Развитие общества, научный и технический прогресс на современном этапе неразрывно связаны с широким использованием электронной техники, вычислительных машин и требуют непрерывного совершенствования средств передачи информации, в том числе совершенствования методов проектирования таких линейных радиотехнических устройств, как фильтры, корректоры, фазовращатели, линии задержки и др. С внедрением в практику проектирования электронных вычислительных машин непрерывно улучшается перспектива получения оптимальных вариантов схем радиотехнических устройств. Анализ на ЭЦВМ математических моделей радиотехнических устройств предотвращает огромные затраты времени и средств необходимых на экспериментальное исследование большого количества макетов схем с различными комбинациями элементов.
Процесс проектирования в общем случае включает в себя процесс синтеза системы с заданными свойствами из элементов с известными свойствами. Однако в процессе инженерного проектирования радиоэлектронных цепей этот синтез довольно часто реализуется при помощи методов анализа. Подобные косвенные методы синтеза предусматривают ориентировочный выбор схемы проектируемой цепи, сравнение ее функций, определяемых методами анализа, с заданными и внесение таких изменений в схему, которые обеспечивают совпадение ее функций с заданными, выраженными в символьном (буквенном) виде. Поэтому необходимо иметь ориентированные на применение ЭЦВМ методы получения уравнений функций цепей в символьном виде.
Символьная форма представления полиноминальных коэффициентов позволяет также исследовать свойства схемы в общем виде — так, при анализе чувствительности характеристик схемы к изменению параметров и анализе допустимых’отклонений можно, исходя из полученной схемной функции, вычислять частные производные в буквенном виде. При этом выявляются наиболее критические параметры в полученных выражениях, устанавливается связь каждого элемента схемы с заданным качественным показателем и т. д.
При анализе полученных схемных функций с буквенными полиномиальными коэффициентами можно ряд элементов схемы заменить числовыми величинами, сохранив на основном этапе вычислений в символьном виде лишь те элементы, номиналы которых наиболее различаются. Подставляя их численные значения на заключительном этапе расчета, можно уменьшить результирующую ошибку вычислений и т. д.
Развитию методов анализа электрических цепей посвящено много работ Г1−7, 9−24, 28−32, 43−125, 127−135, 137−148, 150−155]. Для получения схемных функций линейных электрических цепей в буквенном виде с помощью ЭЦВМ используются топологические, теоретико-множественные и матричные методы анализа. Перейдем к краткому сравнительному анализу этих методов.
Одними из первых в теории цепей были предложены топологические методы анализа ГI, 3, 7, 10, 14, 16−19, 22, 23, 45, 47, 52, 57, 63, 66, 70, 71, 76−79, 101, 106, 107, 112−117, 119, 120, 122, 127, 128, 134, 135, 137, 138, 140, 141, 143, 144, 147, 148, 150, 151, 1543. К топологическим методам анализа электрических цепей относятся методы, позволяющие получать искомый результат на основании рассмотрения свойств некоторых топологических структур. В зависимости от характера этих структур все топологические методы делятся на две подгруппы.
К первой подгруппе относятся методы, исходной топологической структурой которых являются графы токов и напряжений цепи (в частном случае эти графы могут совпадать).
Ко второй подгруппе относятся методы, исходной топологической структурой которых является граф, отображающий систему уравнений, описывающих схему.
Уже на первых этапах развития теории электрических цепей Кирхгофом и Максвеллом были предложены топологические методы, исходной топологической структурой которых является полюсный граф цепи. Эти методы позволяют задачу общего анализа цепи решать с меньшими затратами труда, чем традиционные методы, основанные на составлении системы уравнений цепи и последующем ее решении с использованием аппарата линейной алгебры. Указанные методы приспособлены для анализа линейных цепей, состоящих исключительно из двухполюсных элементов, и обеспечивают получение результата без предварительного составления уравнений и, что самое главное, без дубликаций, то есть без нахождения каких-либо лишних, в дальнейшем взаимно уничтожающихся членов (известно, что количество взаимно сокращающихся слагаемых в общем случае может значительно превышать число слагаемых, остающихся в выражениях после сокращения подобных — так, при анализе в однородном базисе узловых напряжений пассивной схемы, имеющей вид полного пятиугольника, у которого каждая пара узлов связана двухполюсным элементом, получается определитель матрицы узловых проводимостей, который содержит 393 слагаемых, среди них 268 взаимно сокращаемых и только 125 сохраняется в окончательном результате).
Эффективность топологических методов побудила к поиску возможностей их приспособления к анализу появившихся в ходе развития электротехники цепей, содержащих многополюсные и необратимые элементы, схемы замещения которых содержат зависимые источники (идеальные преобразователи). Такие методы предложены в работах Коутса, Маеда и Мэзона [66, 79, 119, 135].
