Механизмы ускорения Ферми в хаотических бильярдах с возмущаемыми границами

Заключение

.

Бильярды являются достаточно удобными моделями целого ряда физических систем. Например, многим динамическим задачам могут быть поставлены в соответствие уравнения траектории частицы в бильярдах заданной формы. Более того, большинство подходов к проблеме перемешивания в системах из многих частиц восходят к задачам бильярдного типа. Естественным обобщением бильярдных систем являются бильярды, границы которых не являются неподвижными, а изменяются по какому-либо закону. Это достаточно новая область, открывающая новые перспективы в исследовании многих давно известных, но малоизученных проблем. Так, задача о динамике частицы в бильярде, граница которого со временем изменяется, имеет прямое физическое приложение как модель неравновесной статистической механики. Как показывают исследования, для бильярда с возмущенными границами существенным оказываются его динамические свойства: если он проявляет хаотическую динамику, то возмущение границы может привести к неограниченному росту скорости частицы, т. е. такому бильярду может быть присуще ускорение Ферми.

В настоящей работе исследовалась проблема ускорения Ферми в динамических системах, порождаемых рассеивающими плоскими бильярдами с возмущаемой границей. Рассматривался бильярд типа газа Лоренца, граница которого осциллирует по некоторому закону. Как известно, обычный газ Лоренца (т.е. с невозмущенной границей) обладает ярко выраженными хаотическими свойствами (перемешиванием, расцеплением корреляций, и т. п.). Возмущение границ такого бильярда приводит к возникновению ускорения Ферми. При этом модель исследована в двух различных вариантах: со стохастически и регулярно осциллирующими границами рассеивате-лей. Найдено, что ускорение больше в случае регулярных колебаний границы.

Можно выделить два основных механизма ускорения, которые были выявлены при выводе распределения частиц, но скоростям в зависимости от числа столкновений в стохастическом случае (п. 3.2.2). Во-первых, это «сносовый» механизм, возникающий вследствие выполнения соотношения (AV) > 0 (см. (3.14)) и приводящий к сносу всех частиц в направлении положительных скоростей. Во-вторых, это дисперсионный (или флюктуационный) механизм, проявляющийся по двум причинам: (a) (AV2) > 0, и поэтому вероятностный пакет «расплывается» со временем- (б) модуль скорости не может быть отрицательным и, таким образом, расплывание пакета не симметрично, а направлено в сторону больших скоростей, что выражается через переход от простого нормального распределения к распределению (3.17). При этом, как показывают аналитические и численные исследования, флюктуации и среднее увеличение скорости частицы выше в случае регулярных колебаний границ рассеива-телей, что приводит к большему росту скорости, таким образом, можно еще говорить о механизме, обусловленном корреляциями между последовательными изменениями скорости.

Нетрудно понять, что рассуждения, используемые при выводе зависимости скорости частицы от числа соударений и времени, легко перенести на любой другой бильярд, для которого известно вероятностное распределение угла, а (угол между нормалью к поверхности в точке соударения и скоростью частицы). Поэтому развитая в данной работе техника может оказаться полезной в при изучении проблемы ускорения Ферми в общем случае.

Наличие хаотичности в системе может приводить к изменению ее статистических свойств. В работе Тсанга и др. [13] был рассмотрен бильярд полустадион — область, образованная прямоугольником, углы которого заменены четвертями окружностей радиуса R (скругленные углы), одна из сторон периодически осциллирует. Частица движется внутри этой области, сталкиваясь с границами. При этом удар с границей не является абсолютно упругим, частица теряет часть своей скорости, пропорциональную 8 (5 -С 1). Эта модель близка к модели Улама, но наличие закругленных углов вносит элемент случайности в динамику частицы. В работе [13] исследовался процесс релаксации системы к равновесному состоянию. Аналогичные исследования были проведены ранее в работах Тсанга и Либермана [12]на модели Улама. Как было показано, в модели Улама величина Ф (£) = E (t) — Е (оо), представляющая собой отклонение средней энергии системы от ее равновесного значения убывает экспоненциально, т. е. Ф (£) ~ ехр (—t/т), что вообще говоря обычно для большинства физических систем. Исследование этой величины, проведенное на модели полустадиона показало, что релаксация системы к равновесию происходит медленнее, а Ф (£) ~ ехр (t/тгде (5 < 1, причем величина /3 убывает с увеличением R. На основании изложенного в предыдущих параграфах становится понятным в чем состоит возможная причина уменьшения скорости релаксации системы. Действительно с увеличением радиусов дуг растет элемент хаотичности в системе, что приводит к появлению ускорения частиц, таким образом, релаксация системы к равновесному состоянию, связанная с наличием диссипации энергии частиц в системе, будет происходить медленнее.

На основании проведенных исследований допустимо сделать важное предположение: хаотичность бильярда с неподвижной границей является достаточным условием для возникновения в нем ускорения Ферми при включении возмущения границы.