Метод сетевого оператора для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления

Работа посвящена решению задачи синтеза системы автоматического управления. Данная задача на протяжении многих лет является одной из ключевых проблем теории управления. Задача заключается в следующем. Задан объект управления, математическая модель которого описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Заданы критерии качества, представленные в виде интегральных функционалов и терминальных условий. Необходимо найти управление в виде функции координат пространства состояний, обеспечивающее оптимальное с точки зрения критериев качества функционирование объектов управления с учетом ограничений на управление и начального состояния объекта.

При синтезе систем управления чаще всего используют формальную постановку задачи оптимального управления Л. С. Понтрягина [1]. Отличие рассматриваемой в работе задачи синтеза от задачи оптимального управления заключается в том, что вместо искомого управления в виде функции от независимой переменной, чаще всего этой переменной является время, ищется управление в виде функции от координат пространства состояний. Данная постановка задачи синтеза с одним функционалом рассматривается в задаче динамического программирования Р. Беллманом [2].

Задача синтеза систем управления, т. е. задача получения управления в виде функциональной зависимости от координат пространства состояний объекта, является главной задачей теории автоматического управления. В общем случае для нелинейного объекта управления и произвольных критериев качества задача синтеза в настоящий момент не решена. Основной причиной отсутствия решения данной важнейшей задачи управления является сложность, а точнее практически невозможность получения аналитического решения задачи оптимального управления в общей постановке. В тех случаях, когда аналитическое решение задачи оптимального управления получено, синтез управления может быть построен на основе анализа найденного аналитического решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений. Например, известно решение задачи синтеза управления для линейных систем невысокого порядка по критерию быстродействия [1,3].

Метод динамического программирования [2] позволяет решить задачу синтеза, если будет найдено аналитическое решение уравнения Беллмана в частных производных. Наиболее известным является решение, полученное для линейного объекта, квадратичного функционала и отсутствия ограничений на управление. Функциональная зависимость управления от координат пространства состояний объекта выражается линейным матричным преобразованием, полученным в результате решения уравнения Риккатти [4, 5].

Как правило, задача синтеза управления решается в два этапа. На первом этапе с помощью численных методов находится оптимальное управление как функция от времени. Для данного оптимального управления находятся оптимальные траектории движения системы. На втором этапе строится система стабилизации, которая обеспечивает нахождение объекта в окрестности оптимальных траекторий. При этом система линеаризуется в окрестности оптимальных траекторий и этап синтеза системы стабилизации осуществляется в кассе линейных систем [6]. Данный подход не обеспечивает решение задачи синтеза оптимального управления, т.к. стабилизируемая во времени траектория в окрестности оптимальной траектории не обязательно будет оптимальной. Также ограниченный класс линейных систем стабилизации не приводит к оптимальной зависимости управления от пространства состояний.

В последнее время разработаны методы синтеза управления на основе синергетического подхода [7, 8, 9]. Данный подход позволяет на основе неформализованных процедур анализа системы построить притягивающее многообразие в пространстве состояний. Оптимальные траектории системы должны находиться в окрестности притягивающего многообразия. Синергетический подход ограничен классом задач и не позволяет построить формальный метод синтеза.

В настоящий момент наблюдается бурное развитие вычислительной техники и информационных технологий. Скорость вычислений на широко используемых персональных компьютерах за последние десять лет увеличилась с 300 МГц до 5 ГГц. Это позволило применять вычислительную технику для решения новых сложных задач в различных областях. Существенные успехи получены в области использования компьютеров для символьных вычислений. На основании формальных преобразований компьютер позволяет строить аналитические решения различных математических задач.

Современные математические пакеты Mathematica, Maple, MathCad, Mat-lab и др. позволяют с помощью символьных преобразований получать решения в аналитическом виде. Данные решения могут быть точно получены только для тех задач, для которых они существуют. В случаях отсутствия решений пакеты позволяют построить аппроксимацию решений с высокой степенью точности в виде разложения в ряды. Аппроксимация решения задачи оптимального управления в виде разложения во временные ряды не позволяет построить зависимость управления от координат пространства состояний, т.к. ряды не учитывают аналитическую зависимость решения от начальных условий. В некоторых случаях символьную обработку можно использовать для решения задачи синтеза управления, если аппроксимировать решения многомерными рядами, аргументами которых являются координаты пространства состояний. Это возможно только для систем небольшой размерности.

В 1992 г. профессор Стэндфордского университета Дж. Коза и его ученики разработали метод генетического программирования [10]. Метод позволяет использовать генетический алгоритм [11] для построения алгоритма программы. Сегодня метод генетического программирования бурно развивается и применяется для решения сложных задач.

В работе синтез системы управления основывается на методе генетического программирования. С помощью генетического программирования осуществляется поиск функциональной зависимости управления от координат пространства состояний. В отличие от классического генетического программирования разработана новая структура данных для представления аналитических зависимостей в ЭВМ. Данная структура названа сетевым оператором [12]. Сетевой оператор обеспечивает более эффективное вычисление формул.

