Анализ плоского напряженного состояния

Задача 1. Анализ плоского напряженного состояния

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское деформированное состояние.

Общие данные: Е = 2 · 10⁵ МПа, у_z = 0.

Вариант 78: у_x = 160 МПа, у_у = 70 МПа, ф_y = ф_х = 80 МПа, м = 0,29.

Найти:

1. Вычертить схему элемента.

2. Определить главные напряжения и направление главных площадок.

3. Вычислить величину наибольших касательных напряжений.

4. Вычислить относительные линейные деформации.

5. Вычислить относительное изменение объема.

6. Определить удельную потенциальную энергию деформации.

Решение:

Рис. 1. Нормальные и касательные напряжения по граням кубика:

а — направления напряжений для исследуемого напряженного состояния;

б — положительные направления напряжений Прежде всего, установим знаки нормальных и касательных напряжений, показанных на рис. 1, а. Положительные направления нормальных напряжений у_x, у_y и касательных напряжений ф_x = ф_y показаны на рис. 1, б. Нормальные растягивающие напряжения принято брать со знаком плюс, а сжимающие — со знаком минус. Следовательно, у_x = 160 МПа и у_y = -70 МПа, ф_y = ф_х = 80 МПа.

Определение главных напряжений. Определяем наибольшее и наименьшее главные напряжения.

Наибольшее у₁:

наименьшее из главных напряжений у₃:

Определение направления главных площадок. Угол наклона нормали главной площадки к оси X определяется по формуле Знак касательных напряжений и угла б можно не устанавливать, если пользоваться следующим правилом для определения ориентации главных площадок.

Главные площадки, на которых действует наибольшее из главных напряжений у_1, получаются поворотом на угол б тех из исходных площадок, на которых действует большее (по алгебраической величине) из исходных напряжений у_x, у_y. В нашем примере такими исходными площадками будут площадки, где действует нормальное напряжение у_х, так как у_х > у_у.

Направление поворота указывает стрелка касательного напряжения на исходной площадке (рис. 2). Вторая пара главных площадок перпендикулярна найденным.

Определение максимальных касательных напряжений:

Эти напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом 45° к главным, и направлены в сторону у₁ (см. рис. 2).

Рис. 2. Расположение главных площадок сила напряженный состояние деформация

Определение относительных деформаций е_x, е_y, е_z:

Обратите внимание на то, что при у_z = 0 е_z? 0, т. е. при отсутствии напряжения по оси Z деформация в этом направлении имеет место.

Определение относительного изменения объема и:

Определение удельной потенциальной энергии деформаций. Потенциальная энергия изменения объема U_об:

Потенциальная энергия изменения формы U_ф:

Полная энергия U:

U = U_об + U_ф = 2,83· 10-³ +89,65· 10-³ = 92,48· 10-³ МПа (Н/мм²).