпю Л, а и скорости вращения жидкост и па расстоянии S, равной и — (к/2-г)/,'/-'. Вайпеи получил вид второго слагаемого в (1.1). В результате" уравнение Вайнена выглядит следующим образом:
1.1).
1.2) 2.
1,1).
Некоторые константы о, н ?1,. должны определяться из чкеперимент а.
Как буде" нидии из дальнейшею изложения, уравнение (1.1) играет существенную роль дли описания гидродинамики сверхтекучей турбулентности (ГСТ). Однако, можно заметить, что теория Вайнепа имеемнекоторые сложности. Отмет им некоторые из них. Во-первых, с помощью (Ы) нетрудно определим" шпеграл для вычисления времени развития ВК, начиная от пулевою значения ПВЛ, причём ре$ультат расходится на нижнем пределе. Другими слонами, время развития клубка оказывается бесконечным. Происхождение ->той расходимости связано с тем, что (1.1), будучи уравнением баланса между ростом и распадом уже существующего клубка, не содержит никакой информации о первоначальном зарождении вихрей. Для исправления возникшей сложности, опираясь па экспериментальные данные, Вайиеи ввёл в уравнение дополнительное слагаемое вида |i'"s|,/'2, которое учитывает механизм начального возникновения вихрей (-, — некоторая сильно зависящая от температуры функция). В различных расчётах также применяется другой подход, а именно, предполагается сушест вованпе некоторого фона ПВЛ — Lq. Вопрос о том какой из подходов более корректен для описания динамики ПВЛ остаётся открытым и подробнее будет обсуждаться в четвёртой главе диссертации. Следующий момент, который хотелось бы отметить, связан с тем, что вид функции ф, существенно влияющей на вывод уравнения Вайнепа, вообще говоря, неопределён. Разброс эксперимеп гальиих данных в принципе допускает альтернативную форму слагаемого, ответственного за генерацию вихрей, что, в свою очередь, приводит к «альтернативному» уравнению Вайнепа (Nemirovskii, Schmidt 1990):
-="auvlM<-?allL2 (1.5).
В настоящее время считается общепризнанным и используется в различных приложениях уравнение (1.1). Но точный ответ на этот вопрос, видимо, был бы возможен лишь при наличии развитой микроскопической теории ВК.
Теория Фейпмана, являясь, в своё время, серьёзным научным достижением, носит чисто описательный характер. Никаких количественных результатов, касающихся свойств ВК. она не содержит. Уравнение Вайнена (1.1) опнсывае! эволюцию ПВЛ. по получено из самых общих соображений без учёта микроскопических уравнений динамики вихрей. В то же время, поскольку свойства вихревых с I рук Iур в I lel I во многом определяют свойства гидроднпампческих и термодинамических процессов в самой сверхтекучей жидкости, представляется весьма важным исследование ра злпчных статистических харак и’рш 1 пк ПК' на основе именно точных уравнений динамики вихрей. Обратимся к подробному рассмотрению) Т их ¿-'равнений.
Скорост ь движения точек вихревой нити складывает ся из векторной суммы общей (внешней) скорости движения сверхтекучей компоненты г, и скорости, индуцированной всеми присутствующими в системе вихревыми нитями в данной точке-. Кроме того, присутствует взаимодействие с нормальной компонентой. Уравнение для индуцированной скорости приводится в огромном количестве учебников, монографий, обзоров и т. д. Это уравнение представляет собой закон Бпо-('авара: й = ± /-(?UVi-irte, 0) xP (Q, е, и -1-У |sU', f)-?tf.QI3 di' (1.6) di.
Здесь н далее «обозначает радиус-вектор, направленным к некоторой точке вихря. Вихревая линия произвольным гладким образом параметризована вдоль кривой переменной — производная радиус-вектора вдоль кривой, другими словами, касательный вектор. Величиной к обозначен квант циркуляции, для Iiell это строго фиксированная величина. Интегрирование производится, но всем вихревым шггям, присутствующим в рассматриваемой системе. Как видно, интеграл логарифмически расходится на нижнем пределе. Для того чтобы избежать расходимости при при s (?, t) ?T (f',/). делаются различные приближения. Чаще всего в знаменатель дописывается некоторая малая добавка, соответствующая радиусу ядра вихря: — «(01 -К UU') — ЭД) а + <2)» 2 (1−7).
По-иоводу этой добавки существую т некоторые вопросы (см. например Agisleiu. Aligdal 1!)S (>). по в любом случае необходимо, по-возможпост и корректно, устранить расходимость интеграла в (1.G).