Метод, предложенный Мэзоном, основывается на введении в цепь двухполюсных элементов: унистора и гиристора, что позволяет проводить анализ цепей, содержащих активные невзаимные элементы, имеющие Уматрицу. Однако такое обобщение приводит к появлению сокращающихся членов.
Метод Коутоа и Маеда заключается в видоизменении цепи и ее графа способом, допускающим диагонализацию компонентного уравнения цепи. Данный метод позволяет избежать появления сокращающихся членов для некоторого класса цепей.
В дальнейшем в литературе появилось много работ, посвященных развитию топологических методов с целью применения их к анализу цепей с активными и многополюсными элементами и устранению сокращающихся членов. Почти все эти методы в той или иной степени имеют ограничения на элементный состав цепи, то есть непосредственно приспособлены для анализа цепей с идеальными преобразователями и многополюсными элементами, уравнения которых представлены в Уформе для методов, основывающихся наК-описании элементов цепи, и -?Г-форме для методов, основывающихся на -^-описании. Некоторые из описанных в литературе топологических методов позволяют анализировать цепи с 2×2-полюсными идеальными преобразователями, не имеющими однородного описания, однако при этом даже для учета одного такого идеального преобразователя требуются довольно сложные операции. Трудности значительно возрастают при наличии в цепи нескольких таких элементов.
Отдельно следует остановиться на методах, описанных в работах Г16, 17, 144], где предложены топологические формулы, базирующиеся на гибридном описании элементов цепи. Эти формулы получены на основе разложения определителя матрицы уравнений цепи, состоящей из первой и второй матриц инциденций и компонентной матрицы, по теореме Лапласа. При этом ограничения на элементный состав цепи практически отсутствуют, исключение составляют лишь цепи с идеальными операционными усилителями, которые непосредственно не поддаются анализу указанными методами. Однако топологические формулы, описанные в работах [16, 17, 191 не приводят непосредственно к конечному результату вычисления определителя или схемной функции цепи в виде суммы произведений параметров двухполюсных и многополюсных элементов цепи, а требуют дополнительного вычисления миноров более низкой размерности по сравнению с размерностью определителя исходной системы уравнений. В топологических формулах, описанных в [144] указанные миноры более низкого порядка вычисляются по определению.
Таким образом, упомянутые выше топологические формулы с точки зрения отсутствия ограничений на элементный состав являются наиболее общими. Однако эти методы, кроме анализа топологических структур требуют дополнительного вычисления миноров более низкого порядка методами линейной алгебры, что является недостатком указанных методов.
Выше приведена краткая характеристика топологических методов первой подгруппы. Отличительной особенностью указанных методов является отсутствие необходимости формирования системы расчетных уравнений для решения задачи анализа.
Перейдем теперь к краткой характеристике топологических методов второй подгруппы.
Отличительной особенностью методов этой подгруппы является их большая универсальность, которая проявляется в возможности анализа с их помощью линейных систем любой физической природы. Исторически первыми методами анализа линейных систем с помощью графов, построенных на базе математической модели системы, являются метод сигнальных графов Мэзона ?66, 134] и метод потоковых графов Коутса [1201. Отличия между этими методами заключаются в способах представления системы уравнений математической модели линейной системы, в правилах построения самого графа и в записи формул передачи графа.
Методы сигнальных и потоковых графов обладают некоторыми ценными свойствами, такими, как возможность упрощения графа путем исключения отдельных его вершин, наглядность, использование в полной мере разреженности матрицы математической модели линейной системы и т. д. Данные топологические методы изоморфны матричному методу, базирующемся на прямом разложении определителя матрицы линейной системы, сущность которого заключается в комбинаторном переборе индексов элементов матрицы системы, и поэтому эти методы не могут предотвратить появления взаимно уничтожающихся выражений. На основе прямого разложения определителя матрицы построены также теоретико-множественные методы (методы структурных и обобщенных чисел ПО, II, 91]) — в данном случае алгебраическая операция по нахождению допустимых перестановок индексов заменена эквивалентной ей теоретико-множественной операцией, основанной на алгебре модуля 2. Основными преимуществами теоретико-множественных методов является высокая степень формализации процесса составления расчетных формул, что облегчает програмирование процесса. Для сокращения подобных членов в данном случае применяются операции над полем модуля 2, которые осуществляются в процессе построения обобщенного или структурного числа.
Топологические методы Мэзона и Коутса развиты в работе [3], где предложена методика выбора координатного базиса для устранения избыточности (взаимно уничтожающихся членов). Однако систематизированный способ устранения избыточности разработан только для ограниченного класса цепей.