Актуальность темы

диссертационной работы заключается в том, что задача синтеза систем управления в общем случае в настоящий момент не решена. Предпосылкой для создания эффективного метода решения являются последние достижения, полученные в области алгоритмизации, и эффективные современные средства вычислительной техники.

Предметом диссертационного исследования является задача синтеза системы оптимального управления. Задача заключается в том, чтобы найти управление в виде функции координат пространства состояний, обеспечивающее оптимальное с точки зрения критериев качества функционирование объектов управления с учетом ограничений на управление и начального состояния объекта.

Целью диссертационной работы является разработка метода синтеза системы автоматического управления, т. е. получение оптимального управления в виде функциональной зависимости от координат пространства состояний. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— разработать и исследовать эффективный метод представления функциональных зависимостей в ЭВМ;

— разработать и исследовать эффективный генетический алгоритм для поиска функциональных зависимостей при решении задачи синтеза оптимального управления;

— разработать и исследовать метод сетевого оператора для прикладной задачи синтеза системы управления стабилизацией спутника.

Методы исследования, используемые в диссертации, основываются на результатах, получены в областях теории управления, системного анализа, методах оптимального управления, теории графов, теории алгоритмов.

Новизна научных результатов, полученных в диссертации, заключается в том, что разработан новый метод многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления. Разработанный метод использует новую структуру данных, сетевой оператор. Структура позволяет описывать произвольные математические выражения и представлять их в ЭВМ с помощью целочисленной матрицы, что позволяет увеличить эффективность алгоритма синтеза.

Практическая значимость результатов работы заключается в том, что разработанный метод синтеза предназначен для построения систем управления реальными динамическими объектами. В диссертации приведен пример синтеза системы стабилизации углового движения космического аппарата. На основании разработанных алгоритмов создан программный комплекс для синтеза систем управления.

Использование результатов работы осуществляется в учебном процессе на кафедре Кибернетики и мехатроники Российского университета дружбы народов. Издано учебно-методическое пособие. Работа выполнялась по теме гранта РФФИ № 06−08−1 485-а «Исследование методов синтеза систем автоматического управления».

Апробация результатов, полеченных в диссертации, подтверждается докладами на следующих научных конференциях и международных симпозиумах: «Интеллектуальные системы» (ЮТЕЬ8'2006) (г. Краснодар), III международной конференции по проблемам управления (г. Москва, 2006), «Надежность и качество 2007» (г. Пенза), «Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика 2007» (г. Рязань), XV Международной конференции по механике и современным программным системам (ВМСППС'2007) (г. Алушта).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Метод многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления на основе принципа базисного решения и генетического алгоритма. Алгоритм позволяет одновременно искать решения для структурного и параметрического синтеза.

2. Новая структура данных, сетевой оператор, которая предназначена для представления формулы в ЭВМ. Метод преобразования формулы в сетевой оператор. Представление сетевого оператора в виде целочисленной верхней треугольной матрицы. Алгоритм вычисления формулы по матрице сетевого оператора.

3. Решение задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы стабилизации углового движения космического аппарата на основе разработанного метода.

Результаты диссертации опубликованы в 11 научных трудах, в том числе в двух изданиях из списка ВАК.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений. Объем работы — 145 страниц, включая 78 рисунков и 4 таблицы, список литературы содержит 51 наименование.

4.3. Выводы к разделу 4.

1. На основе разработанного алгоритма многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления решена задача стабилизации углового движения космического аппарата с разными ограничениями на управление. Полученные системы управления, выбранные из множества Парето, являются нелинейными и обеспечивают стабилизацию космического аппарата относительно начала координат и значение критерия качества управления, близкого к оптимальному. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают эффективность работы алгоритма.

2. На основе проведенного моделирования показано, что синтезированные системы управления в виде нелинейных обратных связей по координатам пространства состояний являются робастными по отношению к изменению начальных условий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В результате проведенного научного исследования были получены следующие результаты:

1. Разработан сетевой оператор, который является графическим представлением формулы, определены его свойства, обоснован метод преобразования формулы в сетевой оператор. На основе матрицы смежности сетевого оператора и его свойств разработан метод построения матрицы сетевого оператора. Матрица является целочисленной верхней треугольной, и она является эффективной структурой данных, для вычисления формулы. Разработан алгоритм вычисления формулы по матрице сетевого оператора.

2. На основе принципа базисного решения определено множество малых вариаций сетевого оператора и разработан генетический алгоритм для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления. Алгоритм позволяет одновременно искать решения для структурного и параметрического синтеза.

3. На основе разработанного алгоритма решена задача синтеза системы стабилизации углового движения космического аппарата. Система управления из полученного условного множества Парето, обеспечивает стабилизацию космического аппарата относительно начала координат и значение критерия качества управления, близкого к оптимальному. На основе проведенного моделирования показано, что синтезированные системы управления в виде нелинейных обратных связей по координатам пространства состояний являются робастными по отношению к изменению начальных условий.