При значениях? близких к (1.6) можно записать в виде:
1~П1,1 к Р х .s7' Г d (i — i').
77~ ~ —¦, ц / «77−77Г + нелокальная чисть (1.8).
11 ЛТТ l. s'l' J {?-?,').
Па нижнем пределе интеграл в (1.8) по-прежнему считается ограниченным радиусом ядра вихря <. ограничение на верхнем пределе обычно выбирается равпы. м усреднённому радиусу кривизны вихревой линии < Н >, которым по порядку величины равен где L — полная длина вихревой линии. IVnvn. iai интегрирования следующий:
I, Г (| у, 7' х а" .
Г" - = + пс. иокальпая часть, (1−9) dl |.S"|J где = ?/"1*7*. Опенка покачивает, нелокальная часть, но порядку величины в 1п меньше, чем локальная (Schwarz 1988). Описание динамики ПК в пренебрежении нелокальными членами называется локальным (самоиндуцированным) приближением. Достаточно сложно определённо ответить на вопрос.
0 достоверности этою подхода. Существуют оценки (Schwarz 1988), что точность локальною приближения при численном расчёте динамики хаотического вихревого клубка составляет примерно 90%.
Следующим факюр. влияющий на движение нитей — взаимодействие между квантовыми вихрями и нормальной компонентой. Согласно Халатиикову (Халатников 1971), движение нормальной компоненты со скоростью Г&bdquoно сути есть дрейф квазичасищ (фонопов, ротонов), которые и формируют >ту компоненту. 'Знергпя 01 их квазичастиц есть функция vs. Эта зависимость станови тся очень сильной вблизи вихревой линии. Другими словами, существует некоторый эффективный потенциал, и, соответственно, сила взаимного трения между квазмчастнцамп и вихрями. Соответствующая теория описана во многих обзорах (Сопии I98.'{, Harenglii et al., 19S3, Donnely 1991). Приведём здесь, опираясь па локальное приближение, золько наиболее важные резулмати. Сила, действующая на единицу длины вихревой линии, имеет вид: fD = (щ х (r'n — ¿-г.)) х (v'n — (l.io).
Чдесь означает скорость сверхтекучей компоненты и, таким образом, вихревой нити: -W + v" + vStb (1−11).
Обозначения следующие: — полная скорость вихревой нити- • вклад скороеi и, нндуцированнной вихревыми нитямиvs — внешний поток сверхтекучей компонентыr,.i, некоторая коррекция полной скорости, возникшая от.
1 раннц об|.ёма Hell. Плагодаря прису тствию //.>, .4*5 отличается 01 значения .ч,-,&bdquo-/ и уравнении (1.9). Достаточно много патей посвящено вычислению Пj и 1)> см. например Baren^lii et al., 1983, Donnelly 1991). От и коэффициенты зависят не только от давление и температуры, no и от скоростей (Suanson et al. 1987), а также от производных скоростей А^-, ~ (МеЫ 1971), то ecu. они нелокальны по времени. Однако, эти эффекты малы и могут рассматриваться как поправки. 1>удем далее считать, что Dt, D2 некоторые феноменологические константы. Дрейфовая скорость квазичастиц вблизи вихря должна отличаться oi усреднённой в объёме скорости сверхтекучей компоненты г&bdquo-. 1>удем, однако, предполагать, что они равны, а отличие учитывается коэффициентами D1, D¿—Для того, чтобы найти необходимо знать какая сила действует на вихревую линию, когда скорость ««той линии отличается от скорости сверхтекучей компоненты. Результат найден в работах Hall, Vinen 1956а, 19 501): s' fv = P>kt~ti x * (1−12).
Величина JM называемся силой Магнуса. Далее, conocí-авляя н /и, пренебрегая эффектами, связанными с границей объёма, окончательно получим:
Is ¦ .к'. , s' >7'.
— 77 = ¦",¦",/ + i", + о— > (i'iu — л,-r, j) — о — х — х — .si,) (1.13).
Коэффициенты о, о' определённым образом выражаются через 1)|, /J?. Урав-иенне (1.13) используется для решения многих вопросов, связанных с вихревой динамикой. Oi метим, что вишмодействие вихрей в (1.13) может быть выражено (и по было бы более верным) через полный закон Био-Савара (1.6), а не через локальное приближение (1.9).