В работах [140, 141] даны топологические формулы, которые не приводят к появлению сокращающихся членов. Однако эти формулы справедливы только для систем гибридных уравнений, соответствующих линейным активным или пассивным цепям, для всех элементов которых должна существовать матрица проводимости, приводящаяся к диагональному виду. Это делает данные формулы мало пригодными для анализа цепей, содержащих многополюсники и совсем не пригодными для анализа цепей с идеальными преобразователями, которые нельзя преобразовать к идеальным преобразователям, имеющим Уили Zматрицу.
Следует особо отметить метод анализа линейных систем, предложенный Bottom и Мейбери для раскрытия определителя симметричной матрицы, и развитей в работах Г14, 18] для раскрытия определителя матрицы с нарушенной симметрией. Указанный подход обладает рядом положительных качеств, таких, как универсальность, возможность проводить анализ сложных систем по частям методом наращивания и т. д. Если в качестве математической модели системы взята матрица, составленная методом узловых напряжений, то указанный метод переходит в метод адмитансных графов С14, 191. Однако данный метод анализа линейных систем в общем случае является оптимальным в смысле отсутствия сокращающихся членов по отношению к матрице линейной системы, но не по отношению к самой системе. Так, например, для анализа цепей, содержащих многополюсники со смешанным описанием, необходимо вычислить определитель матрицы, записанной в смешанном базисе. Такая матрица в общем случае обязательно содержит единичные элементы, что приведет к появлению взаимно уничтожающихся членов.
Таким образом, в известной литературе отсутствует описание метода анализа радиоэлектронных цепей в символьном виде, который удовлетворяет следующим требованиям: не требует формирования матрицы неавтономных параметров расчетного уравнения цепи, позволяет анализировать линейные цепи, содержащие любые элементы, обеспечивает получение результата анализа без нахождения каких-либо лишних, в дальнейшем взаимно уничтожающихся членов, появляющихся при раскрытии определителя матрицы неавтономных параметров. Поэтому разработка ориентированного на применение ЭЦВМ метода анализа цепей, обладающего перечисленными выше свойствами, является актуальной задачей.
Исходя из сказанного, целью данной работы является разработка ориентированного на применение ЭЦВМ топологического метода анализа цепей, который обладает нижеперечисленными свойствами:
— не требует предварительного формирования матрицы неавтономных параметров расчетного уравнения цепи;
— позволяет анализировать линейные цепи, содержащие любые элементы ;
— обеспечивает получение результата анализа без нахождения взаимно уничтожающихся членов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
— установить связь между уравнениями цепей, сформированными на основе методов анализа в однородном и гибридном координатных базисах;
— пользуясь установленной связью, разработать топологический метод анализа цепей, основанный на раскрытии определителя гибридной матрицы цепи без взаимно уничтожающихся членов ;
— на основе топологического метода анализа цепей получить машинный алгоритм, позволяющий вычислять схемные функции цепей в символьном виде.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Основным результатом диссертационной работы является разработанный топологический метод, который обеспечивает получение результата анализа радиоэлектронных цепей, содержащих любые элементы, без предварительного формирования матрицы неавтономных параметров расчетного уравнения и без нахождения взаимно уничтожающихся членов, появляющихся при раскрытии определителя. Указанный метод позволяет построить эффективные алгоритмы и программы моделирования и анализа радиоэлектронных цепей в символьном виде, которые могут успешно использоваться при проектировании таких линейных радиотехнических устройств, как фильтры, корректоры, фазовращатели, линии задержки.
Топологический метод анализа и построенный в соответствии с ним алгоритм использован при разработке прикладных программ синтеза активных КС-фильтров. Указанные программы применяются в ис-', следовательских разработках предприятия Министерства промышленч ности средств связи.
Другие результаты, полученные в процессе решения главной задачи, заключаются в следующем:
— Показано, что между уравнениями цепей, сформированными в однородном координатном базисе, и уравнениями цепей, сформированными в гибридном координатном базисе, существует взаимосвязь, порожденная обобщенным принципом дуальности. Такая взаимосвязь позволяет более систематизированно излагать известные и получать новые результаты, касающиеся анализа и синтеза цепей в гибридном координатном базисе по матрице. Данный подход к обоснованию контурно-узлового метода анализа цепей изложен в методическом пособии «Анализ электрических цепей контурно-узловым методом», написанным автором совместно с А. М. Иваницким, и внедрен в учебный процесс некоторых вузов.
— Дано расширение контурно-узлового метода применительно к анализу цепей, содержащих аномальные элементы и многополюсники, описываемые произвольной системой независимых переменных, а также применительно к анализу линейных подсхем.
— Предложен метод формирования расчетных уравнений радиоэлектронных цепей с идеальными преобразователями в гибридном координатном базисе, базирующийся на уравнениях контурно-узлового метода анализа цепей. Указанный метод приводит к системе уравнений меньшей размерности по сравнению с известными, при этом ни на одном из этапов формирования уравнений не используется операция обращения матрицы.