Уравнение динамики вихрей (1.13) никаким образом не учитывает nepeja-мыканпе линий. Однако, даже исходя из качественного описания Фейнмапа. реконнекцпя оказывает существенное влияние на эволюцию ВК. Но поскольку в настоящее время этот процесс аналитически практически не изучен, количественно учесть его влияние па динамику нитей представляется возможным только в численных моделях ВК.
4.5 Выводы к главе 4.
Вопрос об описании первоначального зарождения вихревого клубка имеет важное значение для оценки достоверности различных численных, а возможно. и аналитических расчётов для Hell с использованием уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности. Вероятно, полиостью достоверное описание эволюции вихревых структур могло бы быть получено при использовании точной теории В К. основанной на микроскопических уравнениях вихревой динамики. Как уже неоднократно отмечалось, в настоящее время такой теории не существует. По этой причине приходится ограничиваться некоторыми «мпприческими закономерностями, например, введением в уравнение Вайпена дополнительного слагаемою, либо предположением наличия постоянной фоновой завихренности в объёме сверхтекучей жидкост и. Последнее предположение имеет в принципе фундаментальное значение. Действительно, при этом возникают вопросы первоначальной генерации фоновой завихренное i и (возможно при фактом переходе обычно! о гелия в сверхтекучее сое юяппс). а |акже вопрос о iicKoiopoM посюянном механизме поддержания 'Ион завихренноеi и. л щест ву ют более ранние по сравнению с вышеописанными эксперименты (Kizdon et. al. 1990) и соогветс гвукнцие им расчёты, основанные на уравнениях 14» Г. относящиеся к случаю, когда тепловые импульсы запускались в периодическом режиме при незначительном временном интервале между импульсами. (Подробности можно найти в работе Кондаурова, Немировскнй. Недобойко 1!)!)!)). И такой ситуации вихревой клубок очевидно не успевал распадаться за короткий интервал времени. Как следствие, в объеме присутствовала значительная фоновая плотность, расчётное значение которой составляло порядка /.о = х 10b<-«-2. Поня тно, что такая величина Lq не может соответствовать физической реальности при отсутствии внешнего теплового потока. Эксперименты Kizdon et al. 1999 воспроизводились в расчетах также при Л0 = 0 для значений коэффициент при затравочном члене о» увеличенных в 10' раз, по сравнению со значением, предложенным Вайнеиом. Такую ситуацию также цель «я считать физически нравдоноподобной.
Результаты раздела -1.2 позволяют с определённой уверенностью у гверждать, ч ю предположение о существовании фоновой завихренности может быть снято, а ситуация с первоначальным развитием ПК эмпирически описывается путём введения дополнительною слагаемого в уравнение Вайиена. (-делать такой вывод стало возможным только после появления экспериментальной работы Sliimazaki, Miirakami, Iida 1995. где впервые наблюдалось распространение одиночных тепловых импульсов. Именно для этой ситуации экспериментальные данные совпадают с расчётными, представленными в разделе -1.2.
В разделе 1.'5 рассматривается численное решение уравнений ГСТ для тепловых импульсов, распространяющихся в Hell с температурой вблизи 7 д. В этой температурной области вследсгвии близости температуры фазового перехода сверхтекучий гелий обладает многими характерными особенностями, и, в принципе, бы. то не совсем ясно в какой степени применимы уравнения 14- Г в данной области.
Рассмотрение экспериментальных и численных результатов показывает их значительное сходство. Форма кривых, значения максимумов, значения величины обрыва импульсов во многом совпадаютили близки, но своим значениям. * > in факты позволяют сделать определённый вывод о том, что уравнения ГСТ могут нснользова гься в раыичиых расчётах для температуры вблизи фа итого перехода. Кроме тою. указанные расчёты проводились с учёюм iеперпрующек" слагаемого в уравнении Найнена. Последний факт вновь иодт верждает справедливость такого подхода. Некоторые отличия в форме экспериментальных н расчётных кривых, видимо, возникают вследствии неопределённости в данной температурной области различных коэффициентов, присутствующих в уравнениях Г ('Т. Н настоящее время не существует прямых экспериментальных измерений, определяющих указанные коэффициенты в данном интервале температур. Для расчётов использовалась экстариоляция их известных значений из более низкой температурной области. Такой подход неизбежно приводит к некоторым погрсишос/гям. 13 то же вре. мя форма импульсов в значительной степени зависит от этих коэффициентов. По этой причине добиться полного совпадения было достаточно трудно.
